2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：特殊的四邊形-知識(shí)講解（提高）

2024中考總復(fù)習(xí)：特殊的四邊形—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.會(huì)識(shí)別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會(huì)用性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對(duì)角線矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對(duì)稱圖形菱形四條邊相等對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形中心對(duì)稱圖形正方形四條邊相等四個(gè)角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對(duì)角線垂直的矩形是正方形3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形4、對(duì)角線相等的菱形是正方形中心、軸對(duì)稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個(gè)角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.軸對(duì)稱圖形【要點(diǎn)詮釋】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點(diǎn)二、中點(diǎn)四邊形相關(guān)問題中點(diǎn)四邊形的概念：把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．若中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直；

若中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線相等；

若中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直且相等．【要點(diǎn)詮釋】中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．

考點(diǎn)三、重心

1.線段的中點(diǎn)是線段的重心；三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍.

平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的重心?！镜湫屠}】類型一、特殊的平行四邊形的應(yīng)用1.（2012?湛江）如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF、再以對(duì)角線AE為邊作笫三個(gè)正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長記為a1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，則an=___________．【思路點(diǎn)撥】求a2的長即AC的長，根據(jù)直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以計(jì)算，同理計(jì)算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出規(guī)律，得到第n個(gè)正方形邊長的表達(dá)式．【答案】（）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，

∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,

a4=a3=2，…

由此可知：an=an-1=（）n-1故答案為：（）n-1.【總結(jié)升華】考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了學(xué)生找規(guī)律的能力，本題中找到an的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課堂:多邊形與特殊平行四邊形例4】【變式】(2011德州)長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作【答案】或.2．（2015秋?寶安區(qū)校級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8，點(diǎn)P是AC延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AD，垂足為E，作CD延長線的垂線，垂足為E，則|PE﹣PF|=．【思路點(diǎn)撥】延長BC交PE于G，由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由對(duì)頂角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面積的兩種計(jì)算方法求出EG，由角平分線的性質(zhì)定理得出PG=PF，得出PE﹣PF=PE﹣PG=EG即可．【答案】4.8．【解析】解：延長BC交PE于G，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，∴AD==5，∠PCF=∠PCG，∵菱形的面積=AD?EG=AC?BD=×6×8=24，∴EG=4.8，∵PE⊥AD，∴PE⊥BG，∵PF⊥DF，∴PG=PF，∴PE﹣PF=PE﹣PG=EG=4.8．故答案為：4.8．【總結(jié)升華】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、菱形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證出PG=PF是解決問題的關(guān)鍵．類型二、梯形的應(yīng)用3．（2011?資陽）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F．

（1）若點(diǎn)F與B重合，求CE的長；

（2）若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；

（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．【思路點(diǎn)撥】（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC-AD，繼而即可求出答案；

（2）設(shè)AF=CE=x，則HE=x-3，BF=7-x，再通過證明△BEF∽△HDE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，然后代入求解即可；

（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．【答案與解析】（1）∵F與B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，

∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=9，

∴CE=12-9=3．

（2）作DH⊥BC于H，則DH=AB=7，CH=3．

設(shè)AF=CE=x，

∵F在線段AB上，

∴點(diǎn)E在線段BH上，CH=3，CE=x，

∴HE=x-3，BF=7-x，

∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，

∴∠BEF=∠HDE，

又∵∠B=∠DHE=90°，

∴△BEF∽△HDE

∴=，

∴=，

整理得x2-22x+85=0，

（x-5）（x-17）=0，

∴x=5或17，

經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．

∴x=CE=5．

（3）作DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，

∴則HE=x-3，BF=y，

當(dāng)3≤x≤12時(shí)，

易證△BEF∽△HDE，

∴=，

∴y=-x2+x-，

當(dāng)0≤x＜3，

易證△BEF∽△HDE，

則HE=3-x，BF=y，

∴=，

∴y=x2－x＋．【總結(jié)升華】本題考查直角梯形的知識(shí)，同時(shí)考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道小的綜合題，注意對(duì)這些知識(shí)的熟練掌握并靈活應(yīng)用．舉一反三：【變式】（2011?臺(tái)灣）如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點(diǎn)，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+【答案】B.類型三、特殊四邊形與其他知識(shí)結(jié)合的綜合運(yùn)用【高清課堂:多邊形與特殊平行四邊形例7】4.（2014秋?莒南縣期末）正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，連接AF，EF．（1）證明：AC⊥AF；（2）設(shè)AD2=AE×AC，求證：四邊形AEDF是正方形；（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AEDF的周長有最小值，最小值是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件及正方形的性質(zhì)易證△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，進(jìn)而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）若AD2=AE×AC，再由條件∠CAD=∠EAD=45°，易證△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，繼而證明四邊形AEDF為正方形；（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)位置時(shí)，四邊形AEDF的周長有最小值，由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，則DE最小四邊形的周長最小，問題得解．【答案與解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，∵將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，，∴△CDE≌△ADF，∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∴∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）∵AD2=AE×AC，∴∵∠CAD=∠EAD=45°，∴△EAD∽△DAC，∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，∴四邊形AEDF為正方形（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)位置時(shí)，四邊形AEDF的周長有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，則當(dāng)DE最小時(shí)，四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)位置時(shí)，此時(shí)DE=2四邊形AEDF的周長最小值為8．【總結(jié)升華】本題用到的知識(shí)點(diǎn)有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及四邊形周長最小值的問題、動(dòng)點(diǎn)問題，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考題壓軸題．5．（2012?自貢）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担舅悸伏c(diǎn)撥】（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得=,故根據(jù)S四邊形AECF=+=+=即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)=S四邊形AECF-，則△CEF的面積就會(huì)最大．【答案與解析】（1）證明：連接AC，如下圖所示，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD為等邊三角形，

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；

（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

則S△ABE=S△ACF，

故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，

S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=，

由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．

故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，

又S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則此時(shí)△CEF的面積就會(huì)最大．

∴S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF=-××=．【總結(jié)升華】考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．6.（2012?蘇州）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，在移動(dòng)過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時(shí)相應(yīng)x的值；

（2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1-S2是常數(shù)；

（3）當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可解出x的值．

（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可．

（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度．【答案與解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，

∴=，

∵GF=4，CD=DA=1，AF=，

∴GD=3-，AG=4-，

∴=，即y=，

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，

當(dāng)y=3時(shí)，=3，解得x=2.5，

經(jīng)檢驗(yàn)的x=2.5是分式方程的根．故x的值為2.5；

（2）∵S1=GP?GD=??（3-）=，

S2=GD?CD=（3-x）×1=，

∴S1-S2=-=即為常數(shù)；

（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q．

∵正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，

∴∠CAD=45°，

∵PQ⊥AC，

∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°．

∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，

∴3-x=，

化簡得：x2-5x+5=0．

解得：x=，

∵0≤x≤2.5，

∴x=，

在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是用移動(dòng)的時(shí)間表示出有關(guān)線段的長度，然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．舉一反三：【變式】如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點(diǎn)，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H．

（1）當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PHEF是矩形？請(qǐng)予以證明；

（2）在（1）中，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫?？為什么?/p>

【答案】（1）AD=2AB．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=CD；

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴AB=BE=EC=CD；

則△ABE、△DCE是等腰Rt△；

∴∠AEB=∠DEC=45°；

∴∠AED=90°；

四邊形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四邊形PFEH是矩形；

（2）點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫?；理由如下?/p>

由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；

∴∠FAP=∠HDP=45°；

又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，

∴Rt△AFP≌Rt△DHP；

∴PF=PH；

在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.中考總復(fù)習(xí)：全等三角形—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）

A．B．C．或D．或

2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)

3．如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是()

A.1：2：4B.1：3：5C.3：4：7D.5：12：13

4．下列條件能確定△ABC是直角三角形的條件有()

(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)5.已知：△ABC中，AB=AC=，BC=6，則腰長的取值范圍是（）

A.B.C.D.

6.（2015?泰安）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題7．如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，則_____________度．8．如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)在同一條直線上，連接，則的長為_________.

9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB=10，則△BDE的周長等于____________.

10．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于45°，則這個(gè)三角形的頂角等于_________.11.（2015春?鄄城縣期中）如圖，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC為60度，則BE為，∠ABD=．12.已知等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為15和6兩部分，則腰長與底邊的長分別為．三、解答題13.如圖14-59，點(diǎn)O為等邊ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=1100，∠BOC=1350，試問：（1）以O(shè)A、OB、OC為邊，能否構(gòu)成三角形？若能，請(qǐng)求出該三角形各內(nèi)角的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由；（2）如果∠AOB大小保持不變，那么當(dāng)∠BOC等于多少度時(shí)，以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形是一個(gè)直角三角形？14.（2015秋?淮安期中）如圖，在△ABC中，BA=BC，D在邊CB上，且DB=DA=AC．（1）如圖1，填空∠B=，∠C=；（2）若M為線段BC上的點(diǎn)，過M作直線MH⊥AD于H，分別交直線AB、AC與點(diǎn)N、E，如圖2①求證：△ANE是等腰三角形；②試寫出線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．15．已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．1）求證：AB＝CD；

2）若∠BAC＝2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

16.（1）如圖14-63，下列每個(gè)圖形都是由若干個(gè)邊長為1的等邊三角形組成的等邊三角形，它們的邊長分別為1,2,3,…，設(shè)邊長為n的等邊三角形由s個(gè)小等邊三角形組成，按此規(guī)律推斷s與n有怎樣的關(guān)系；（2）現(xiàn)有一個(gè)等角六邊形ABCDEF（六個(gè)內(nèi)角都相等的六邊形，如圖14-64），它的四條邊長分別是2、5、3、1，求這個(gè)等角六邊形的周長；（3）（2）中的等角六邊形能否用（1）中最小的等邊三角形無空隙拼合而成？如果能，請(qǐng)求出需要這種小等邊三角形的個(gè)數(shù).【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C.【解析】提示：分類討論.2.【答案】A3.【答案】D．【解析】常見的一些勾股數(shù)如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍數(shù)等，應(yīng)熟練掌握.

D中設(shè)三邊的比中每一份為k，則(5k)2+(12k)2=(13k)2，所以該三角形是直角三角形.其它答案都不滿足，故選D.4.【答案】D.【解析】三角形中有一個(gè)角是90°，就是直角三角形.題中四個(gè)關(guān)系式都可以解得△ABC中∠C=90°.故選D.5.【答案】B.6.【答案】A.【解析】∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正確，在△CDE與△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正確；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正確．故選A．二、填空題7．【答案】270°.【解析】提示：根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得.8．【答案】.【解析】作DF⊥BE,∵BC=CD，∴∠1=30°，又∵為2的等邊三角形∴DF=，即BD=9．【答案】10.10．【答案】90°.11．【答案】2cm;75°【解析】①∵AB=AC，∠ABC為60度，∴△ABC為等邊三角形．在△ABD和△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∴AE是BC邊的中垂線，∴BE=BC=2cm；故答案是：2cm；②∵AB=AD（已知），∴∠ABD=∠ADB（等邊對(duì)等角），∴∠ABD=（180°﹣∠BAD）=（180°﹣30°）=75°．故答案是：75°．12．【答案】腰為10，底邊長為1.【解析】提示：注意此類題型要分類討論，最終結(jié)果要進(jìn)行驗(yàn)證.三、解答題13.【答案與解析】(1)將△ABO繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，使B與C重合，O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后的點(diǎn)為O'，

因?yàn)锳O=AO'，∠AOO'=60°，所以△AOO'是等邊三角形。所以O(shè)O'=OA．

轉(zhuǎn)動(dòng)后O'C=OB，所以△OO'C其實(shí)就是以O(shè)A、OB、OC為邊組成的三角形，

∠COO'=360°-∠AOB-∠BOC-∠O'OA=360°-110°-135°-60°=55°，

∠CO'O=∠AO’C-∠OO'A=∠AOB-∠OO'A=110°-60°=50°，

∠O'CO=180°-∠COO'-∠CO'O=180°-55°-50°=75°．

（2）從上面的角度計(jì)算我們可以看出來，當(dāng)∠BOC可變時(shí)，∠CO'O依舊為定值50°.若三角形為直角三角形，則∠COO'=90°或∠O'CO=90°.

若使∠COO'=90°，則360°-∠AOB-∠BOC-∠O'OA=90°，可解出∠BOC=100°．

若使∠O'CO=90°，則∠COO'=40°，可解出∠BOC=150°.14.【答案與解析】解：（1）∵BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∵DA=DB，∴∠BAD=∠B，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，∴∠DAC=∠B，∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，∴2∠B+2∠B+∠B=180°，∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，故答案為：36；72；（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，∴∠BAD=36°，在△ACD中，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=72°，∴∠CAD=36°，∴∠BAD=∠CAD=36°，∵M(jìn)H⊥AD，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠AEN=∠ANE=54°，即△ANE是等腰三角形；②CD=BN+CE．證明：由①知AN=AE，又∵BA=BC，DB=AC，∴BN=AB﹣AN=BC﹣AE，CE=AE﹣AC=AE﹣BD，∴BN+CE=BC﹣BD=CD，即CD=BN+CE．15.【答案與解析】(1)證明：∵AF平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC．

∵D與A關(guān)于E對(duì)稱，

∴E為AD中點(diǎn)．

∵BC⊥AD，

∴BC為AD的中垂線，

∴AC＝CD．

∵在Rt△ACE和Rt△ABE中

∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°，∠CAD＝∠DAB．

∴∠ACE＝∠ABE，

∴AC＝AB．

∴AB＝CD．

(2)∵∠BAC＝2∠MPC，

又∵∠BAC＝2∠CAD，

∴∠MPC＝∠CAD．

∵AC＝CD，

∴∠CAD＝∠CDA，

∴∠MPC＝∠CDA．

∴∠MPF＝∠CDM．

∵AC＝AB，AE⊥BC，

∴CE＝BE．

∴AM為BC的中垂線，

∴CM＝BM．

∵EM⊥BC，

∴EM平分∠CMB，

∴∠CME＝∠BME．

∵∠BME＝∠PMF，

∴∠PMF＝∠CME，

∴∠MCD＝∠F(三角形內(nèi)角和)．16.【答案與解析】(1)s=n2(2)19.提示：延長FA、CB交于點(diǎn)P，延長AF、DE交于點(diǎn)Q，延長ED、BC交于點(diǎn)R，可證ΔPAB、ΔQEF、ΔRCD、ΔPQR為等邊三角形．∴DC=CR=DR=3，AB=BP=AP=2，即PR=3+2+5=10=QR=QP,∴EF=6，F(xiàn)A=2，∴周長=1+3+5+2+2+6=19．(3)能，s=102-22-32-62=51(個(gè))．

中考總復(fù)習(xí)：全等三角形—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．已知等邊△ABC的邊長為a，則它的面積是（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)22．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四個(gè)結(jié)論中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正確的是（）A．（1）和（2）B．（2）和（3）C．（3）和（4）D．（1）和（4）3.如圖，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底邊BC上截取BD=AB，過D作DE⊥BC交AC于E，連接AD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．44.如圖，三角形紙片ABC中，∠B=2∠C，把三角形紙片沿直線AD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的E處，那么下列等式成立的是（）A．AC=AD+BDB．AC=AB+BDC．AC=AD+CDD．AC=AB+CD5．（2012?鎮(zhèn)江）邊長為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長為（）A.B．C．D.6.（2014?本溪校級(jí)二模）如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A． B． C． D．不能確定二、填空題7．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，E重合)，在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的有______________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上).8．（2015?鄂爾多斯）如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H．若MH=8cm，則BG=cm．9.若直角三角形兩直角邊的和為3，斜邊上的高為，則斜邊的長為.10.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，△BPC是等邊三角形，則△CDP的面積是_________；△BPD的面積是_________.

11．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10.若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，則點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離為_________，∠APB=_________.

12．.以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積Sn=________.三、解答題13.已知：在△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM，DM．

（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你得到的結(jié)論；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在BA延長線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；

（3）若點(diǎn)E在AB延長線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系．14.(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF＝90°.

求證：BE＝CF.

圖1

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.

圖2

(3)已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).

圖3圖4

15．①如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn),P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，

AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面請(qǐng)你完成余下的證明過程）

②若將①中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說明理由．

③若將①中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請(qǐng)你做出猜想：

當(dāng)∠AMN=_____________°時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

16.（2015秋?江陰市期中）如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長．（2）問t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此題采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此圖中等腰三角形共4個(gè)．4.【答案】B.【解析】根據(jù)題意證得AB=AE，BD=DE，DE=EC．據(jù)此可以對(duì)以下選項(xiàng)進(jìn)行一一判定．選B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=．故選：B．二、填空題7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：證△ACD≌△BCE,△ACP≌△BCQ.8．【答案】4.【解析】如圖，作MD⊥BC于D，延長DE交BG的延長線于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵M(jìn)D∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM為等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．9．【答案】.【解析】設(shè)直角邊為a,b,斜邊為c，則+=3，，，代入即可.10．【答案】1，.【解析】∵△BPC是等邊三角形，∴∠PCD=30°做PE⊥CD,得PE=1，即△CDP的面積是=×2×1=1；根據(jù)即可推得.11．【答案】6，150°.12．【答案】.三、解答題13.【答案與解析】（1）結(jié)論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

理由：∵BM、DM分別是Rt△DEC、Rt△EBC的斜邊上的中線，

∴BM=DM=CE；

又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；

同理可得∠DME=2∠DCM；

∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．

（2）在（1）中得到的結(jié)論仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD

證法一：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴BM=EC=MC，又點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴DM=EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=MC，DM=MC，

∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，

∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

證法二：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴BM=EC=ME；

又點(diǎn)M是Rt△DEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴DM=EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=ME，DM=MC，

∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，

∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，

∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

（3）所畫圖形如圖所示：

圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；

圖2中∠BCD不存在，有BM=DM；

圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．

解法同（2）．14.【答案與解析】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)解：如圖2,過點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，

過點(diǎn)B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn)O/，

則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n．15.【答案與解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM,∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°,

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE=MC，連接ME

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°．

∵AE=MC，∴BE=BM

∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（3）16.【答案與解析】解：（1）如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，∴出發(fā)2秒后，則CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+=7．（2）①如圖2，若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=3cm，此時(shí)用的時(shí)間為3s，△BCP為等腰三角形；②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時(shí)AP=2cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm，所以用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△PCD中，PD===1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P運(yùn)動(dòng)的路程為9﹣3.6=5.4cm，則用的時(shí)間為5.4s，△BCP為等腰三角形；ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+2.5=6.5cm則所用的時(shí)間為6.5s，△BCP為等腰三角形；綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時(shí)，△BCP為等腰三角形（3）如圖6，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，∴t+2t﹣3=3，∴t=2；如圖7，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，∴t﹣4+2t﹣8=6，∴t=6，∴當(dāng)t為2或6秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．中考總復(fù)習(xí)：特殊三角形—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】【高清課堂：等腰三角形與直角三角形考綱要求】1.了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定；2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題；3.會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).

(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.

3.判定：

(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

要點(diǎn)詮釋：

(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

考點(diǎn)二、直角三角形1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：

(1)直角三角形中兩銳角互余.

(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：

(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形.

(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【典型例題】類型一、等腰三角形1．如圖，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于()

A.頂角的2倍B.頂角的一半C.頂角D.底角的一半

【思路點(diǎn)撥】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-(180-∠A)=∠A，【總結(jié)升華】本題適用于任何一種等腰三角形,可以試著證明在鈍角三角形中結(jié)論一樣成立；總結(jié)規(guī)律，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于頂角的一半.舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)【答案】A．2．（2015秋?南通校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，則BC=cm．【思路點(diǎn)撥】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=30，DE=2，進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案．【答案】32;【解析】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM為等邊三角形，∴△EFD為等邊三角形，∵BE=30，DE=2，∴DM=28，∵△BEM為等邊三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=14，∴BN=16，∴BC=2BN=32，故答案為32．【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長是解決問題的關(guān)鍵．類型二、直角三角形3．將一張矩形紙片如圖所示折疊，使頂點(diǎn)落在點(diǎn).已知，，則折痕的長為()A.B.C.D.

【思路點(diǎn)撥】直角三角形是常見的幾何圖形，在習(xí)題中比較多的利用數(shù)形結(jié)合解決相應(yīng)的問題.常用的是兩銳角互余，三邊滿足勾股定理和直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.【答案】C.【解析】由折疊可知，∠CED=∠C′ED=30°，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，

所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故選C.【總結(jié)升華】折疊題型一定要注意對(duì)應(yīng)的邊相等，對(duì)應(yīng)的角相等.【變式】如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm，BC=8cm，將△ABC折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則DE的長為()．A.B.C.D.5

【答案】B.

解析：由折疊可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB

設(shè)BD為x，則CD=8-x

∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2

∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=

在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5

在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=，故選B.4．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.

(1)若∠BAC=30°，求證:AD=BD；

(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù).