2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-3 . 3 拋物線

3.3拋物線

?3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一拋物線的定義及其應(yīng)用

1.（2021江蘇南京人民中學(xué)月考）設(shè)拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在此拋物線上

且橫坐標(biāo)為5,則PF等于（）

A.4B.6C.8D.10

2.（2021江蘇徐州銅山大許中學(xué)調(diào)研測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線1過(guò)拋

物線y2=4x的焦點(diǎn),交拋物線于A,B兩點(diǎn),且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則線段AB

的長(zhǎng)為（）

A.6B.7C.8D.10

3.（2022安徽淮南第一中學(xué)期中）已知拋物線C:y=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,

且1過(guò)點(diǎn)（-3,2）,M在拋物線C上，若點(diǎn)N（2,4）,則MF+MN的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

題組二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程

4.（2021江蘇泰州中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）若拋物線x2=ay的準(zhǔn)線與橢圓t+y?=l相切,則

4

a=（）

A.-4或4B.4

C.-8或8D.8

5.（2020江蘇南通啟東中學(xué)檢測(cè)）中國(guó)古代的橋梁建筑有不少是世界橋梁史上的

創(chuàng)舉,充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的非凡智慧.有一個(gè)拋物線型拱橋,當(dāng)水面離拱頂

2m時(shí),水面寬8m.若水面下降1m,則水面寬度為（）

A.2V6mB.4乃m*

C.4V2mD.12m

6.（2021江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)檢測(cè)）若雙曲線的方蒙?■程為則

以雙曲線右準(zhǔn)線（即直線％=為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A2口Q

A.y=—12^7―5xB.yz=--12-^5x

C「.x21275y^D.xz=--1-27-5y

題組三直線與拋物線的位置關(guān)系

7.已知直線l:y=x-1與拋物線C:y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，則AB=（）

A.5B.6C.7D.8

8.已知直線y=kx-k及拋物線y2=2px（p>0）,則（）

A.直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)

B.直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)

C.直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)

D.直線與拋物線可能沒(méi)有公共點(diǎn)

9.（2021江蘇南京江浦高級(jí)中學(xué)檢測(cè)）過(guò)點(diǎn)（0,-3）的直線1與拋物線y2=4x只有一

個(gè)公共點(diǎn),則直線1的方程為.

10.（2022安徽淮北第一中學(xué)期中）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M（2,m）

為其上一點(diǎn)，且MF=4.

（1）求P與m的值；

⑵如圖,過(guò)點(diǎn)F作直線1交拋物線于A,B兩點(diǎn),求直線OA,0B的斜率之積.

能力提升練

題組一拋物線的定義及其應(yīng)用

1.（2022河南名校聯(lián)盟模擬）若點(diǎn)P是拋物線y2=8x上一點(diǎn),且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距

離是它到y(tǒng)軸距離的3倍,則線段PF的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于（）

A.1B.-3C.2D.3

2

2.（2020湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)期中）已知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F,拋物線C

的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M（l,y。）在拋物線C上,MF=^,則tanNFAM=（）

4

2ss4

A.-B.-C.-D.-

5245

3.（2021江蘇南京人民中學(xué)月考）已知點(diǎn)A（-2,1）,y2=-4x的焦點(diǎn)為F,P是y2=-4x

上的點(diǎn)，則使PA+PF取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

題組二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用

4.（2022四川成都第七中學(xué)期中）A,B是拋物線x2=2y上的兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn).若

OA=OB,MAAOB的面積為12V3,貝ZAOB=（）

A.30B.45°C.60°D.120°

5.(2021江蘇南通海安期中)已知點(diǎn)F(l,0),直線l:x=-1,動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F間的距離

等于它到直線1的距離.

⑴試判斷點(diǎn)P的軌跡C的形狀,并寫(xiě)出其方程；

⑵若曲線C與直線m:y=x-1相交于A、B兩點(diǎn),求AOAB的面積.

題組三拋物線的綜合應(yīng)用

6.(2020江蘇南通第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)如圖，已知AOAP和4ABQ均為等邊三角

形,它們的邊長(zhǎng)分別為叫n,拋物線y2=2px(p>0)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,Q,則竺二.

n

7.設(shè)拋物線y2=2x上兩點(diǎn)A,B位于x軸的同側(cè),且A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為4,則

直線AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是.

8.(2022江蘇南通如皋中學(xué)月考)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y=-l,

直線1過(guò)點(diǎn)P(0,-1)且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)?點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A',連

接A'B.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)問(wèn)直線A'B是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.C因?yàn)閽佄锞€方程為y2=12x,所以p=6,由拋物線的定義可得PF=x*=5+1=8.故選C.

2.C設(shè)A(xi,yi),B(X2,yz),貝！Ixi+x?=6,由題意知，p-2,貝AB=xi+：+x2+j=xi+x2+p=6+2=8.故選C.

3.D由題可得，準(zhǔn)線1的方程為x=-3,則拋物線的方程為y?=12x,...點(diǎn)N(2,4)在拋物線內(nèi),

如圖所示.

由拋物線的定義可知,MF=x“+3,

；.MN+MF=MN+XM+32XN+3=2+3=5.故選D.

4.A易知拋物線x2=ay的準(zhǔn)線方程為y=小，

4

2

因?yàn)閽佄锞€x?=ay的準(zhǔn)線與橢圓號(hào)+yW相切,所以-白土1,所以a=±4,故選A.

44

5.答案B

信息提取(1)拋物線型拱橋；(2)當(dāng)水面離拱頂2m時(shí),水面寬8m.

數(shù)學(xué)建模本題以中國(guó)古代的橋梁建筑為背景構(gòu)建拋物線模型，以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而求解.

解析由題意，以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0),

由題意知,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,-2)和點(diǎn)B(4,-2),

代入拋物線方程,解得p=4,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?=-8y,

水面下降1m,即尸-3,代入方程,解得xi=2V6,x2=—2A/6,所以此時(shí)水面寬度d=2xi=4V6m.

故選B.

6.B由雙曲線方程得a2=3,b2=2,

則c=Va2+薩=孤.?.雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x=?=靠=誓,

可知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=等，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=-2px(p>0),

則:=手，故2P與金

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是黃=-學(xué)x,故選B.

7.D由條件知,直線y=x-l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，

將y=x-l代入拋物線方程y2=4x,整理得x2-6x+l=0,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則xi+x?=6,

AB=XI+X2+2=8.

8.C因?yàn)橹本€方程為y=kx-k=k(x-1),

所以直線恒過(guò)點(diǎn)(1,0).又點(diǎn)(1,0)在拋物線y=2px(p>0)的內(nèi)部,

所以當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)kWO時(shí),直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn).

故選C.

9.答案x=0或y=-3或x+3y+9=0

解析當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí),直線1的方程為x=0,滿足題意.

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí),設(shè)直線1的方程為y=kx-3,與y2=4x聯(lián)立，

可得k2x2-(6k+4)x+9=0,

當(dāng)k=0時(shí),直線1的方程為y=-3,

滿足題意；

當(dāng)kWO時(shí)，由A=[-(6k+4)]2-36k2=0,解得k=f,

此時(shí)直線1的方程為x+3y+9=0.

綜上,直線1的方程為x=0或y=-3或x+3y+9=0.

10.解析(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為Fg,o),準(zhǔn)線方程為x=￡,

由拋物線的定義知，點(diǎn)M⑵m)與點(diǎn)F間的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，

所以MF=2+g=4,所以p=4,

故拋物線C的方程為y?=8x.

因?yàn)辄c(diǎn)M(2,m)在拋物線C上,所以m2=16,所以m=±4.

(2)由(1)知,拋物線C的方程為yJ8x,焦點(diǎn)為F(2,0),

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí),直線1的方程為x=2,將x=2代入y2=8x,可得y=±4,則A(2,4),B(2,-4),

II-r7114-0-4-0.

從irnK()A?koB——x—=—4;

2-02-0

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí),設(shè)直線1的斜率為k(kWO),則其方程為y=k(x-2),

聯(lián)立4=47消去％得y=k("-2),

即ky2-8y-16k=0,其中kWO,

則△=64+64k2>0,

設(shè)A⑶yJ,B(X2,矽，則加*-16,

所以X|X2=(U?，羽)=](yly2)2=*X(-16)=4,

從而koA?k后%x織=*=主=-4.

Xi-0X2-V4

綜上,直線OA,OB的斜率之積為-4.

能力提升練

1.B根據(jù)題意,得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,F⑵0）,設(shè)P（x。,y?）,

由拋物線的定義及已知條件,得xo+2=3xo,解得xo=l,

所以線段PF的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?=|,所以線段PF的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于|.

2.D如圖,過(guò)M向拋物線的準(zhǔn)線引垂線,垂足為N,則MN=y0+§=也，故y0=2p.

24

又在拋物線上，域，于是2P喘，解得p］（負(fù)值舍去），，MNe券/

tanZFAM=tanZAMN=——AN=4

MN5

故選D.

3?答案（-祠

解析如圖，過(guò)P作PKXld為拋物線的準(zhǔn)線）于K,則PF=PK,???PA+PF=PA+PK,?,?當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的

縱坐標(biāo)相同時(shí),PA+PK的值最小,此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,把y=l代入y?=-4x,得x=-：,

4

即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),PA+PF取得最小值.

4.C如圖，由OA=OB,知A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè)A（-a,y）,Ba>0,

1n2

貝!ISAAOB=|x2axy=12V3,解得a=2g,

所以B(2百,6),

設(shè)NFOB=e,O°<0<90°,

則tan。咨=宜，所以e=30°，所以NA0B=29=60°.故選C.

63

5.解析(1).??點(diǎn)P與點(diǎn)F間的距離等于它到直線1的距離，；.點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn),直線1為準(zhǔn)線的

拋物線,其方程為y=4x.

-2

⑵設(shè)A(xi,yj,B(xz,yz),聯(lián)立？x-6x+l=0,.*.XI+X2=6.

(y=x-1,

:直線m經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F(1,0),

AB=xi+x2+p=6+2=8.

???點(diǎn)。到直線m的距離d=%=號(hào)

SAOAB^AB?d-ix8x—=2V2.

222

6.答案|

解析由已知得A(m,0),B(m+n,0),則P(p-等),Q(加+冷),

因?yàn)閽佄锞€yJ2px(p>0)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,Q,

2

兩式相除可得9=

nz2m+n

設(shè)竺=t(t>0),則三,解得t=；(負(fù)值舍去)，即巴=i

n2t+l2n2