考研數(shù)學三(多元函數(shù)微積分學)模擬試卷25(題后含答案及解析)

考研數(shù)學三（多元函數(shù)微積分學）模擬試卷25(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．二元函數(shù)在(0，0)點處()A．連續(xù)，且fx′(0，0)，fy′(0，0)存在．B．連續(xù)，但fx′(0，0)，fy′(0，0)不存在．C．不連續(xù)，但fx′(0，0)，fy′(0，0)存在．D．不連續(xù)，且fx′(0，0)，fy′(0，0)不存在．正確答案：A解析：連續(xù)性：故f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．偏導數(shù)：同理故f(x，y)在(0，0)處偏導數(shù)存在．知識模塊：多元函數(shù)微積分學2．設函數(shù)f(x，y)=|x－y|g(x，y)，其中g(x，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且g(0，0)=0，則在點(0，0)處()A．fx′(0，0)與fy′(0，0)都不存在．B．fx′(0，0)與fy′(0，0)都存在，但都不為0．C．fx′(0，0)=0，fy′(0，0)=0，但f(x，y)不可微．D．f(x，y)可微，且df(x，y)|(0,0)=0．正確答案：D解析：由于為有界變量，故即fx′(0，0)=0．同理fy′(0，0)=0，排除(A)，(B)．△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=|△x－△y|g(△x，△y)，△f-[fx(0，0)△x+fy′(0，0)△y]=|△x－△y|g(△x，△y)，由于且故可知f(x,y)在(0,0)點可微，故應選D．知識模塊：多元函數(shù)微積分學3．設u=u(x，y)為二元可微函數(shù)，且滿足u(x，y)|y=x2=1，ux′(x，y)|y=x2=x，則當x≠0時，uy′(x，y)|y=x2=()A．－1B．C．1D．正確答案：B解析：由題設可知u(x，y)|y=x2=1，兩邊對x求導，得ux′=(x，y)|y=x2+uy′(x，y)|y=x2·2x=0，即x+uy′(x，y)|y=x2·2x=0，則當x≠0時，應選(B)．知識模塊：多元函數(shù)微積分學4．已知函數(shù)f(x，y)在點(0，0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且則()A．點(0，0)不是函數(shù)f(x，y)的極值點．B．點(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極大值點．C．點(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極小值點．D．根據(jù)條件無法判別點(0，0)是否為函數(shù)f(x，y)的極值點．正確答案：A解析：又因為f(x，y)在點(0，0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，由極限與無窮小的關系知f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)，其中當xy≠0時，顯然f(x，y)=xy+o(xy)，當xy>0時，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＞0，當xy因此在(0，0)處，A=f”(0)lnf(0)，B=0，C=f”(0)．由于函數(shù)z=f(x)lnf(y)在點(0，0)處取得極大值，故應有A＜0，C＜0，即f(0)＞1，f”(0)＜0，應選(B)．知識模塊：多元函數(shù)微積分學6．設其中D={(x,y)|x2+y2≤1}，則()A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3．C．I2＞I1＞I3．D．I3＞I1＞I2正確答案：A解析：在積分區(qū)域D={(x，y)|2+y2≤1}上，有從而有且等號僅在區(qū)域D的邊界上成立．故由二重積分的性質(zhì)，即I3＞I2＞I1，故應選A．知識模塊：多元函數(shù)微積分學7．設平面區(qū)域D由直線x+y=1及兩條坐標軸所圍成．記則有()A．I3＞I2＞I1．B．I1＞I2＞3．C．2＞I1＞3．D．I1＞I3＞I2．正確答案：B解析：在區(qū)域上，有從而有[ln(x+y)]9＜[sin(x+y)]9＜(x+y)9，故即I3＜I2＜I1，應選B．知識模塊：多元函數(shù)微積分學填空題8．設函數(shù)f，g均可微，z=f(xy，lnx+g(xy))，則正確答案：f2′．解析：由復合函數(shù)的求導法則，則知識模塊：多元函數(shù)微積分學9．設是f(x)的一個原函數(shù)，則F”(t)=________．正確答案：cost－1．解析：由于則知識模塊：多元函數(shù)微積分學解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．討論函數(shù)在點(0，0)處的連續(xù)性，可導性與可微性．正確答案：顯然故f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為所以f(x，y)在點(0，0)處的偏導數(shù)存在．又因為則即f(x，y)在點(0，0)處不可微．涉及知識點：多元函數(shù)微積分學11．設函數(shù)討論f(x，y)在(0，0)點的可微性．正確答案：同理fy′(0，0)=0．而故當設△y=k△x時，極限值與k有關，由此可知f(x，y)在(0，0)點處不可微．涉及知識點：多元函數(shù)微積分學12．求在(0，1)點的偏導數(shù)．正確答案：涉及知識點：多元函數(shù)微積分學13．設求正確答案：于是涉及知識點：多元函數(shù)微積分學14．設x=eucosv，y=eusinv，z=uv．試求正確答案：【解法1】把x，y看成中間變量，u，v看成自變量，由復合函數(shù)的偏導數(shù)的求導法則，得即解得【解法2】對給定的三個方程分別求全微分，得dx=eucosvdu－eusinvdv．dy=eusinvdu+eucosvdv，dz=vdu+udv．由前兩個方程可得du=e－u(cosvdx+sinvdy)，dv=e－u(－sinvdx+cosvdy)，代入第三個方程得dz=ve－u(cosvdx+sinvdy)+ue－u(－sinvdx+cosvdy)=e－u(vcosv－usinv)dx+e－u(vsinvucosv)dy．故涉及知識點：多元函數(shù)微積分學15．設z=[sin(xy)]xy，求dz．正確答案：由于z=[sin(xy)]xy=exyln[sin(xy)]，利用一階微分形式的不變性，得涉及知識點：多元函數(shù)微積分學16．設z=f[φ(x)－y，ψ(y)+x]，f具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，φ，ψ可導，求正確答案：涉及知識點：多元函數(shù)微積分學17．設z=xf(x，u，v)，u=ln(cosx)，v=xsiny，其中f可微，求正確答案：z=xf(x，ln(cosx)，xsiny)，涉及知識點：多元函數(shù)微積分學18．已知z=u(x，y)eax+by，且試確定常數(shù)a，b，使得恒成立．正確答案：代入給定方程，得到故a=1，b=1．涉及知識點：多元函數(shù)微積分學19．設函數(shù)z=z(x，y)是由方程所確定，且f可微，求正確答案：【解法1】將方程的兩端對x求偏導數(shù)，注意z是x，y的函數(shù)，得解得同理，對給定方程的兩端對y求偏導數(shù)，注意x是x，y的函數(shù)．得解得【解法2】令則所以【解法3】對給定的方程兩端同時求微分，則得則因此涉及知識點：多元函數(shù)微積分學20．設z=z(x，y)是由方程f(y－x，yz)=0所確定的隱函數(shù)，其中函數(shù)f對各個變量具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求正確答案：將方程f(y－x，yz)=0的兩端對x求導，得解之得再將(*)式的兩邊對x求導，得所以涉及知識點：多元函數(shù)微積分學21．設方程組確定函數(shù)u=u(x，y)，v=v(x，y)，求正確答案：對方程組中兩個等式分別對x求偏導數(shù)，得將上面等式中的看成未知數(shù)，整理得利用克拉默法則，得涉及知識點：多元函數(shù)微積分學22．設u=f(x，y，z)具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，又y=y(x)，z=z(x)分別由exy－xy=2和所確定，求正確答案：由u=f(x，y，z)知對exy－xy=2兩邊關于x求導，得從而對兩邊關于x求導，得從而所以涉及知識點：多元函數(shù)微積分學23．設y=g(x，z)，而x是由方程f(x－z，xy)=0所確定的x，y的函數(shù)，求正確答案：設這是兩個方程組成的方程組，有三個未知數(shù)．由欲求的結果可知方程組確定y，z分別是x的一元函數(shù)．方程組的兩邊分別對x求導，得將上面等式中的看成未知數(shù)，整理得利用克拉默法則，有涉及知識點：多元函數(shù)微積分學24．設函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，且時，滿足與f(1)=f′(1)=1．求函數(shù)f(r)的表達式．正確答案：設則u=f(r)，從而同理可得代入得當r＞0時，即兩邊同乘r2，得r2f”(r)+2rf′(r)=0，即[r2f′(r)]′=0，于是，r2f′(r)=C．由f′(1)=1可知C=1，于是再由f(1)=1可知C1=2，故涉及知識點：多元函數(shù)微積分學25．設函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足f(0，0)=1，fx′(0，0)=2，fy′(0，y)=－3以及fxx”(x，y)=y，fxy”(x，y)=x+y，求f(x，y)的表達式．正確答案：將fxx”(x，y)=y對變量x求不定積分，得同樣將fxy”(x，y)=x+y對變量)，求不定積分，得比較兩個表達式，得即由于fx′(0，0)=2，故C=2．即將兩邊對戈求不定積分，得從而由于fy′(0，y)=－3，得C2′(y)=－3．故C2(y)=－3y+C3，于是再由f(0，0)=1的C，=1，所以涉及知識點：多元函數(shù)微積分學26．求函數(shù)z=x4+y4－x2－2xy－y2的極值．正確答案：因此函數(shù)的駐點為(1，1)，(－1，－1)，(0，0)．在(1，1)處，A=10＞0，B=－2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(1，1)是極小值點，z(1，1)=-2是函數(shù)的極小值．在(－1，－1)處，A=10＞0，B=－2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(－1，－1)是極小值點，z(－1，－1)=-2是函數(shù)的極小值．