2024年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：四邊形綜合問題

2024年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：四邊形綜合問題一、選擇題（每題3分，共18分）1.(2023?安徽模擬)如圖,點(diǎn)E,F分別為正方形ABCD的邊AB,BC的中點(diǎn),AF,BE相交于G,則的值為()A. B. C. D.2.(2023·湖北襄陽)如圖,?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,下列說法正確的是(

)A.若OB＝OD,則?ABCD是菱形 B.若AC＝BD,則?ABCD是菱形C.若OA＝OD,則?ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,則?ABCD是菱形3.(2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,M、N是BD上兩點(diǎn),BM=DN,連接AM、MC、CN、NA,添加一個(gè)條件,使四邊形AMCN是矩形,這個(gè)條件是(

)A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND4.(2023?安丘市一模)如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC＝60°,E是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)AP+PE的值最小時(shí),PD的長(zhǎng)是()A. B.2 C. D.5.(2023?太原二模)如圖,在矩形紙片ABCD中,AD＝9,AB＝7,點(diǎn)F是C上一點(diǎn),點(diǎn)E在AD上,將矩形紙片沿直線EF折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處.點(diǎn)B恰好落在邊CD上的點(diǎn)B′處,A′B′交AD于點(diǎn)G,若CB′＝3,則四邊形EFB′G的面積等于()A. B. C. D.6.(2023·湖北荊州)如圖,已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a,b,進(jìn)行如下操作:第一次,順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1;第二次,順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2;…如此反復(fù)操作下去,則第n次操作后,得到四邊形AnBnCnDn的面積是(

)A. B. C. D.二、填空題（每題3分，共30分）7.(2023南崗)在矩形ABCD中,作∠B的平分線交直線AD于點(diǎn)E,則∠BED是度.8.(2023春?西城區(qū)校級(jí)期中)如圖,菱形ABCD中,若BD＝8,AC＝6,則AB的長(zhǎng)等于,菱形ABCD的面積等于.9.(2023?營(yíng)口)如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,其中OA＝1,OB＝2,則菱形ABCD的面積為.10.(2023?新北區(qū)一模)已知在菱形ABCD中,∠A=60o,DE//BF,sinE=,DE=6,EF=BF=5則菱形ABCD的邊長(zhǎng)_____.11.(2023春?東城區(qū)校級(jí)期中)如圖,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝5,點(diǎn)E在邊AD,且AE＝2,若過點(diǎn)E的直線l將該矩形的面積平分,且與矩形的另一邊交于點(diǎn)F,則線段EF的長(zhǎng)為.12.(2023·湖北宜昌)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上一點(diǎn),F,G分別是BE,CE的中點(diǎn),連接AF,DG,FG若AF=3,DG=4,FG=5,矩形ABCD的面積為________.13.(2023·江蘇常州·中考真題)如圖,點(diǎn)C在線段AB上,且AC=2BC,分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG,連接EC、EG,則tan∠CEG=_________.14.[2023·呼和浩特]已知菱形ABCD的面積為2,點(diǎn)E是一邊BC上的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn).連接AE,若AE平分∠BAC,則線段PE與PC的和的最小值為,最大值為.

15.(2023·貴州遵義)如圖,四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,點(diǎn)M,N分別為線段BC,AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn),但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)E,F分別為DM,MN的中點(diǎn),則EF長(zhǎng)度的最大值為.16.[2023·咸寧]如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G,連接AF,有下列結(jié)論:①△ABE∽△ECG;②AE=EF;③∠DAF=∠CFE;④△CEF的面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

三、解答題（第17—20題每題10分，第21題12分，共52分）17.(2023邵陽)如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且AE＝CF.連接DE,DF,BE,BF.(1)證明:△ADE≌△CBF;(2)若AB＝4eq\r(2),AE＝2,求四邊形BEDF的周長(zhǎng).18.3(2023春?永州期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,點(diǎn)D為斜邊AB邊上的中點(diǎn),AE∥DC,CE∥DA.(1)求證:四邊形ADCE是菱形;(2)連接DE,若AC=,BC＝1.求證:△ADE是等邊三角形.19.(2023北京東直門中學(xué))如圖,在平行四邊形ABCD中,BC=BD,BE平分∠CBD交CD于O,交AD延長(zhǎng)線于E,連接CE.(1)求證:四邊形BCED是菱形;(2)若OD=2,,求△ABE的面積.20.(2023年湖北省中考數(shù)學(xué)模擬題)如圖1,AD∥BC,AB⊥BC于B,∠DCB=75°,以CD為邊的等邊△DCE的另一頂點(diǎn)E在線段AB上．(1)填空:∠ADE=____;(2)求證:AB=BC;(3)如圖2所示,若F為線段CD上一點(diǎn),∠FBC=30°,求的值．21.(2023年湖北省武漢市江漢區(qū)常青第一學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試題).已知,將矩形ABCD折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,折痕為EF．(1)如圖1,求證:BE＝GF；(2)如圖2,連接CF、DG,若CE＝2BE,在不添加任何輔助線情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形,使寫出的每個(gè)三角形都為等腰三角形22.(2023·北京市師達(dá)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))四邊形ABCD是正方形,將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α(0°＜α＜45°),得到線段CE,連接DE,過點(diǎn)B作BF⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于F,連接BE.(1)依題意補(bǔ)全圖1;(2)直接寫出∠FBE的度數(shù);(3)連接AF,用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關(guān)系,并證明.答案一、選擇題（每題3分，共18分）1.故選:A.2.D3.A4.故選:D.5.故選:D.6.A二、填空題（每題3分，共30分）7.45或1358.故答案為:5,24.9.4【解析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線之積的一半可得答案.∵OA＝1,OB＝2,∴AC＝2,BD＝4,∴菱形ABCD的面積為2×4＝4.10.故答案為:4.11.解:∵四邊形ABCD是矩形,AB＝3,BC＝5,∴DC＝AB＝3,AD＝BC＝5,∠B＝∠D＝∠A＝∠C＝90°,∵過點(diǎn)E的直線l將該矩形的面積平分,AE＝2,∴CF＝AE＝2,過E作EM⊥BC于M,則∠A＝∠B＝∠EMB＝90°,∴四邊形ABME是矩形,∴EM＝AB＝3,BM＝AE＝2,∴MF＝BC﹣BM﹣CF＝5﹣2﹣2＝1,在Rt△EMF中,由勾股定理得:EF＝,故答案為:.12.4813.14.2+根據(jù)題意可畫出圖形,如圖所示,過點(diǎn)B作BF∥AC交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AP,∴∠F=∠CAE,∠EBF=∠ACE.∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BE=CE,∴△ACE≌△FBE(AAS),∴BF=AC.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,∴∠BAE=∠F,∴AB=BF=AC.在菱形ABCD中,AB=BC,∴AB=BC=AC,即△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°.設(shè)AB=a,則BD=a,∵菱形ABCD的面積=AC·BD=2,即·a·a=2,∴a=2,即AB=BC=CD=2.∵四邊形ABCD是菱形,∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱,∴PE+PC=AP+EP,當(dāng)A,P,E三點(diǎn)共線時(shí),AP+EP的和最小,此時(shí)AE=.當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí),PE+PC的值最大,此時(shí)PC=DC=2,如圖,過點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接DE,∵AB∥CD,∠ABC=60°,∴∠DCG=60°,∴CG=1,DG=,∴EG=2,∴DE=,此時(shí)PE+PC=2+,即線段PE與PC的和的最小值為,最大值為2+.15.3解:∵ED=EM,MF=FN,∴EF=DN,∴DN最大時(shí),EF最大,∵N與B重合時(shí)DN最大,此時(shí)DN=DB==6,∴EF的最大值為3.故答案為:3.16.①②③∵四邊形ABCD為正方形,∴∠B=∠BCD=90°,∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEG=90°,又∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CEG,∴△ABE∽△ECG,故①正確;在BA上截取BM=BE,連接ME,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠B=90°,BA=BC,∴△BEM為等腰直角三角形,∴∠BME=45°,∴∠AME=135°,∵BA-BM=BC-BE,∴AM=CE,∵CF為正方形外角平分線,∴∠DCF=45°,∴∠ECF=135°=∠AME,∵∠BAE=∠FEC,∴△AME≌△ECF(ASA),∴AE=EF,故②正確;∴△AEF為等腰直角三角形,∴∠EAF=∠EFA=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,而∠BAE=∠CEF,∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF,∴∠DAF=∠CFE,故③正確;設(shè)BE=x,則BM=x,AM=AB-BM=2-x,S△AME=·x·(2-x)=-x2+x,當(dāng)x=1時(shí),S△AME有最大值,而△AME≌△ECF,∴S△AME=S△CEF,∴S△CEF有最大值,所以④錯(cuò)誤.綜上:正確結(jié)論的序號(hào)是:①②③.三、解答題（第17—20題每題10分，第21題12分，共52分）17.(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DAE＝∠BCF＝45°,AD＝BC,在△ADE和△CBF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,∠DAE＝∠BCF，,AE＝CF，))∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解:∵AB＝AD＝4eq\r(2),∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝8,∴AC＝BD＝8,DO＝BO＝4,OA＝OC＝4,又∵AE＝CF＝2,∴OA－AE＝OC－CF,即OE＝OF＝4－2＝2,∴四邊形BEDF為菱形.∵∠DOE＝90°,∴DE＝eq\r(DO2＋EO2)＝2eq\r(5).∴4DE＝4×2eq\r(5)＝8eq\r(5),∴四邊形BEDF的周長(zhǎng)為8eq\r(5).18.(1)證明:∵AE∥CD,CE∥AB,∴四邊形ADCE是平行四邊形,又∵∠ACB＝90°,D是AB的中點(diǎn),∴CDAB＝BD＝AD,∴平行四邊形ADCE是菱形;(2)證明:∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC,BC＝1,∴AB2,∴BCAB,∴∠CAB＝30°,∵四邊形ADCE是菱形,∴∠EAD＝2∠CAB＝60°,AE＝AD,∴△ADE是等邊三角形.19.(1)見解析;(2)16(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AE,∴∠CBE=∠DEB,∵BE平分∠CBD,∴∠CBE=∠DBE,∴∠DEB=∠DBE,∴BD=DE,又∵BC=BD,∴BC=DE且BC∥DE,∴四邊形BCED是平行四邊形,又∵BC=BD,∴四邊形BCED是菱形;(2)解:∵四邊形BCED是菱形,∴BO=EO,∠DOE=90°,又∵AD=BC=DE,∴OD是△ABE的中位線,∴OD∥AB,AB=2OD=4,∠ABE=∠DOE=90°,∵,∴BE=8,∴.20.(1)45;(2)證明見解析(3)1．【詳解】解:(1)∵∠DCB=75°,AD∥BC,∴∠ADC=105°∵△DCE為等邊三角形,∴∠EDC=60°,∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45o．(2)證明:連接AC由(1)知∠ADE=45o,∵AB⊥BC,AD∥BC,∴∠DAB=90o,∴∠AED=45o,∴AD=AE,∴點(diǎn)A在線段DE的垂直平分線上,∵△DCE為等邊三角形,∴CD=CE,∴點(diǎn)C也在線段DE的垂直平分線上,∴AC就是線段DE的垂直平分線,即AC⊥DE,∴AC平分∠EAD,∴∠BAC=45°,∴△ABC是等腰直角三角形∴BA=BC(3)解:連接AF,延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G∵∠FBC=30o,∠ABC=90o,∴∠ABF=60o,∵∠DCB=75o,∴∠BFC=75o,故BC=BF,由(2)知:BA=BC,[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)]∴BA=BF,∴△ABF是等邊三角形,∴AB=BF=FA,∴∠BAC=60o,∴∠DAF=30o,又∵AD∥BC,∴∠FAG=∠G=30o,∴FG=FA=FB,又∠DFG=∠CFB,∴△BCF≌△GDF(ASA),∴DF=CF,∴=1．21.(1)見解析；(2)△CEF,△AGD,△FGD,△DGC,△AEF是等腰三角形．【詳解】(1)證明∵矩形ABCD∴AB=CD,∠BAD=90o由折疊可知:AG=CD,∠AGF=∠DCB=90o=∠GAE∴AB=AG,∠BAE=90o-∠EAF,∠GAF=90o-∠EAF∴∠BAE=∠GAF,且AG=AB,∠B=∠AGF=90o∴△ABE≌△AGF(ASA)∴BE=GF；(2)證明:∵將矩形ABCD折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處∴AE=CE,AF=CF,GF=DF,AG=CD,∠AEF=∠CEF,∠AFE=∠CFE∴△GFD是等腰三角形∵AD//BC∴∠AF