初中數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)各類考點分項專解85 常見全等輔助線添加秘籍

常見全等輔助線添加秘籍—精準解讀《學(xué)習(xí)目標分解》會添加倍長中線模型、截長補短模型的輔助線構(gòu)造三角形全等；會利用全等三角形的性質(zhì)和判定進行相關(guān)的計算和證明.《重難點精準分析》全等輔助線的添加；全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.《專題精準分析》全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補短模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。【常見模型及證法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.倍長中線型輔助線倍長中線型輔助線一般跟中點相關(guān)，在初中階段與中點相關(guān)的輔助線大體分成三大類：倍長中線（這里的中線指的是過中點的任意線段）、直角三角形斜邊中線、中位線.其中后兩種輔助線會在初二下學(xué)期的四邊形章節(jié)中講到，在此不做過多講解，本節(jié)所講的中點相關(guān)的輔助線主要是倍長中線型輔助線（這里的中線指的是過中點的任意線段），此種模型的本質(zhì)都是構(gòu)造“8字型”全等，主要分成三類處理方法：（1）倍長中線型——這里的中線指的是標準的三角形的中線，具體模型如下：已知：點D為AC邊的中點作法：延長BD至E，使得DE=BD，連結(jié)AE.倍長過中點的任意線段型——這里只需要出現(xiàn)中點即可構(gòu)造，具體模型如下：已知：點D為AC邊的中點作法：延長FD至E，使得DE=DF，連結(jié)AE.平行線構(gòu)造“8字型”——中點不是三角形的邊的中點，具體模型如下：已知：點E為DF的中點作法：過點D作DM//AF，交AC于點M.另外，平行線構(gòu)造“8字型”的模型還可以有以下兩種類型：典例1.如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF．【答案】證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD．方法一：延長AD至點M，使DM=AD，連接BM，在△ADC和△MDB中， ，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠M=∠MAC，BM=AC，∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．方法二：延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，在△BDF和△CDM中，， ∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC.【精準解析】有兩種解法：①延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，則可證△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延長AD至點M，使DM=AD，連接BM，可證△ADC≌△MDB（SAS），方法與①相同．練習(xí)1.八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個三角形【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x，則x的取值范圍是．（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點Q在BC的延長線上，QC=BC，求證：AQ=2AD．【答案】（1）證明：在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案為：△ADC≌△EDB；解：如圖2，延長EP至點Q，使PQ=PE，連接FQ，在△PDE與△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ=DE=3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范圍是1＜x＜4；故答案為：1＜x＜4；證明：如圖3，延長AD到M，使MD=AD，連接BM，∴AM=2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△BMD與△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM=CA，∠M=∠CAD，∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，∵∠ACQ=180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ=∠MBA，∵QC=BC，∴QC=AB，在△ACQ與△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ=AM=2AD．【精準解析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長EP至點Q，使PQ=PE，連接FQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FQ=DE=3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長AD到M，使MD=AD，連接BM，于是得到AM=2AD由已知條件得到BD=CD，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到BM=CA，∠M=∠CAD，得到∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．《小結(jié)》當題目中出現(xiàn)中線時，常會考利用倍長中線型模型添加輔助線，構(gòu)造“8字型”的全等.典例2.如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點，AD為∠BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G．求證：BF=AC+AF．【答案】證明：延長FE至Q，使EQ=EF，連接CQ，∵E為BC邊的中點，∴BE=CE，∵在△BEF和△CEQ中，，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，AG=AF，∵∠BFE=∠Q（已證），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG=AG+AC=AF+AC．【精準解析】延長FE至Q，使EQ=EF，連接CQ，根據(jù)SAS證△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．練習(xí)1.已知：如圖，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF∥BA交AE于點F，DF=AC．求證：AE平分∠BAC．【答案】證明：如圖，延長FE到G，使EG=EF，連接CG．在△DEF和△CEG中，∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．【解析】延長FE到G，使EG=EF．連接CG，由于已知條件通過SAS證得△DEF≌△CEG得到DF=GC，∠DFE=∠G，由平行線的性質(zhì)和已知條件得到∠G=∠CAE，故有∠BAE=∠CAE，結(jié)論可得．《小結(jié)》當題目中出現(xiàn)中點，而沒有合適的中線可以倍長時，也可以考慮倍長過中點的任意一條線段，構(gòu)造“8字型”全等.典例3.如圖，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F(xiàn)在AC的延長線上，且BD=CF，連接DE交BC于E．求證：DE=EF．【答案】證明：過D點作AF的平行線交BC于G點，∴∠ECF=∠DGE，∴∠DGB=∠ACB∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠DGB，∴DG=BD，∵BD=CF，∴DG=CF．由∠ECF=∠DGE，∠DEG=∠CEF，DG=CF可得△DGE≌△FCE（AAS），∴DE=EF．【精準解析】過D點作AF的平行線交BC于G點，利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，求證△DGE≌△FCE即可.練習(xí)1.如圖，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求證：AB=DE．【答案】證明：如圖，過E點作EH∥AB交BD的延長線于H，故∠A=∠CEH，在△ABC與△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．【精準解析】如圖，過E點作EH∥AB交BD的延長線于H．構(gòu)建全等三角形△ABC≌△EHC（ASA），則由全等三角形的性質(zhì)得到AB=HE；然后結(jié)合已知條件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代換證得AB=DE．《小結(jié)》當題目中出現(xiàn)中點，但此中點不是三角形的某條邊的中點，只是與三角形某條邊有交點時，則可以考慮利用作平行線的方法構(gòu)造“8字型”的全等.模型2.截長補短模型【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】截長補短法添加輔助線在已知條件中、證明的結(jié)論中出現(xiàn)某三條線段，甚至是四條線段的關(guān)系時（或者猜想某三條線段的關(guān)系時），優(yōu)先考慮的就是方法就是截長、補短法.截長和補短是兩種方法：截長是把長線段截成兩條短線段；補短是把兩條短線段之一補成一條長線段，兩種方法有時候可以通用，但是由于證明方法和已知條件的局限性，有時候會需要學(xué)生辨別一下具體使用截長還是補短，所以分析已知條件非常重要.舉例說明：1.當三線關(guān)系出現(xiàn)在已知條件中，如：已知AC=AB+BD，則（1）截長法具體操作：在線段AC上截取AM=AB條件轉(zhuǎn)化：已知條件“AC=AB+BD”就變成了“AM=AB和CM=BD”【注】當然也可以在線段AC上截取AM=BD，具體截取的方法選擇，由題中的其他已知條件決定.（2）補短法具體操作：延長AB至N，使得AN=AC條件轉(zhuǎn)化：已知條件“AC=AB+BD”就變成了“AN=AC和BN=BD”【注】當然也可以延長BA、BD、DB，具體延長哪條線段、向哪個方向延長，由題中的其他已知條件決定.當三線關(guān)系出現(xiàn)在待證明的結(jié)論中，如：證明AC=AB+BD，則（1）截長法具體操作：在線段AC上截取AM=AB條件轉(zhuǎn)化：待證明的結(jié)論“AC=AB+BD”就變成了“CM=BD”，而多出了一個已知條件“AM=AB”【注】當然也可以在線段AC上截取AM=BD，具體截取的方法選擇，由題中的其他已知條件決定.（2）補短法具體操作：延長AB至N，使得AN=AC條件轉(zhuǎn)化：待證明的結(jié)論“AC=AB+BD”就變成了“BN=BD”，而多出了一個已知條件“AN=AC”【注】當然也可以延長BA、BD、DB，具體延長哪條線段、向哪個方向延長，由題中的其他已知條件決定.截長補短模型證明問題【專題說明】截長補短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長補短法呢?所謂截長補短其實包含兩層意思,即截長和補短.截長就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于另外一段較短的線段.當條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時，用截長補短．【知識總結(jié)】1、補短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。3、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常用.如圖1，若證明線段AB,CD,EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補短法.截長法：如圖2，在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；補短法：如圖3，延長AB至H點，使BH=CD,再證明AH=EF即可.【類型】一、截長“截長”是指在較長的線段上截取另外兩條較短的線段，截取的作法不同，涉及四種方法。方法一：如圖2所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.圖2方法二：如圖2所示，在BF上截取FM=GC，可證四邊形GCFM為平行四邊形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個共頂點的等腰Rt△BCD和△MCF。方法三：如圖3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，可證得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG（SAS），所以KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，得四邊形BCGK為平行四邊形，BK=CG，于是BF=BK+KF=CG+DF.圖3方法四：如圖3所示，在BF上截取BK=CG，可得四邊形BCGK為平行四邊形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF，根據(jù)四邊形BCFD為圓的內(nèi)接四邊形，可證得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個共頂點的等腰Rt△BDC和△KDF?！绢愋汀慷⒀a短“補短”指的是選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破，根據(jù)輔助線作法的不同也涉及四種不同的方法。方法五：如圖4所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.圖4方法六：如圖4所示，延長GC至N，使NG=BF，得四邊形BFGN為平行四邊形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，又CD=BC，可證△CDF≌△BCN（SAS），DF=CN，以下從略.方法七：如圖5所示，延長CG至P，使CP=BF，連接PF，則四邊形CPFB為平行四邊形，PF=BC=DC，又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，因為∠PFG=∠FGC－∠P=45°－∠P，∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，又可證∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.圖5方法八：如圖5所示，延長CG至P，使GP=DF，連接PF，可證∠DFC=∠PGF=135°，F(xiàn)C=CF，所以△DFC≌△PGF（SAS），所以DC=PF=BC，∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，所以四邊形BCPF為平行四邊形，所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.方法九：如圖6所示，延長DE至Q，使DQ=BF，連接CQ，GQ，可證△BCF≌△DCQ（SAS），CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，所以△FCQ為等腰直角三角形，可得四邊形FCQG為正方形，F(xiàn)Q=CG，所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.圖6方法十：如圖6所示，延長FE至Q，使FQ=CG，通過證明四邊形FCQG為正方形，△BCF≌△DCQ，同樣可以證明結(jié)論成立。感興趣的讀者可以自行證明，詳細思路從略。方法十一：如圖7所示，延長FD至H，使DH=CG，可證得∠BDF=∠BDC+∠CDF，∠ECF=∠FCG+∠CEG，于是∠BDF=∠ECF，則∠BDH=∠BCF，所以△BDH∽△BCF（SAS），得∠H=∠BFC=45°，所以△BFH為等腰直角三角形，于是BF=HF=DF+DH=DF+CG.圖7方法十二：如圖7所示，延長FD至H，使FH=BF，可得△BFH為等腰直角三角形，于是∠HBD=∠FBC，又∠H=∠BFC=45°，所以△BDH∽△BCF，所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.經(jīng)過上述分析，可知采取不同的切入點，解題思路會有差異。方法1截長補短法（往往需證2次全等）截長補短法使用范圍：線段和差的證明（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE（3）旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等。注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個圖形的短邊共線）例：如圖，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求證BM+CN=MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE=MN題模：截長補短類例1.3.1如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．【答案】見解析【解析】如圖所示，延長到使．在與中，因為，，，所以，故．因為，，所以．又因為，所以．在與中，，，，所以，則，所以的周長為．典例1．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；證明見解析．【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題．【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，如圖2，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．典例突破：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是（直接寫結(jié)論，不需證明）；（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且2∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫出△DEF的周長．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）成立，理由詳見解析；（3）14．【分析】（1）延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，由“SAS”可證△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可證△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解題；（2）延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，即可證明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再證明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解題；（3）延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，由“SAS”可證△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可證△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解．【詳解】證明：（1）延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，∴∠EAF＝∠FAG＝50°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD；如圖，延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，典例1.在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AC=AB+BD．【答案】解：在AC上截取AE=AB，連接DE，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，在△AED和△ABD中，，∴△AED≌△ABD（SAS），∴ED=BD，∠AED=∠B，∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，又∠AED為△CED的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED，∴EC=BD，則AC=AE+EC=AB+BD．【精準解析】在AC上截取AE=AB，連接DE，由AD為角平分線，得到一對角相等，再由AD為公共邊，利用SAS可得出△AED與△ABD全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得ED=BD，由全等三角形的對應(yīng)角相等可得∠AED=∠B，由∠B=2∠C等量代換得到∠AED=2∠C，又∠AED為△ECD的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠AED=∠C+∠EDC，可得出∠C=∠EDC，根據(jù)等角對等邊可得出EC=DE，等量代換得到EC=BD，由AC=AE+EC，等量代換可得證．練習(xí)1.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．【答案】證明：在AC上取AF=AE，連接OF，∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO，在△AEO與△AFO中，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°﹣∠B）=60°，則∠AOC=180°﹣∠ECA﹣∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，則∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，∴在△FOC與△DOC中，，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【精準解析】在AC上取AF=AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再證得∠COF=∠COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法ASA即可證△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得結(jié)論．練習(xí)2.如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，求證：AB=AC+BD．【答案】證明：在AB上取一點F，使AF=AC，連結(jié)EF．∵EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°．在△ACE和△AFE中，，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE．∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠D．在△BEF和△BED中，，∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD．∵AB=AF+BF，∴AB=AC+BD．【解析】在AB上取一點F，使AF=AC，連結(jié)EF，就可以得出△ACE≌△AFE，就有∠C=∠AFE．由平行線的性質(zhì)就有∠C+∠D=180°，由∠AFE+∠EFB=180°得出∠EFB=∠D，在證明△BEF≌△BED就可以得出BF=BD，進而就可以得出結(jié)論．《小結(jié)》當題目中出現(xiàn)兩條以上的線段的關(guān)系時，常會優(yōu)先考慮截長補短法，其中截長法是將長線段截成兩段短線段，再分別證明兩對短線段相等.典例2.如圖所示，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：DA平分∠CDE．【解答】解：連接AC，延長DE到F，使EF=BC，連接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中， ，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．【精準解析】連接AC，延長DE到F，使EF=BC，連接AF，易證△ABC≌△AEF，進而可以證明△ACD≌△AFD，可得∠ADC=∠ADF即可解題．練習(xí)1.ABCD是正方形，P為BC上任意一點，∠PAD的平分線交CD于Q，求證：DQ=AP-BP．【解答】解：延長CB至G，使得BG=DQ，連結(jié)AG，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABG=∠D=90°，∴△ABG≌△ADQ，∴∠GAB=∠QAD，∠G=∠AQD，∵AQ平分∠PAD，∴∠PAQ=∠DAQ，∴∠PAG=∠BAQ，∵AB∥CD，∴∠BAQ=∠AQD，∴∠PAG=∠G，∴AP=PG=PB+BG=PB+DQ，即DQ=AP-BP．練習(xí)2.問題背景：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．探索延伸：（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【答案】證明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.【精準解析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題．《小結(jié)》當題目中出現(xiàn)兩條以上的線段的關(guān)系時，常會優(yōu)先考慮截長補短法，其補短法是將某一條短線段補成長線段，再分別證明線段相等.【難】1.【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．【答案】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長AD到M，使AD=DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD=BD，∵在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB，∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AE=EF，∴∠CAD=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC，即AC=BF．【解析】（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長AD到M，使AD=DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD即可．【難】2.閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證明AB=CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種對原題進行證明．（1）延長DE到F，使得EF=DE（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F（3）過點C作CF∥AB交DE的延長線于F．【答案】解：方法一：延長DE到F，使得EF=DE，連接BF．在△DEC和△FEB中，，∴△DEC≌△FEB，∴∠D=∠F，DC=FB，∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F，∴BA=BF，∴AB=CD．方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F∵CG⊥DE，BF⊥DE，∴∠CGE=∠BFE=90°，在△CGE和△BFE中，，∴△CGE≌△BFE，∴BF=CG，在△ABF和△DCG中，，∴△ABF≌△DCG，∴AB=CD．方法三：過點C作CF∥AB交DE的延長線于F．∵CF∥AB，∴∠BAE=∠F，∠B=∠FCE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE，∴AB=FC，∵∠BAE=∠D，∠BAE=∠F，∴∠D=∠F，∴CF=CD，∴AB=CD．【解析】方法一：延長DE到F，使得EF=DE，連接BF．只要證明△DEC≌△FEB，即可解決問題．方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F．先證明△CGE≌△BFE，再證明△ABF≌△DCG即可．方法三：過點C作CF∥AB交DE的延長線于F．只要證明△ABE≌△FCE，即可解決問題．【難】3.如圖，AC∥BD，E為CD的中點，AE⊥BE（1）求證：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）線段AB、AC、BD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并證明．【答案】解：（1）如圖所示，延長AE交BD的延長線于F，∵AC∥BD，∴∠CAE=∠DFE，∵E為CD的中點，∴CE=DE，在△CAE和△DFE中，，∴△CAE≌△DFE（AAS），∴AC=DF，AE=FE，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠FEB=90°，在△AEB和△FEB中，，∴△AEB≌△FEB（SAS），∴∠BAE=∠F，∠ABE=∠FBE，∴∠CAE=∠BAE，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）線段AB、AC、BD的數(shù)量關(guān)系為：AB=BD+AC．證明：由（1）可得，△AEB≌△FEB，∴AB=BF，即AB=BD+DF，由（1）可得，DF=AC，∴AB=BD+AC．【解析】（1）先判定△CAE≌△DFE（AAS），得出AC=DF，AE=FE，再判定△AEB≌△FEB（SAS），得到∠BAE=∠F，∠ABE=∠FBE，再根據(jù)∠CAE=∠BAE，即可得出AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得AB=BF，即AB=BD+DF，再根據(jù)（1）可得，DF=AC，即可得到AB=BD+AC．【難】3.△ABC中，∠A=60°，BE，CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，CF與BE相交于點O．（1）如圖1，若∠ACB=90°，求證：BF+CE=BC；（2）如圖2，若∠ABC與∠ACB是任意角度，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請說明你的理由．【答案】解：（1）在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∵BE，CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠FBO=∠CBO=15°，∠ECO=∠BCO=45°，∴△BOC中，∠BOC=120°，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．（2）結(jié)論BC=BF+CE仍成立．在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°，∠ECO=∠BCO，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．【解析】（1）在BC上找到D，使得BF=BD，根據(jù)SAS易證△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，進而得出∠COE=∠COD=60°，即可證明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根據(jù)BC=BD+CD即可得出結(jié)論；（2）在BC上找到D，使得BF=BD，易證△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，進而得出∠COE=∠COD=60°，即可證明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根據(jù)BC=BD+CD即可得出結(jié)論．【難】4.（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD；（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】證明：（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，應(yīng)當是EF=BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF，∴EG=EF∵EG=BE﹣BG，∴EF=BE﹣FD．【解析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長EB到G，使BG=DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要通過其他的全等三角形來實現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．【難】5.已知四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1），易證AE+CF=EF；當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．【答案】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BE，CF=BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF為等邊三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；圖2成立，圖3不成立．證明圖2．延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，在△BAE和△BCK中，則△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AE﹣CF=EF．【解析】根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF，從而得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，從而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF=EF．同理圖2可證明是成立的，圖3不成立．【難】6.問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】解：問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；實際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．【解析】問題背景：根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答；探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可；實際應(yīng)用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出∠EOF=∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可．角平分線模型知識精講1. 過角平分線上一點向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)來解決問題，例：已知：P是平分線上的一點，過點P作于點M，過點P作于點N，則.2. 若題目中已經(jīng)有了角平分線和角平分線上一點到一邊的垂線段（距離），則作另一邊的垂線段，例：已知：AD是的平分線，，過點D作于點E，則.3. 在角的兩邊上取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形（角邊等，造全等），例：已知：點D是平分線上的一點，在OA、OB上分別取點E、F，且，連接DE、DF，則.4. 過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，例：已知：點D是平分線上的一點，過點D作，則是等腰三角形，即.證明：是的平分線，，又，是等腰三角形.5. 有角平分線時，過角一邊上的點作角平分線的平行線，交角的另一邊所在直線于一點，也可構(gòu)造等腰三角形，例：已知：OC平分，點D是OA上一點，過點D作交OB的反向延長線于點E，則.6. 從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的另一邊相交，則可得到一個等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，點D在OA上，DE⊥OE，則可延長DE交OB于點F，則DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分線時，可