第08講 相似三角形的判定與性質(zhì)（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第08講相似三角形的判定與性質(zhì)（6大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．二．相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．三．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．四．相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度．①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度．（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．五．作圖-相似變換（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到．（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進(jìn)行簡(jiǎn)單的相似變換作圖．如圖所示：（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡(jiǎn)單的是把原三角形的三邊對(duì)應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對(duì)應(yīng)的相似圖形．六．射影定理（1）射影定理：①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)．②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2＝BD?DC；②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．相似三角形的性質(zhì)（共8小題）1．（2021秋?柯城區(qū)期末）如圖，△ABC∽△A'B′C′，下列說法正確的是（）A．∠B＝∠C′ B．S△ABC＝2S△A′B'C' C．AC＝4A'C' D．A'B′＝62．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，設(shè)△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積分別為S1、S2、S3、S4，下列判斷，其中不正確的是（）A．PA+PB+PC+PD的最小值為10 B．若△PAB≌△PCD，則△PAD≌△PBC C．若△PAB∽△PDA，則PA＝2 D．若S1＝S2，則S3＝S43．（2021秋?麗水期末）如圖，若△ABC∽△DEF，則∠C的度數(shù)是（）A．70° B．60° C．50° D．40°4．（2021秋?拱墅區(qū)期末）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，與其相似的另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為36，則它的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．205．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的長(zhǎng)．6．（2021秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE，DF．（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；（2）若AP＝，求BE；（3）若△PFD∽△BFP，求．7．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可能是（）A． B． C．10 D．8．（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，E是CD上一點(diǎn)，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求證：△ADE≌△BFA；（2）連接BE，若△BCE與△ADE相似，求．二．相似三角形的判定（共9小題）9．（2020秋?溫州月考）如圖，下列條件不能判定△ACD與△ABC相似的是（）A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B10．（2021秋?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．11．（2021秋?柯橋區(qū)月考）如圖，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求證：△ABC∽△AED．12．（2022?淳安縣一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，連接BD，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)E，連接DE，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C．BD2＝BC?BE D．CE?AB＝BE?CA13．（2021秋?北侖區(qū)期末）如圖，一副三角板，AD＝AB，頂點(diǎn)A重合，將△ADE繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，以下4個(gè)位置，不存在相似三角形的是（）A． B． C． D．14．（2021秋?新昌縣期末）如圖，在下列四個(gè)三角形中，與△ABC相似的是（）A． B． C． D．15．（2021秋?北侖區(qū)校級(jí)期中）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．16．（2021秋?西湖區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，連結(jié)AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．（1）求證：AB＝AD．（2）連結(jié)EF，BE，線段FD是線段AD與AF的比例中項(xiàng)．①若AD＝4，求線段FD的長(zhǎng)．②求證：△DEF∽△CEB．17．（2022?淳安縣一模）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的長(zhǎng)；（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．三．相似三角形的判定與性質(zhì)（共7小題）18．（2022?拱墅區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的長(zhǎng)．19．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）在《寺廟難題》書中，有這樣一道題：五個(gè)正方形ABCD，CEFG，F(xiàn)HMN，GNPQ，DGST如圖所示排列，其中點(diǎn)A，B、E，H，M共線，可得結(jié)論：正方形CEFG與△SGQ的面積相等．若正方形CEFG與△SGQ的面積之和為120，則正方形DGST與正方形GNPQ面積之和為（）A．270 B．300 C．320 D．35020．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，M為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，則S△MDN：S△BCD＝（）A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：621．（2022?嘉興二模）如圖，點(diǎn)F，G分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)ED，正方形FGQP的邊PQ恰好在DE上，記正方形ABCD面積為S1，正方形FPQG面積為S2，則S1：S2的值為（）A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：2022．（2022?拱墅區(qū)校級(jí)二模）如圖．已知BD是∠ABC的角平分線，E是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)且AE＝AB．（1）求證：△ADE∽△CDB；（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的長(zhǎng)．23．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，AE＝AD．EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC．（2）若AB＝1，求AE的長(zhǎng)．24．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)自主招生）銳角三角形△ABC的外心為O，外接圓直徑為d，延長(zhǎng)AO，BO，CO，分別與對(duì)邊BC，CA，AB交于D，E，F(xiàn)．（1）求的值；（2）求證：．四．相似三角形的應(yīng)用（共5小題）25．（2021秋?諸暨市期末）如圖，圖1是裝了液體的高腳杯，加入一些液體后如圖2所示，則此時(shí)液面AB為（）A．5.6cm B．6.4cm C．8cm D．10cm26．（2021秋?諸暨市期末）如圖，小聰和他同學(xué)利用影長(zhǎng)測(cè)量旗桿的高度，當(dāng)1米長(zhǎng)的直立的竹竿的影長(zhǎng)為1.5米時(shí)，此時(shí)測(cè)得旗桿落在地上的影長(zhǎng)為12米，落在墻上的影長(zhǎng)為2米，則旗桿的實(shí)際高度為（）A．8米 B．10米 C．18米 D．20米27．（2022?上城區(qū)二模）在上完相似三角形一課后，小方設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)來測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度．如圖，在距離教學(xué)樓MN為18米的點(diǎn)B處豎立一個(gè)長(zhǎng)度為2.8米的直桿，小方調(diào)整自己的位置，使得他直立時(shí)眼睛所在位置點(diǎn)C、直桿頂點(diǎn)A和教學(xué)樓頂點(diǎn)M三點(diǎn)共線．測(cè)得人與直桿的距離DB為2米，人眼高度CD為1.6米，則教學(xué)樓的高度MN為（）米．A．12 B．12.4 C．13.6 D．15.228．（2021秋?上城區(qū)期末）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為8m，B時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為2m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（）m．A．2 B．4 C．6 D．829．（2021秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）如圖，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處．點(diǎn)E到地面的高度DE＝3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的長(zhǎng)．（2）求燈泡到地面的高度AG．五．作圖-相似變換（共3小題）30．（2022?義烏市校級(jí)開學(xué)）如圖，在7×4方格紙中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上（△ABC稱為格點(diǎn)三角形，即格點(diǎn)△ABC），用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中的線段AC上找一個(gè)點(diǎn)D，使CD＝AC；（2）在圖2中作一個(gè)格點(diǎn)△CEF，使△CEF與△ABC相似．31．（2020秋?柯橋區(qū)月考）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，畫2個(gè)相似三角形，在下列各圖中，正確的畫法有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)32．（2021秋?溫州期末）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖．（1）在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)△ADE，使△ADE∽△ABC．（2）在圖2中畫一條格點(diǎn)線段BP，交AC于點(diǎn)Q，使CQ＝2AQ．六．射影定理（共5小題）33．（2016秋?嵊州市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值為（）A． B． C． D．334．（2010?鹿城區(qū)校級(jí)自主招生）在Rt△ABC中，C為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線，若D為垂足，若AC、BC為方程x2﹣6x+2＝0的兩根，則AD?BD的值等于．35．（2010?長(zhǎng)沙校級(jí)自主招生）兩個(gè)任意大小的正方形，都可以適當(dāng)剪開，拼成一個(gè)較大的正方形，如用兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形拼成一個(gè)大正方形．圖中Rt△ABC的斜邊AB的長(zhǎng)等于（用a，b的代數(shù)式表示）．36．（2017秋?濱江區(qū)期末）如圖，在銳角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，則CD＝．37．（2018秋?衢江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝4，AD＝6．（1）求證△ABD∽△CAD；（2）求AC的長(zhǎng)．

鞏固鞏固提升一、單選題1．（2020·余姚市蘭江中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若，則下列說法不正確的是()A． B． C． D．2．（浙江金華·）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．3．（2019·浙江柯橋·九年級(jí)期中）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則下列等式中成立的是()A． B．C． D．4．（2020·浙江濱江·濱蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校）如圖，四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，圖中與相似的三角形為（）A． B． C． D．5．（2020·浙江紹興·）如圖，已知∠1＝∠2，添加下列條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝6．（2020·浙江九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在的邊上，增加下列哪些條件不能使與相似（）A． B． C． D．7．（2021·浙江九年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD，DA上，四邊形EFGH由兩個(gè)正方形組成，且，則線段BE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．（2021·寧波市海曙外國(guó)語學(xué)校）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中和的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則與一定相似的圖形是（）A． B．C． D．二、填空題9．（2019·浙江江北·中考模擬）如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若DE＝5，AB＝8，則S△ABF：S△FCE＝_____．10．（2019·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，直線，，，分別為直線，，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，，線段交直線于點(diǎn)．設(shè)直線，之間的距離為，直線，之間的距離為，若，，且，則的最大值為_____．11．（2020·浙江越城·）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為5步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步？”該問題的答案是______步．12．（2020·余姚市姚北實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，、是銳角的兩條高線，則圖中與相似三角形有______個(gè)．13．（2021·浙江湖州·九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）如圖，將矩形置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)О是