新教材高中數(shù)學(xué)第九章統(tǒng)計9.2.3總體集中趨勢的估計課件

9.2.3

總體集中趨勢的估計課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.結(jié)合實例,能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)).2.會求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)并理解它們的意義和作用.3.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.4.培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【問題思考】1.在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的知識,利用已有知識,回答下列問題:(1)如果5個數(shù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為7,那么x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1這5個數(shù)的平均數(shù)是多少?(2)一組數(shù)據(jù)12,15,24,25,31,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位數(shù)是多少?眾數(shù)是多少?②特征:樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,這是中位數(shù)不具有的性質(zhì).所以與中位數(shù)比較,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,但平均數(shù)受樣本中的極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低.(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列,處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.②特征:一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的,中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值,并未利用其他數(shù)據(jù),所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變.(3)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高矩形的底邊的中點.②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個.眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多,但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度.因此,眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分,對極端值也不敏感.(4)一般地,對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述,可以用平均數(shù)、中位數(shù);而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述,可以用眾數(shù).(5)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).一般來說,對一個單峰的頻率分布直方圖來說,如果直方圖的形狀是對稱的,那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多;如果直方圖在右邊“拖尾”,那么平均數(shù)大于中位數(shù);如果直方圖在左邊“拖尾”,那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說,和中位數(shù)相比,平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.3.做一做:(1)一個樣本數(shù)據(jù)如下:5.3,5.2,5.1,5,3.3,4,4.5,3.2,4.5,則該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)分別為(

)A.4.5和5 B.4.5和4 C.4.5和4.5 D.4.5和4.75(2)已知一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2,則樣本平均值為(

)A.4.55 B.4.5

C.12.5 D.1.64解析:(1)將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列:3.2,3.3,4,4.5,4.5,5,5.1,5.2,5.3,故眾數(shù)為4.5,中位數(shù)為4.5.答案:(1)C

(2)A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù),則中位數(shù)是按從小到大順序排列的最中間的那兩個數(shù).(

×

)(2)在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高矩形的底邊的中點.(

√

)(3)因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以用平均數(shù)能更好地反映數(shù)據(jù)的集中趨勢.(

×

)(4)在一組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)只有一個.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在具體數(shù)據(jù)中的應(yīng)用【例1】

高一(3)班有男同學(xué)27名,女同學(xué)21名,在一次語文測驗中,男同學(xué)的平均分是82分,中位數(shù)是75分,女同學(xué)的平均分是80分,中位數(shù)是80分.(1)求這次測驗全班的平均分(精確到0.01分);(2)估計全班成績在80分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人;(3)分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因.分析:根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義解決.(2)因為男同學(xué)成績的中位數(shù)是75分,所以至少有14人得分不超過75分.又因為女同學(xué)成績的中位數(shù)是80分,所以至少有11人得分不超過80分.所以估計全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同學(xué)的平均分與中位數(shù)的差別較大,說明男同學(xué)的成績中兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重,分?jǐn)?shù)高的和低的相差較大.若樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),則說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值;反之,說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.中位數(shù)、平均數(shù)都是描述數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢的量,其中樣本平均數(shù)的大小與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變;但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值,并未利用其他數(shù)據(jù),所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變.【變式訓(xùn)練1】

某工廠人員及周工資構(gòu)成如下表:(1)求工廠人員周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù);(2)平均數(shù)能客觀地反映該工廠的工資水平嗎?為什么?解:(1)由題中表格可知,眾數(shù)為1

200,中位數(shù)為1

220,平均數(shù)為(2

200+1

250×6+1

220×5+1

200×10+490)÷23=1

230.(2)雖然平均數(shù)為1

230元/周,但從題干表格中所列出的數(shù)據(jù)可見,只有經(jīng)理和6名管理人員的周工資在平均數(shù)以上,其余17人的周工資都在平均數(shù)以下,故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該廠的工資水平.探究二

在頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【例2】

某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù);(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分.分析:利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),眾數(shù)、中位數(shù)分別是頻率分布直方圖中最高的小矩形的中間值、累計頻率為0.5時所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的值,平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.本例條件不變,試估計80分以上的學(xué)生人數(shù).解:[80,90)分的頻率為0.025×10=0.25,頻數(shù)為0.25×80=20.[90,100)分的頻率為0.005×10=0.05,頻數(shù)為0.05×80=4.所以估計80分以上的學(xué)生人數(shù)為20+4=24.1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關(guān)系(1)眾數(shù):眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來表示,即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù):在頻率分布表中,中位數(shù)是累計頻率(樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率叫作該數(shù)值點的累計頻率)為0.5時所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的值,而在樣本中有50%的個體小于或等于中位數(shù),也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.2.利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值,往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致,但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).求:(1)高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù);(2)高一參賽學(xué)生的平均成績.解:(1)由題圖可知眾數(shù)為65.因為第一個小矩形的面積為0.3,第二個小矩形的面積為0.4,0.3+0.4>0.5,因此中位數(shù)位于第二個小矩形內(nèi).所以設(shè)中位數(shù)為60+x,則0.3+x×0.04=0.5,得x=5,所以中位數(shù)為60+5=65.(2)依題意,平均成績?yōu)?5×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,故平均成績約為67.隨

堂

練

習(xí)1.奧運會體操比賽的計分規(guī)則為:當(dāng)評委亮分后,其成績先去掉一個最高分,去掉一個最低分,再計算剩下分?jǐn)?shù)的平均值,這是因為(

)A.減少計算量

B.避免故障C.剔除異常值

D.活躍賽場氣氛解析:因為在體操比賽的評分中使用的是平均分,所以計分過程中采用“去掉一個最高分,去掉一個最低分”的方法,防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分?jǐn)?shù)對選手的得分造成較大的影響,從而降低誤差,盡量公平.答案:C2.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是(

)A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù) B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù) D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)答案:D3.某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,則由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是(

)A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.5答案:B4.若已知某組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示