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文檔簡介

2.2

直線與圓的位置關(guān)系情境問題復(fù)習(xí)與基礎(chǔ)練習(xí)．（1）直線

kx－y＋1＋2k＝0

過定點(diǎn)？

（2）圓心為點(diǎn)（2，3），半徑為

3

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？一般方程？（3）點(diǎn)（－2，1）與此圓的位置關(guān)系？數(shù)學(xué)建構(gòu)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：直線

l：Ax＋By＋C＝0；圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2．方法

1：直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：幾何法．利用圓心到直線的距離

d

與半徑

r

的大小關(guān)系判斷：數(shù)學(xué)建構(gòu)

方法

2：利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：代數(shù)法

設(shè)方程組

的解的個(gè)數(shù)為

n，則有

△＞0

n＝2

相交；

△＝0

n＝1

相切；

△＜0

n＝0

相離．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用

例1

求直線

4x＋3y＝40

和圓

x2＋y2＝100

的公共點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系．

解

直線

4x＋3y＝40

和圓

x2＋y2＝100

的公共點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組

的解，解這個(gè)方程組，得，．所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），（，）．因?yàn)橹本€

4x＋3y＝40

和圓

x2＋y2＝100

有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線和圓相交．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用例2

自點(diǎn)

A(－1，4)

作圓

(x－2)2＋(y－3)2＝2

的切線

l，求切線

l的方程．解法1：當(dāng)直線

l

垂直于

x

軸時(shí)，直線

l：x=－1與圓相離，不滿足條件．當(dāng)直線

l

不垂直于

x

軸時(shí)，可設(shè)直線

l

的方程為

y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0．如圖，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心(2，3)到直線

l

的距離等于圓的半徑．從而解得k＝0

或

k＝

．因此，所求直線

l

的方程是

y＝4

或

3x＋4y－13＝0．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用因?yàn)橹本€

l

與圓相切，所以方程組

僅有一組解．由方程組消去

y，得到關(guān)于

x

的一元二次方程

(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0．依題意，這個(gè)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以判別式△＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0．解得

k＝0

或

k＝－0.75．因此，所求直線

l

的方程是

y=4

或

3x＋4y－13＝0．小結(jié)1

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