2024年中考數(shù)學總復(fù)習：多邊形與平行四邊形- 鞏固練習（基礎(chǔ)）

2024年中考數(shù)學總復(fù)習：多邊形與平行四邊形-鞏固練習（基礎(chǔ)）【鞏固練習】一、選擇題1.任意三角形兩邊中點的連線與第三邊上的中線()．

A．互相平分B．互相垂直C．相等D．互相垂直平分2.（2015春?平頂山期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線AC上的兩點，給出下列四個條件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3.若一個多邊形的對角線的條數(shù)恰好為邊數(shù)的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)為()．A．6B．7C．8D．94.如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，則EF的長為()A．2B．C．4D．5.下列說法正確的是（）．

A．平行四邊形的對角線相等

B．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C．平行四邊形的對角線交點到一組對邊的距離相等

D．沿平行四邊形的一條對角線對折，這條對角線兩旁的圖形能夠重合

6.如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，當E，F(xiàn)滿足下列哪個條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（）．

（A）AE=CF（B）DE=BF（C）∠ADE=∠CBF（D）∠AED=∠CFB

二、填空題7.已知：A、B、C、D四點在同一平面內(nèi)，從①AB∥CD②AB=CD③BC∥AD④BC=AD這四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法共有________種．8.平行四邊形兩鄰邊上的高分別是和，高的夾角是60°，則這個平行四邊形的周長為____，

面積為__________．9．如圖，已知直線m∥n，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點，

（1）請寫出圖中面積相等的三角形________________________________________．

（2）如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么，無論點P移動到什么位置，總有______與△ABC的面積相等，理由是________________．10.如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是_________.

11.（2012?茂名）從一個n邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形分割成6個三角形，則n的值是_______________．12.（2014春?深圳期末）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作PF⊥BC于點F，交AD于點E，交BA的延長線于點P．若PE=EO=2，PA=3，則△OBC的面積等于．三、解答題13.如圖，已知△ABC，以BC為邊在點A的同側(cè)作正△DBC，以AC、AB為邊在△ABC的外部作正△EAC和正△FAB.求證：四邊形AEDF是平行四邊形．

14.（2015?棗莊）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．（1）求證：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AD的長．15.（2011?瀘州）如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點，CE∥AB，DE交AC于點O，且OA=OC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．16（2011?貴陽）[閱讀]

在平面直角坐標系中，以任意兩點P（

x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為(，)．

[運用]（1）如圖，矩形ONEF的對角線相交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M的坐標為_______．

（2）在直角坐標系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點，求點D的坐標．【答案與解析】一．選擇題1.【答案】A．2．【答案】B．【解析】由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B．3．【答案】D．【解析】設(shè)邊數(shù)為n，則，∴n＝9.4．【答案】B.【解析】在?ABCD中，AB∥CD且AB＝CD.又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE為平行四邊形，∴DE＝AB.∵EF⊥BC，DF＝2，∴CE＝2DF＝4.∵∠ECF＝∠ABC＝60°，∴EF＝CE·sin∠ECF＝4×＝2.5．【答案】C．6．【答案】B.二．填空題7．【答案】4.8．【答案】20；.9．【答案】（1）△ABC與△ABP;△ACP與△BCP;△AOC與△BOP；（2）△ABP；同底等高.10．【答案】n2+2n．【解析】第1個圖形是2×3-3，第2個圖形是3×4-4，第3個圖形是4×5-5，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n．11.【答案】8.【解析】設(shè)多邊形有n條邊，則n-2=6，解得n=8．12．【答案】4.【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AO=CO，BO=DO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO=FO，AE=FC，∵PE=EO=2，∴FO=2，∵AE∥BF，PF⊥BC，∴△PAE∽△PBF，∠PEA=90°，∴=，∴AE==，∴=，解得：BF=3，則BC=4，故△OBC的面積為：FO×BC=×2×4=4．故答案為：4．三.綜合題13．【解析】證明：∵△ABF為正三角形，

∴AB=FB,∠1+∠2=60°．

∵△EAC和△BCD是正三角形，

∴AE=AC,BC=BD,∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3．

在△BDF和△BCA中，

∴△BDF≌△BCA(SAS)，

∴FD=AC

．

又∵AE=AC

，

∴FD=AE

，

同理可證△CAB≌△CED，可得AB=ED=AF

，

∴四邊形AEDF是平行四邊形．14．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF與△OBE中∴△ODF≌△OBE（AAS）∴BO=DO；（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==DO，∴在等腰RT△ADB中，DB=2DO=2=AD∴AD=2，15．【解析】解：猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等．

證明：∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，

∴△ADO≌△ECO，

∴AD=CE，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

∴CD平行且等于AE．16.【解析】解：（1）M（，），即M（2，1.5）．

（2）根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得：

設(shè)D點的坐標為（x，y），

∵ABCD是平行四邊形，

①當AB為對角線時，

∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），

∴BC=，

∴AD=，

∵-1+3-1=1，2+1-4=-1，

∴D點坐標為（1，-1），

②當BC為對角線時，

∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），

∴AC=2，BD=2，

D點坐標為（5，3）．

③當AC為對角線時，

∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），

∴AB=，CD=，

D點坐標為：（-3，5），

綜上所述，符合要求的點有：（1，-1），（-3，5），（5，3）．中考總復(fù)習：多邊形與平行四邊形-鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1．如圖，四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面積是，則四邊形ABCD的周長為（）

A．49cmB．43cmC．41cmD．46cm

2．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，點E、F是中線AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是：()A.

；B.2；C.3；D.4．

3.已知點A(2，0)、點B(，0)、點C(0，1)，以A、B、C三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4.(2011·安徽)如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，點P在四邊形ABCD的邊上，若P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．45.如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD=4AG；

④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論的是（）．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②④

6.（2014?杭州模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四邊形ACED是平行四邊形；②△BCE是等腰三角形；③四邊形ACEB的周長是10+2；④四邊形ACEB的面積是16．則以上結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④二、填空題7.如圖，口ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點A正好落在CD上的點F，若△FDE的周長為8，△FCB的周長為22，則FC的長為________.8.（2015春?淅川縣期末）若工人師傅用正三角形、正十邊形與正n邊形這三種正多邊形能夠鋪成平整的地面，則n的值為．9.如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，點E、F分別是邊BC、AD邊的中點，點M是AE與BF的交點，點N是CF與DE的交點，則四邊形ENFM的周長是__________．

10.（2011?梅州）凸n邊形的對角線的條數(shù)記作an（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=_____；②a6-a5=____

；③an+1-an=____．（n≥4，用n含的代數(shù)式表示）11.①如圖（1）,四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個平行四邊形；

②如圖（2），四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個平行四邊形；

③如圖（3），四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個平行四邊形；一般地，若四邊形ABCD中，E1，E2，E3，…，都是AD上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，都是BC上的點，且AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥…∥∥CD，AD∥BC，則圖中共有________平行四邊形.12.如圖所示，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴展”而來的，…，依此類推，則由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為___________.三、解答題13.問題再現(xiàn)：現(xiàn)實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設(shè)計中隨處可見．在八年級課題學習“平面圖形的鑲嵌”中，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題、今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中幾個問題，共同來探究．

我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如圖中，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)在一個頂點O周圍圍繞著4個正方形的內(nèi)角．試想：如果用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應(yīng)該圍繞著3個正六邊形的內(nèi)角．

問題提出：如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設(shè)計出幾種不同的組合方案？

問題解決：

猜想1：是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

分析：我們可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決、從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵在于分析能同時用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點．具體地說，就是在鑲嵌平面時，一個頂點周圍圍繞的各個正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角．

驗證1：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有x個正方形和y個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．根據(jù)題意，可得方程：90x+?y=360，整理得：2x+3y=8，

我們可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為．

結(jié)論1：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形和2個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．

猜想2：是否可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？若能，請按照上述方法進行驗證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由．

驗證2：_______；結(jié)論2：_______．

上面，我們探究了同時用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學們用同樣的方法，一定會找到其它可能的組合方案．

問題拓廣：請你仿照上面的研究方式，探索出一個同時用三種不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌的方案，并寫出驗證過程．

猜想3：_______；

驗證3：_______；

結(jié)論3：_______．14.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補．

（1）求∠C的度數(shù)；

（2）若BC＞CD且AB=AD，請在圖上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個正方形，并說明理由；

（3）若CD=6，BC=8，S四邊形ABCD=49，求AB的值．15.（2015春?蘇州校級期末）如圖，正方形ABCD中，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF=BP，且點F與點E在BC同側(cè)，連接EF、CF．（1）如圖①，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形．（2）如圖②，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由．16．（2012?廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）當α=60°時，求CE的長；

（2）當60°＜α＜90°時，

①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

②連接CF，當CE2-CF2取最大值時，求tan∠DCF的值．【答案與解析】一．選擇題1.【答案】D.2．【答案】A.3.【答案】C．4．【答案】B.【解析】如圖所示，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由題意得AE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝2＞eq\f(3,2)，∴在邊AB和AD上各存在一個點P到BD的距離為eq\f(3,2).∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝45°.又∠ADC＝90°，

∴∠CDF＝45°.∴CF＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1＜eq\f(3,2)，∴在邊BC和CD上不存在符合題意的點P.綜上所述.5．【答案】A.【解析】先證ΔADF≌ΔABC,可得DF=AC=AE.∵DF∥AE且DF=AE∴四邊形ADFE為平行四邊形，即①②③④是正確的.6．【答案】D.【解析】①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，故①正確；②∵D是BC的中點，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正確；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四邊形ACEB的周長是10+2故③正確；④四邊形ACEB的面積：×2×4+×4×2=8，故④錯誤，故選：A．二．填空題7．【答案】7.【解析】由題意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7.

8．【答案】十五.【解析】正三邊形和正十邊形內(nèi)角分別為60°、144°，正n邊形的內(nèi)角應(yīng)為360°﹣60°﹣144°=156°，所以正n邊形為正十五邊形．故答案為：十五．9．【答案】4+4．10．【答案】5；4；n-1．【解析】①五邊形有5條對角線；②六邊形有9條對角線，9-5=4；

③n邊形有

條對角線，n+1邊形有條對角線，

an+1-an=-=n-1．11.【答案】①3;②6;③10，.12．【答案】n（n+1）．【解析】∵①正三邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是12=3×4，②正四邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是20=4×5，

③正五邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為30=5×6，

④正六邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為42=6×7，

∴正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為n（n+1）．三.綜合題13．【解析】用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應(yīng)該圍繞著3個正六邊形的內(nèi)角．

驗證2：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有a個正三角形和b個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，

根據(jù)題意，可得方程：60a+120b=360．

整理得：a+2b=6，

可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為和結(jié)論2：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著4個正三角形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．

猜想3：是否可以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

驗證3：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有m個正三角形、n個正方形和c個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．

根據(jù)題意，可得方程：60m+90n+120c=360，

整理得：2m+3n+4c=12，

可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為

結(jié)論3：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正三角形、2個正方形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．（說明：本題答案不惟一，符合要求即可．）14．【解析】（1）∵∠ABC與∠ADC互補，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠A=90°，∴∠C=360°-90°-180°=90°；（2）過點A作AE⊥BC，垂足為E．則線段AE把四邊形ABCD分成△ABE和四邊形AECD兩部分，把△ABE以A點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則被分成的兩部分重新拼成一個正方形．過點A作AF∥BC交CD的延長線于F，∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADF．

∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．

∴AE=AF．∴四邊形AECF是正方形；

（3）解法1：連接BD，

∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD==10

又∵S四邊形ABCD=49，∴S△ABD=49-24=25．

過點A作AM⊥BD垂足為M，

∴S△ABD=×BD×AM=25．∴AM=5．

又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．∴=．

設(shè)BM=x，則MD=10-x，

∴=．解得x=5．∴AB=5．

解法2：連接BD，∠A=90°．

設(shè)AB=x，AD=y，則x2+y2=102，①

∵xy=25，∴xy=50．②

由①，②得：（x-y）2=0．

∴x=y．2x2=100．∴x=5．15．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形；（2）解：結(jié)論：四邊形EPCF是平行四邊形，理由是：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB，∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形．16.【解析】（1）∵α=60°，BC=10，

∴sinα=，即sin60°==，

解得CE=5；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．

理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，

∵F為AD的中點，∴AF=FD，

在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G=∠DCF，

在△AFG和△CFD中，，

∴△AFG≌△DFC（AAS），

∴CF=GF，AG=CD，

∵CE⊥AB，

∴EF=GF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

∴∠AEF=∠G，

∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，

∴AG=5，AF=AD=BC=5，

∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，

在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG（對頂角相等），

∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，

∵CF=GF（①中已證），

∴CF2=（CG）2=CG2=（200-20x）=50-5x，

∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-）2+50+，

∴當x=，即點E是AB的中點時，CE2-CF2取最大值，

此時，EG=10-x=10-=，

CE===，

所以，tan∠DCF=tan∠G===．中考總復(fù)習：多邊形與平行四邊形--知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】【高清課堂：多邊形與平行四邊形考綱要求】1.多邊形A：了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性；了解特殊四邊形之間的關(guān)系．B：會用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計算問題；能用正三角形、正方形、正六邊形進行簡單的鑲嵌設(shè)計；能依據(jù)條件分解與拼接簡單圖形．(2)平行四邊形A：會識別平行四邊形．B：掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡單問題．C：會運用平行四邊形的知識解決有關(guān)問題．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、多邊形多邊形：在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形的對角線是連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段．2.多邊形的對角線：從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引出(n－3)條對角線，共有n(n-3)/2條對角線，把多邊形分成了(n－2)個三角形．3．多邊形的角：n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要點詮釋】（1）多邊形包括三角形、四邊形、五邊形……，等邊三角形是邊數(shù)最少的正多邊形.（2）多邊形中最多有3個內(nèi)角是銳角（如銳角三角形）,也可以沒有銳角（如矩形）.（3）解決n邊形的有關(guān)問題時，往往連接其對角線轉(zhuǎn)化成三角形的相關(guān)知識，研究n邊形的外角問題時，也往往轉(zhuǎn)化為n邊形的內(nèi)角問題.考點二、平面圖形的鑲嵌1．鑲嵌的定義用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．2．平面圖形的鑲嵌(1)一個多邊形鑲嵌的圖形有：三角形，四邊形和正六邊形；(2)兩個多邊形鑲嵌的圖形有：正三角形和正方形，正三角形和正六邊形，正方形和正八邊形，正三角形和正十二邊形；(3)三個多邊形鑲嵌的圖形一般有：正三角形、正方形和正六邊形，正方形、正六邊形和正十二邊形，正三角形、正方形和正十二邊形.【要點詮釋】能鑲嵌的圖形在一個拼接點處的特點：幾個圖形的內(nèi)角拼接在一起時，其和等于360°,并使相等的邊互相重合.考點三、三角形中位線定理

1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.考點四、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．2．性質(zhì)：(1)平行四邊形的對邊平行且相等；(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心．3．判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．4．兩條平行線間的距離：定義：夾在兩條平行線間最短的線段的長度叫做兩條平行線間的距離．性質(zhì)：夾在兩條平行線間的平行線段相等．【要點詮釋】1.平行四邊形的面積=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【典型例題】類型一、多邊形與平面圖形的鑲嵌1．（2015?葫蘆島）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，則∠P的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路點撥】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，進一步求得∠P的度數(shù)．【答案】A【解析】解：∵五邊形的內(nèi)角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故選：A．【總結(jié)升華】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義，熟記公式是解題的關(guān)鍵．注意整體思想的運用．舉一反三：【變式】如圖，小林從P點向西直走12米后，向左轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動的角度為α，再走12米，如此重復(fù)，小林共走了108米回到點P，則α=_________.【答案】40°.2．(2011·十堰)現(xiàn)有邊長相同的正三角形、正方形和正六邊形紙片若干張，下列拼法中不能鑲嵌成一個平面圖案的是()A．正方形和正六邊形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六邊形D．正三角形、正方形和正六邊形【思路點撥】注意各正多邊形的內(nèi)角度數(shù).【答案】A.【解析】正方形和正六邊形的每個內(nèi)角分別為90°和120°，要鑲嵌則需要滿足90°m＋120°n＝360°，但是m、n沒有正整數(shù)解，故選A.【總結(jié)升華】能鑲嵌的圖形在一個拼接點處的特點：幾個圖形的內(nèi)角拼接在一起時，其和等于360°,并使相等的邊互相重合.舉一反三：【變式】現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等．同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有()A．2種B．3種C．4種D．5種【答案】B.類型二：平行四邊形及其他知識的綜合運用3．（2014春?章丘市校級月考）如圖，已知在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分別是E、M、N、F，求證：EN∥MF．【思路點撥】連接ME，F(xiàn)N，由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對角線互相平分，利用AAS得到三角形AOE與三角形COF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM與三角形DON全等，得到OM=ON，進而確定出四邊形MEFN為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行即可得證．【答案與解析】證明：連接ME，F(xiàn)N，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四邊形EMFN為平行四邊形，∴EN∥MF．【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4.如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到D，使，點E、F分別為邊BC、AC的中點.

（1）求證：DF=BE；

（2）過點A作AG∥BC，交DF于G，求證：AG=DG.

【思路點撥】（1）E、F分別為BC、AC中點，則EF為△ABC的中位線，所以EF∥AB，.而.則EF=AD.從而易證△DAF≌△EFC,則DF=CE=BE.(2)AG與DG在同一個三角形中,只需證∠D=∠DAG即可.

【答案與解析】（1）∵點E、F分別為BC、AC的中點，

∴EF是△ABC的中位線.

∴EF∥AB，.

又∵

，

∴EF=AD.

∵EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.

又∵F是AC的中點，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.

（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.

又∵EF∥AB，∴∠B=∠FEC.

又∵AG∥BC，∴∠DAG=∠B，

∴∠DAG=∠FEC

∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.

【總結(jié)升華】三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系——可以證明兩條直線平行；數(shù)量關(guān)系——可以證明線段的相等或倍分.此外應(yīng)注意三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形.舉一反三：【變式】如圖，已知P、R分別是長方形ABCD的邊BC、CD上的點，E、F分別是PA、PR的中點，點P在BC上從B向C移動，點R不動，那么下列結(jié)論成立的是（）

A．線段EF的長逐漸增大B．線段EF的長逐漸變小

C．線段EF的長不變D．無法確定【答案】C.5．如圖：六邊形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，對角線FD⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．則六邊形ABCDEF的面積是_________cm2．【思路點撥】連接AC交BD于G，AE交DF于H．根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．計算該六邊形的面積可以分成3部分計算，即平行四邊形AFDC的面積+三角形ABC的面積+三角形EFD的面積．【答案與解析】連接AC交BD于G，AE交DF于H．

∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，

∴四邊形AEDB是平行四邊形，四邊形AFDC是平行四邊形，

∴AE=BD，AC=FD，

∵FD⊥BD，

∴∠GDH=90°，

∴四邊形AHDG是矩形，

∴AH=DG

∵EH=AE-AH，BG=BD-DG

∴EH=BG．

∴六邊形ABCDEF的面積=平行四邊形AFDC的面積+三角形ABC的面積+三角形EFD的面積=FD?BD=3×4=12cm2．

故答案為：12.【總結(jié)升華】注意求不規(guī)則圖形的面積可以分割成規(guī)則圖形，根據(jù)面積公式進行計算．6.（2012?廈門）已知平行四邊形ABCD，對角線AC和BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE=PF．（1）如圖，若PE=，EO=1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF=BC+3-4，求BC的長．【思路點撥】（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解；（2）根據(jù)三角形中位線定理可得PF∥AO，且PF=AO，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位線，然后證明四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解．【答案與解析】（1）如圖，連接PO，∵PE⊥AC，PE=，EO=1，∴tan∠EPO=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如圖，∵點P是AD的中點，點F是DO的中點，∴PF∥AO，且PF=AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵點P是AD的中點，∴PE是△AOD的中位線，∴PE=OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四邊形ABCD是正方形，設(shè)BC=x，則BF=x+×x=x，∵BF=BC+3-4=x+3-4，∴x+3-4=x，解得x=4，即BC=4．【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，正方形的判定與性質(zhì)，（2）中判定出平行四邊形ABCD是正方形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（－2，－1），且P（－1，－2）是雙曲線上的一點，Q為坐標平面上的一動點，PA⊥x軸，QB⊥y軸，垂足分別為A、B．

（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）當點Q在直線MO上運動時，是否可以使△OBQ與△OAP面積相等？

（3）如圖2，點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

圖1圖2

【答案】（1）正比例函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為．

（2）當點Q在直線MO上運動時，

設(shè)點Q的坐標為，，解得.

所以點Q的坐標為和．

（3）因為P（，），由勾股定理得OP＝，

平行四邊形OPCQ周長=．

因為點Q在第一象限中的雙曲線上，所以可設(shè)點Q的坐標為，

由勾股定理可得，通過圖形分析可得：

OQ有最小值2，即當Q為第一象限中的雙曲線與直線的交點時，線段OQ的長度最?。?/p>

所以平行四邊形OPCQ周長的最小值：．中考總復(fù)習：多邊形與平行四邊形--知識講解（提高）【考綱要求】【高清課堂：多邊形與平行四邊形考綱要求】1.多邊形A：了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性；了解特殊四邊形之間的關(guān)系．B：會用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計算問題；能用正三角形、正方形、正六邊形進行簡單的鑲嵌設(shè)計；能依據(jù)條件分解與拼接簡單圖形．(2)平行四邊形A：會識別平行四邊形．B：掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡單問題．C：會運用平行四邊形的知識解決有關(guān)問題．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、多邊形多邊形：在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形的對角線是連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段.2.多邊形的對角線：從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引出(n－3)條對角線，共有n(n-3)/2條對角線，把多邊形分成了(n－2)個三角形．3．多邊形的角：n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要點詮釋】（1）多邊形包括三角形、四邊形、五邊形……，等邊三角形是邊數(shù)最少的正多邊形.（2）多邊形中最多有3個內(nèi)角是銳角（如銳角三角形）,也可以沒有銳角（如矩形）.（3）解決n邊形的有關(guān)問題時，往往連接其對角線轉(zhuǎn)化成三角形的相關(guān)知識，研究n邊形的外角問題時，也往往轉(zhuǎn)化為n邊形的內(nèi)角問題.考點二、平面圖形的鑲嵌1．鑲嵌的定義用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．2．平面圖形的鑲嵌(1)一個多邊形鑲嵌的圖形有：三角形，四邊形和正六邊形；(2)兩個多邊形鑲嵌的圖形有：正三角形和正方形，正三角形和正六邊形，正方形和正八邊形，正三角形和正十二邊形；(3)三個多邊形鑲嵌的圖形一般有：正三角形、正方形和正六邊形，正方形、正六邊形和正十二邊形，正三角形、正方形和正十二邊形.【要點詮釋】能鑲嵌的圖形在一個拼接點處的特點：幾個圖形的內(nèi)角拼接在一起時，其和等于360°,并使相等的邊互相重合.考點三、三角形中位線定理

1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.考點四、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．2．性質(zhì)：(1)平行四邊形的對邊平行且相等；(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心．3．判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【要點詮釋】在平行四邊形的學習中，學習它的性質(zhì)定理和判定方法時，主要從三個不同角度加以分析：邊、角與對角線:1.對于邊，從位置（比如平行、垂直等）和大?。ū热缦嗟然虮栋腙P(guān)系等）兩方面探討鄰邊或?qū)叺年P(guān)系特征；2.對于角，以鄰角和對角兩方面為主，探討其大小關(guān)系（比如相等、互補等）或具體度數(shù)；3.對于對角線，則探討兩條對角線之間的位置和大小關(guān)系，以及它們與邊、角之間的關(guān)系.考點五：平行線間的距離

1．兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.

【要點詮釋】1.距離是指垂線段的長度，是正值.2.平行線間的距離處處相等.任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長度.

3.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.

2．平行四邊形的面積：

平行四邊形的面積=底×高(等底等高的平行四邊形面積相等).【典型例題】類型一、多邊形與平面圖形的鑲嵌1.如圖所示，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D，E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE重疊壓平，A與A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=_________.【思路點撥】首先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和公式可以求出四邊形ADA′E的內(nèi)角和，由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用鄰補角的關(guān)系即可求出∠1+∠2．【答案與解析】∵四邊形ADA′E的內(nèi)角和為（4-2）?180°=360°，

而由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，

∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°-∠A-∠A′=360°-2×70°=220°，

∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）=140°．【總結(jié)升華】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求和多邊形相關(guān)的角的度數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理．舉一反三：【變式】一個多邊形截取一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）A.10B.11C.12D.以上都有可能【答案】D.2．（2015春?邗江區(qū)校級期末）已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x、y的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，①當x＜y時，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y．②小明在作圖時，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．【思路點撥】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可；（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFB=y﹣x=30°，進而得出x，y的值；②當x=y時，DC∥BF，即∠DFB=0，進而得出答案．【答案與解析】解：（1）∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y；故答案為：360°﹣x﹣y；（2）如圖1，延長DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=（x+y），如圖2，連接DB，則∠CBD+∠CDB=180°﹣y，得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+（x+y）=180°﹣y+x，∴∠DFB=y﹣x=30°，解方程組：，解得：；②當x=y時，DC∥BF，此時∠DFB=0，故x、y滿足x=y時，∠DFB不存在．【總結(jié)升華】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，正確應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型二、平行四邊形及其他知識的綜合運用3．（2012?阜新）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于點G．若使EF=AD，那么平行四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是（）A．∠ABC=60°B．AB：BC=1：4C．AB：BC=5：2D．AB：BC=5：8【思路點撥】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行且相等，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代換后根據(jù)等角對等邊得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根據(jù)等式的基本性質(zhì)在等式兩邊都減去EF得到AF=DE，當EF=AD時，設(shè)EF=x，則AD=BC=4x，然后根據(jù)設(shè)出的量再表示出AF，進而根據(jù)AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB與BC的比值．【答案與解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，同理可得：DC=DF，∴AE=DF，∴AE-EF=DE-EF，即AF=DE，當EF=AD時，設(shè)EF=x，則AD=BC=4x，∴AF=DE=（AD-EF）=1.5x，∴AE=AB=AF+EF=2.5x，∴AB：BC=2.5：4=5：8．故選D．【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分性的定義以及等式的基本性質(zhì)，利用了等量代換的數(shù)學思想，要求學生把所學的知識融匯貫穿，靈活運用．舉一反三：【變式】已知：如圖，，M為AB上一點，使AM=BC，N為BC上一點，CN=BM，連結(jié)AN、MC交于P.求：的度數(shù)

【答案】過M點，作

4.（2015?泰安樣卷）已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F．（1）當點P為AB的中點時，如圖1，連接AF、BE．證明：四邊形AEBF是平行四邊形；（2）當點P不是AB的中點，如圖2，Q是AB的中點．證明：△QEF為等腰三角形．【思路點撥】（1）首先證明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定四邊形AEBF是平行四邊形；（2）首先證明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得QE=QF=QD，進而可得結(jié)論．【答案與解析】證明：（1）如圖1，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中：∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，∴四邊形AEBF是平行四邊形；（2）QE=QF，如圖2，延長FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中，∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，∴QE=QF=QD，即QE=QF，∴△QEF是等腰三角形．【總結(jié)升華】此題主要考查了平行四邊形的判定，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．5．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊△ADE，過點C作CF∥DE交AB于點F．

（1）若點D是BC邊的中點（如圖①），求證：EF=CD；

（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；

（