江西省宜春市豐城市2023-2024學(xué)年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷含解析

江西省宜春市豐城市2023-2024學(xué)年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．2．在直角中，，，，若，則（）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．5．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件8．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列的前13項(xiàng)和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-3211．過雙曲線左焦點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）交的右支于點(diǎn)，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．12．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某中學(xué)舉行了一次消防知識競賽，將參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是80，則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________．14．函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，且當(dāng)時，．給出下列三個結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點(diǎn)；③不等式的解集為．其中，正確結(jié)論的序號是________．15．已知、為正實(shí)數(shù)，直線截圓所得的弦長為，則的最小值為__________.16．若，i為虛數(shù)單位，則正實(shí)數(shù)的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求的值18．（12分）已知函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求的極大值；（2）求實(shí)數(shù)的范圍，使得恒成立.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于點(diǎn)、．試判斷是否為定值,并說明理由．20．（12分）已知點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點(diǎn)），與拋物線C的準(zhǔn)線交于M，N兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H．過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．21．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點(diǎn)，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．22．（10分）過點(diǎn)P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點(diǎn)，已知當(dāng)l的斜率為時，.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2、C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加減運(yùn)算，運(yùn)用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值．【詳解】在直角中，，，，，

，

若，則故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查．4、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由圖可知，.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱，其體積為，故原幾何體的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復(fù)原幾何體時注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對應(yīng)關(guān)系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當(dāng)，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8、C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．9、D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，解得，即函?shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.10、A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由，，得.選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.11、D【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接并延長交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，連接并延長交右支于.因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，?又雙曲線為中心對稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因?yàn)闉橹苯侨切?，故，解?在中，有，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.12、C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】

根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計算樣本容量，再計算成績在80～100分的頻率，繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是，則樣本容量是，又成績在80～100分的頻率是，則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是．故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，數(shù)形運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、①③【解析】

利用奇函數(shù)和，得出函數(shù)的周期為，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得，結(jié)合，進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，可判斷②的正誤；采用換元法，結(jié)合圖象即可得解，可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對于①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故①正確；對于②，，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為和.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個零點(diǎn)，分別是、、、、，故②錯誤；對于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及奇偶性、周期性和零點(diǎn)等知識點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中等題．15、【解析】

先根據(jù)弦長，半徑，弦心距之間的關(guān)系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.【詳解】解：圓的圓心為，則到直線的距離為，由直線截圓所得的弦長為可得，整理得，解得或(舍去)，令，又，當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考核基本不等式求最值，關(guān)鍵是對目標(biāo)式進(jìn)行變形，變成能用基本不等式求最值的形式，也可用換元法進(jìn)行變形，是中檔題.16、【解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，即可得答案．【詳解】由已知可得：，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解析】

（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程，利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），并設(shè)點(diǎn)、所對應(yīng)的參數(shù)分別為、，利用韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】（1）由，得，，曲線的普通方程為，由，得，直線的直角坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，則，設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)分別為、，，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）.（2）【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極值存在的條件可求t，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求極大值；（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】（1），x＞0，由題意可得，0，解可得t＝﹣4，∴，易得，當(dāng)x＞2，0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得極大值f（1）＝﹣3；（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0時恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時恒成立，令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，則，（i）當(dāng)t≥0時，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，（ii）當(dāng)﹣2＜t＜0時，g（x）在（）上單調(diào)遞減，在（0，），（1，+∞）上單調(diào)遞增，此時g（1）＝t﹣1＜﹣1不合題意，舍去；（iii）當(dāng)t＝﹣2時，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時g（1）＝﹣3不合題意；（iv）當(dāng)t＜﹣2時，g（x）在（1，）上單調(diào)遞減，在（0，1），（）上單調(diào)遞增，此時g（1）＝t﹣1＜﹣3不合題意，綜上，t≥1時，f（x）≥2恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及極值，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)處理不等式的恒成立問題，分類討論思想，屬于中檔題.19、（1）（2）為定值．【解析】

（1）根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程：,因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個交點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達(dá)式,比即可得出為定值．【詳解】解：（1）依題意,,,．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）為定值.①因?yàn)橹本€分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率．②設(shè)直線：,由得,由,得．①把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問題,考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.20、(1)(2)4【解析】

（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入拋物線中求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及垂直關(guān)系，得出關(guān)系式，計算的值即可．【詳解】（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入中，求得，∴P（2，），，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，∴，∴，解得，∴，∴拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為，；設(shè)，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則．【點(diǎn)睛】