(線性代數(shù))第一章-矩陣

線性代數(shù)數(shù)學(xué)系我想說課程的重要性課程要求綜合考評課時分配如何學(xué)好做好預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)多看多練多想工科根底考研根底期末成績平時成績授課學(xué)時4*8=32習(xí)題課1*4=4數(shù)學(xué)實驗(5%)數(shù)學(xué)實驗2*2=4答疑時間：周一晚1-2節(jié)教八4樓專用教室按時完成作業(yè)ABC教材與參考書目教材購書聯(lián)系方式參考書目工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)，第4版，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，2003，高教出版社線性代數(shù)陳建龍，周建華，韓瑞珠，周后型唐風(fēng)書店(山西路軍人俱樂部長三角文化用品)科學(xué)出版社，2007.2線性代數(shù)附冊—學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，第4版，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，2003，高教出版社定價：18.00線性代數(shù)一、核心工具解線性方程組

線性方程組方程間的關(guān)系向量間的關(guān)系矩陣的性質(zhì)和運算

行列式的運算

返回考慮再學(xué)方程對應(yīng)一個向量再學(xué)向量組構(gòu)成矩陣再學(xué)方陣再學(xué)二、主要問題應(yīng)用線性方程組

求方陣的特征值特征向量方陣的相似對角化問題實對稱矩陣的正定性三、重點難點向量組的線性無關(guān)性逆矩陣線性方程組：

教學(xué)內(nèi)容和根本要求第一章矩陣教學(xué)內(nèi)容學(xué)時數(shù)§1.1-1.2矩陣的基本概念和運算

2§1.3分塊矩陣§1.4初等變換與初等矩陣

2§1.5方陣的逆矩陣§1.6行列式的定義2§1.6行列式的性質(zhì)及計算§1.7矩陣的秩2第一章矩陣§1.1矩陣的根本概念一.矩陣與向量二.幾種特殊矩陣一.矩陣的線性運算三.矩陣的轉(zhuǎn)置§1.2矩陣的根本運算二.矩陣的乘法例1.某廠家向三個代理商發(fā)送四種產(chǎn)品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150第一章矩陣

§1.1矩陣的根本概念

單價(元/箱)重量(Kg/箱)數(shù)量(箱)南京蘇州常州啤酒(瓶裝)2016200180190啤酒(易拉罐)5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150§1.1矩陣的根本概念例2.四個城市間的單向航線如下圖.假設(shè)aij表示從i市到j(luò)市航線的條數(shù),那么右圖可用矩陣表示為1423A=[aij]=0111100001001010①②③④①④③②第一章矩陣

§1.1矩陣的根本概念§1.1矩陣的根本概念一.矩陣與向量

1.m

n矩陣

(Matrix)

元素:

aij(i=1,…,m,j=1,…,n)注:元素都是實(復(fù))數(shù)的矩陣稱為實(復(fù))矩陣.今后除非特別說明,我們所考慮的矩陣都是實矩陣(Rm×n).復(fù)矩陣(Cm×n).

Am×n==(aij)m×na11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amnn階方陣:

n

n矩陣

2.方陣主對角線元素:

aii(i=1,…,n)3.向量(Vector)

n維行向量:1

n矩陣ai=(ai1,ai2,…,ain)n維列向量:n

1矩陣Aj=

常用希臘字母,,表示.5.同型矩陣A=(aij)m

n與B=(bij)m

n6.相等矩陣A=B

aij

=bij

,

1

i

m,1

j

n

同型矩陣第一章矩陣

§1.1矩陣的根本概念a1ja2j…anj4.1

1矩陣

(a11)

=a11

7.零矩陣Om

naij=0，

1

i

m,1

j

n1.對角矩陣(diagonal)

=diag(

1,

2,…,

n)=

10…00

2…0

…

…

…

…00…

n2.數(shù)量矩陣3.單位矩陣引入Kronecker記號

ij=1,i=j

0,i

j=

(

ij)=

(

ij)=

(

i

ij)第一章矩陣

§1.1矩陣的根本概念二.幾種特殊矩陣

4.三角矩陣

a11a12…a1n

0a22…a2n…………0

0

…anna110…0

a21a22…0…………an1

an2…anna11…a1n-1

a1n

a21…

a2n-10…………

an1…0

00

…0a1n

0…

a2n-1

a2n…………

an1…a1n-1

ann上三角矩陣：方陣的主對角線下的元素全為0下三角矩陣：方陣的主對角線上的元素全為0第一章矩陣

§1.1矩陣的根本概念5.行階梯矩陣稱A中非零行的行數(shù)為A的階梯數(shù),記為

r(A).

(簡稱階梯陣)(rowechelonform)假設(shè)A有零行(元素全為零的行),那么零行位于最下方;非零行的非零首元(自左至右第一個不為零的元,稱為主元)的列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增.r(A)=3r(A)=4第一章矩陣

§1.1矩陣的根本概念11204013220002300000110040102200023000046.行最簡形矩陣A為階梯形矩陣(簡稱階梯陣)假設(shè)A有零行,那么零行位于最下方;主元的列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增.A為行最簡形矩陣(reducedrowechelonform)(rref)各非零首元(主元)全為1,主元所在的列(稱為主列)除1外其余元素全為0.

不是rref單位列向量第一章矩陣

§1.1矩陣的根本概念是rref1

0

2010130200010000001

010101000011000000000§1.1矩陣的根本概念一.矩陣與向量二.幾種特殊矩陣一.矩陣的線性運算三.矩陣的轉(zhuǎn)置§1.2矩陣的根本運算二.矩陣的乘法Am

n

=(aij)m

n1.n階方陣

2.三角矩陣

3.對角矩陣

=diag(

1,

2,…,

n)

4.數(shù)量矩陣5.單位矩陣En

=

(

ij)

=

(

ij)=

(

i

ij)6.行階梯矩陣7.行最簡形矩陣主元全為1,主列為單位列向量.

0行最下方;主元列標(biāo)隨行標(biāo)遞增1.加法注1:A,B同型.C=A+B=(aij+bij)m

n注3:負(fù)矩陣

A=(

aij)m

n注4:減法：2.數(shù)乘kA=(kaij)m

n=

向量:k

+l

=(kai+lbi)(A,B是同型矩陣)kA

lB

=(kaij

lbij)m

n第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn§1.2矩陣的根本運算一.矩陣的線性運算A

B=A+(

B)3.性質(zhì)定理2.1設(shè)A,B,C,O是同型矩陣,k,l是數(shù),那么(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(

A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.(9)kA=0

k=0或A=O.(10)A+X=B

X=B

A.第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150

單價(元/箱)重量(Kg/箱)數(shù)量(箱)南京蘇州常州瓶裝啤酒2016200180190易拉罐5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150總價(元)180001815016750總重(Kg)10480102409680C=AB1.設(shè)A=(aij)ms,B=(bij)sn,那么A與B的乘積是C=AB=(cij)mn=(Ai*B*j)=,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=

aikbkj.k=1s二.矩陣的乘法

注1:時才有意義，且.(1)(kA)B=k(AB),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(AB)C=A(BC).注2:性質(zhì)第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算AB=(Ai*B*j)=二.矩陣的乘法注3:注4:不一定都有意義

同型但不相等

AB:A左乘以B;B右乘以A

有意義但不同型

第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算注5:方陣的正整數(shù)冪：A2=AA,Ak+1=AkA,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,(AB)kAkBk,

(A+B)2

A2

+B2+2AB

,

只有AB=BA時等式成立.

注6:消去率未必成立.(AB)k=ABAB

AB.(A+B)2

=(A+B)

(A+B)

=A2

+B2+AB+BA

比方:第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算(A+B)(A

B)=A2

B2

AB+BA

A2

B2例3.

關(guān)于Ak

解:第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算注7：對角矩陣的性質(zhì)

==

(

i

ij)(ti

ij)=

(

i

ti

ij)=

(ti

ij)(

i

ij)=

Em

Am×n=

Am×n=Am×n

En

(aEm)Am×n=

aAm×n=Am×n(aEn)t10…00t2…0

…

…

…

…00…tn

10…00

2…0

…

…

…

…00…

n

1t10…00

2t2…0

…

…

…

…00…

ntn=第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算注8：方陣的多項式

設(shè)A為一個方陣,f(x)為一個多項式稱之為方陣A的一個多項式.f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

例5：

第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算第一章矩陣§1.2矩陣的根本運算一.矩陣的線性運算

二.矩陣的乘法三.矩陣的轉(zhuǎn)置

kA

lB=(kaij

lbij)m

nAB=(Ai*B*j)=

矩陣乘法是否有意義，乘積矩陣的行列數(shù)

交換率一般不成立

消去率一般不成立三.矩陣的轉(zhuǎn)置

1.設(shè)矩陣A=(aij)m×n,那么矩陣A的轉(zhuǎn)置為2.性質(zhì)：

(1)(AT)T=A,n×m(4)證明：(2)(A+B)T=AT+BT,(4)(AB)T=BTAT.(3)(kA)T=kAT,第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算=3.對稱矩陣

滿足

AT=A.A=(aij)m

n為對稱矩陣

m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n).反對稱矩陣A：滿足AT=

A.

A=(aij)m

n為反對稱矩陣

A為方陣且aij=

aji(i,j=1,2,…,n).比方：為對稱矩陣；為反對稱矩陣.第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算反對稱矩陣對角線元素全為0證明：設(shè)A,B,C為n階方陣，并且第一章矩陣

§1.2矩陣的根本運算例6.證明任意一個n階方陣都可以表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和.§1.1-1.2矩陣及其運算

一.矩陣與向量

三.矩陣的線性運算四.矩陣的乘法五.矩陣的轉(zhuǎn)置kA

lB=(kaij

lbij)m

nAB=(Ai*B*j)=對稱矩陣

對角矩陣(

i

ij)數(shù)量矩陣

En

單位陣En

(AB)T=BTATAm

n

=(aij)m

n行階梯矩陣

行最簡形矩陣二.幾種特殊矩陣方陣

三角矩陣

一般矩陣：第一章矩陣§1.3分塊矩陣

一.矩陣的分塊二.分塊矩陣的運算線性運算轉(zhuǎn)置乘法三.分塊矩陣的應(yīng)用線性變換§1.3分塊矩陣一.矩陣的分塊在矩陣的某些行之間插一些橫線，在某些列之間插一些豎線，將矩陣分成一些子塊。GH第一章矩陣

§1.3分塊矩陣

三種特殊的分塊方法設(shè)A為m×n矩陣,記Aj為A的第j列,i為A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),那么有如下兩種重要的分塊方法A=(A1,A2,…,An),

1

2…

mA=A=A1

O…OO

A2…O

…………

O

O…As,其中A1,A2,…,As都是方陣,那么稱A為分塊對角陣(或準(zhǔn)對角矩陣).二.分塊矩陣的運算分塊加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,設(shè)矩陣A與B是同型的,采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=第一章矩陣

§1.3分塊矩陣

設(shè)矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,

為常數(shù).

A11

A12…

A1r

A21

A22…

A2r

…………

As1

As2…

Asr.則

A=2.分塊數(shù)乘第一章矩陣

§1.3分塊矩陣

3.分塊乘法設(shè)A為m

l矩陣,B為l

n矩陣,將它們分塊如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,Ai1,Ai2,…,Ait的列數(shù)分別與B1j,B2j,…,Btj的行數(shù)相等.

(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=

AikBkj,則AB=k=1t第一章矩陣

§1.3分塊矩陣

10

1012011001211

0B=,求AB.10

00010012100101例1.設(shè)A=,解:A=,E

OA1

EB=,B11

EB21

B22于是AB=EOA1

EB11

EB21

B22,B11

E=10

12=.A1B11+B21=341210

21+2413=,

10

0

124

1311

11A1B11+B21

B22

A1第一章矩陣

§1.3分塊矩陣

設(shè)矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.則AT=4.分塊轉(zhuǎn)置分外層內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置

AT

=[A1,A2,…,An]T=[

1T,

2T,…,

mT].

1

2…

mAT

=A1T

A2T…AnT

=T第一章矩陣

§1.3分塊矩陣

第一章矩陣§1.3分塊矩陣

一.矩陣的分塊二.分塊矩陣的運算線性運算轉(zhuǎn)置乘法三.分塊矩陣的應(yīng)用線性方程組的表示形式線性變換三.分塊矩陣的應(yīng)用線性方程組的表示形式三.分塊矩陣的應(yīng)用線性變換y=Ax從x1,x2,,xn到y(tǒng)1,y2,,ym的線性變換恒等變換y=Ex旋轉(zhuǎn)變換y=Ax幾何含義：將平面上任一點P(x1,x2)旋轉(zhuǎn)

角得到點P’(y1,y2)§1.4初等變換與初等矩陣

二.矩陣的初等變換三.相抵標(biāo)準(zhǔn)形第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

一.線性方程組的初等變換四.初等矩陣一.線性方程組的初等變換

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/21對換變換

倍乘變換

倍加變換

階梯形方程組

第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0階梯形方程組(2)x1=5x3+1x2

=

2x3

2

x3

=

x3(任意)

最簡形方程組或?qū)懗上蛄啃问接纱丝傻迷匠探M的通解其中c為任意數(shù).x=5c+12c

2c

,第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

二.矩陣的初等變換

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4

121

32262輕裝上陣121

3

2

34

4

1131

1/2121

3

0

12

2

0

1

22

2(1)121

3

012

2

00001增廣矩陣的初等變換階梯形方程組

階梯形矩陣

第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

1.矩陣的初等行變換

初等列變換:把上述定義中的“行”換成“列”(相應(yīng)的記號是把“r”換成“c”).初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.(1)對調(diào)兩行ri

rj(2)以非零的數(shù)k乘以第i行,記為ri

k(3)把第j行的的k倍加到第i行上去,記為ri+krj初等行變換的逆變換：

第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

ri

kAB

ri

1/kBAri+krjAB

ri

krjBA(行row)(列column)三.相抵標(biāo)準(zhǔn)形2.性質(zhì)(1)反身性:A

A.

(2)對稱性:A

B

B

A.(3)傳遞性:A

B,B

C

A

C.矩陣間的相抵關(guān)系是一種等價關(guān)系.1.A與B相抵(或等價)記為A

B.初等變換注：初等變換包括初等行變換和初等列變換.3.通過初等行變換將矩陣化為與其等價的行最簡形矩陣第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

例1.用初等行變換將A化為行最簡形矩陣

r22r10411r34r1051515r4

r10211r3/50411r2

r30133021100

11

11013300

5

5r34r2r42r2

r3/11r4+5r3001101330000r1+r2r2

3r30011010000001004相抵標(biāo)準(zhǔn)形.Er

Or

(n

r)O(m

r)

r

O(m

r)

(n

r)3.記若Am

n與相抵,則稱為A的1

00022

00300042

3

05460初等行變換初等行變換1

00001

003000001

054

20初等列變換1

00001

00001

0000000002111623463331042

614513

9例如,rref是初等行變換下的最簡形初等變換下的最簡形r為階梯數(shù)，即階梯陣中非零行的行數(shù).第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

四.初等矩陣1.初等矩陣:Eri

rjE(i,j)Eci

cjE(i,j)Eri

kE(i(k))Eci

kE(i(k))Eri+krjE(i,j(k))Ecj+kciE(i,j(k))(1)(2)(3)按定義,初等矩陣共有如下3類:一次初等變換

第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列Eri

rjE(i,j)Eci

cjE(i,j)

(1)第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

E(i(k))=第i行1k

11第i列1Eri

kE(i(k))Eci

kE(i(k))(2)第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

E(i,j(k))=第i行1……k

1

1……第j行第i列第j列1Eri+krjE(i,j(k))Ecj+kciE(i,j(k))(3)第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

2.初等矩陣的性質(zhì)一次初等行變換

一次初等列變換

(左行右列)第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

定理1.1.對m

n矩陣A進(jìn)行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的初等矩陣;對A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣.010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001a

x

1b

y

2c

z3,=x

a

1y

b

2z

c31k0010001abcxyz123,=a+kxb+kyc+kzxyz1231k0010001a

x

1b

y

2c

z3.=a

ak+x

1b

bk+y

2c

ck+z310001000kabcxyz123,=a

bcx

yzk

2k

3k10001000ka

x

1b

y

2c

z3,=a

x

kb

y

2kc

z

3k第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

定理1.2.對任意m

n矩陣A,總存在行最簡形矩陣U和m階初等陣P1,P2,…,Ps,使得P1P2…PsA=U

.第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

定理1.3.對任意m

n階矩陣A,必可找到m階初等陣P1,P2,…,Ps和n階初等陣Q1,Q2,…,Qt,使得

P1P2…PsA

Q1Q2…Qt=E(r),

其中rmin(m,n)為A的階梯數(shù).行階梯形Am

n

行最簡形相抵標(biāo)準(zhǔn)形一般地,初等列變換Er

Or

(n

r)O(m

r)

r

O(m

r)

(n

r)初等行變換初等行變換一.初等變換和初等矩陣二.相抵標(biāo)準(zhǔn)形一次初等變換

(左行右列)相抵是一種等價關(guān)系形。初等變換第一章矩陣

§1.4初等變換與初等矩陣

一次初等行變換

一次初等列變換

Am

n

行最簡形相抵標(biāo)準(zhǔn)形初等列變換初等行變換左乘初等陣P1,P2,…,Ps右乘初等陣Q1,Q2,…,Qt第一章矩陣二.初等陣與可逆陣一.逆矩陣的概念三.用初等變換求逆矩陣§1.5方陣的逆矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

一.逆矩陣的概念1.定義:設(shè)A為方陣,假設(shè)存在方陣B,使得AB=BA=E.那么稱A可逆,并稱B為A的逆矩陣.事實上,假設(shè)AB=BA=E,AC=CA=E,那么B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.今后我們把可逆矩陣A的逆矩陣記為A1.注2.可逆方陣的逆矩陣是唯一的.注1.逆矩陣只是定義在n階方陣上的.第一章矩陣

逆矩陣的運算性質(zhì)設(shè)A,B為同階可逆方陣,數(shù)k0.那么(1)(A1)1=A.(2)(AT)1=(A1)T.(3)(kA)1=k1A1.(4)(AB)1=B1A1.

例1.設(shè)A與E

A都可逆,G=(E

A)1

E,求證G也可逆,并求G1.證明:

G=(E

A)1

(E

A)1(E

A)=(E

A)1(E

(E

A))=(E

A)1AG1=A1(E

A)=A1

E.(5)(ABG)1=G1

B1A1.

§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

二.初等陣與可逆陣1.初等矩陣的可逆性按定義,初等矩陣共有如下3類:一次初等變換

§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

初等矩陣Eri

rjE(i,j)Eci

cjE(i,j)Eri

kE(i(k))Eci

kE(i(k))Eri+krjE(i,j(k))Ecj+kciE(i,j(k))(1)(2)(3)E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列E(i,j)

1=E(i,j)Eri

rjE(i,j)(1)§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

E(i(k))=第i行1k

11第i列1(E(i(k)))

1=E(i(1/k)))Eri

kE(i(k))

(2)§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

E(i,j(k))=第i行1……k

1

1……第j行第i列第j列1E(i,j(k))

1=E(i,j(

k))

Eri+krjE(i,j(k))(3)§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

1.初等矩陣的可逆性§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

命題.

初等矩陣都可逆,且E(i,j)

1=E(i,j),(E(i(k)))

1=E(i(1/k)),(E(i,j(k)))

1=E(i,j(

k))).

定理1.2.對m

n矩陣A,總存在行最簡形陣U和m階初等陣P1,P2,…,Ps,使得P1P2…PsA=U

.問題：可逆方陣A的行最簡形矩陣U=？E

可逆方陣A=Ps

1…P2

1P1

1.定理1.5

n階方陣A可逆

A=初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.推論.

A

B

存在初等陣使B=P1…PsAQ1…Qt

存在可逆矩陣P,Q使得B=PAQ.§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

定理1.6對m

n矩陣B,

B

存在初等陣使B=P1…PsQ1…Qt

存在可逆矩陣P,Q使得B=PQ.設(shè)A可逆,那么A可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行簡化階梯陣——單位矩陣E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APlPl-1…P2P1A(E,PlPl-1…P2P1)?=PlPl-1…P2P1=A

1

(A

E)初等行變換(E

A

1)

相當(dāng)于左乘A

1(A

B)初等行變換(E

)

相當(dāng)于左乘A

1A

1B

AX=E

X=A

1AX=B

X=A

1B例3.設(shè)A=123221343,求A

1..r3

r2

1/2r2r1

2

r2r25/2r3r1+2r3123100

221010343001解:

§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

A

1=

13

2

3/2

35/211

1例4.設(shè)A=,,B=253143求矩陣X使AX=B.r22

r1r33

r1r1

2

r2r25/2r3r1+2r3§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

12322134312325

2213134343解:

故X=

32

2

313.XA=B

X=BA

1

注:當(dāng)求一個逆矩陣時，事先不必知道A是否可逆，因為當(dāng)A不可逆時，A就不可能通過初等行變換化成單位陣，此時，那么可判別A不可逆。[A

E]行變換[E

A

1][A

B]行變換[E

A

1B]

相當(dāng)于左乘A

1AX=B

X=A

1B初等列變換ABEX=E

BA

1

相當(dāng)于右乘A

1列變換AEE

A

1

左行右列§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

三.用初等變換求逆矩陣(左行右列)A可逆

A

E

A=P1…Ps[A

E]行變換[E

A

1][A

B][EA

1B]解AX=B

X=A

1B解XA=B

X=BA

1初等列變換ABEBA

1§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

一.定義:方陣A可逆,假設(shè)方陣B,使AB=BA=E.注.只定義在方陣上，且唯一.二.初等陣與可逆陣§1.5方陣的逆矩陣

(初等陣都是可逆的)行變換§1.6方陣的行列式

一.二元線性方程組與二階行列式三.n階行列式的定義

二.三階行列式的特點四.行列式的性質(zhì)五.行列式的計算六.行列式的應(yīng)用§1.6方陣的行列式§1.6方陣的行列式

一.二元線性方程組與二階行列式

(a11a22

a12a21)x1=b1a22

a12b2

(a11a22

a12a21)x2=a11b2

b1a21

當(dāng)a11a22

a12a210時,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22

a12b2a11a22

a12a21,x2=a11a22

a12a21a11b2

b1a21.第一章矩陣

第一章矩陣§1.6方陣的行列式a11a12a21a22記D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,那么當(dāng)D=a11a22a12a210時,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22

a12b2a11a22

a12a21有唯一確定的解x2=a11a22

a12a21a11b2

b1a21

三階行列式的對角線法那么a1

a2

a3b1

b2

b3c1

c2

c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2

a3b2c1

a1b3c2

a2b1c3

每項都是三個元素的乘積.每項的三個元素位于不同的行列.問題:能用對角線法那么計算四階行列式嗎?否

§1.6方陣的行列式第一章矩陣

第一章矩陣§1.6方陣的行列式一般地,在n階行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列劃去,留下來的n1階行列式叫做元素aij的余子式,記作Mij,令A(yù)ij

=(1)i+jMij,并稱之為aij的代數(shù)余子式.例如,四階階行列式中a32的余子式為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代數(shù)余子式A32

=(1)3+2M32=

M32.

第一章矩陣§1.6方陣的行列式3階方陣A=的行列式|A|定義為a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33|A|=a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33=a11A11

+a12A12

+

a13A13

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13a22a31.

第一章矩陣§1.6方陣的行列式1階方陣A=[a11]的行列式|A|定義為a11.a11a12a21a222階方陣A=的行列式|A|定義為a11a12a21a22|A|==a11a22

a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12

(1)1+2a21

a11a12a21a22

a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩陣§1.6方陣的行列式a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代數(shù)余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代數(shù)余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代數(shù)余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33

aij的余子式

Mij：

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann|A|=劃去aij所在的行列得到的n-1階行列式比方M22：aij的代數(shù)余子式

Aij：

按第一行展開二.三階行列式的特點=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13a22a31

1.n階行列式的定義

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:

①一階行列式|a11|=a11,有正負(fù)號,與絕對值不同

②行列式只定義在n階方陣A上,記為|A|或detA.三.n階行列式的定義〔Determinant〕③

n階行列式是定義在n階方陣集合上的一個函數(shù)，即f(A)=detA:Rn×n

R.

§1.6方陣的行列式第一章矩陣

=a11A11+a12A12+

+a1nA1n關(guān)于第一行的展開式2.幾個特殊的行列式

10…00

2…0…………00…

n0…0

10

…

2

0…………

n…00=

1

2…

n

,

1

2…

n

.(1)對角行列式

§1.6方陣的行列式第一章矩陣

(2)上(下)三角形行列式

a11a12…a1n

0a22…a2n…………0

0

…ann=a11a22…ann

=a110…0

a21a22…0…………an1

an2…anna11…a1n-1

a1n

a21…

a2n-10…………

an1…0

0=a1na2n-1…an10

…0a1n

0…

a2n-1

a2n…………

an1…a1n-1

ann§1.6方陣的行列式第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

三.n階行列式的定義二.二、三階行列式的特點四.行列式的性質(zhì)五.行列式的計算六.行列式的應(yīng)用對角線法那么按某行(列)展開

|A|=a11A11+a12A12+

+a1nA1n按第1行展開

f(A)=detA:Rn×n

R.四.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1|AT|=|A|.

記|A|=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21

…an1

a12

a22…an2…………a1n

a2n

…ann,|AT|=§1.6方陣的行列式第一章矩陣

性質(zhì)2

性質(zhì)3

0性質(zhì)4

證明:§1.6方陣的行列式第一章矩陣

當(dāng)n=2時成立.假設(shè)對任意n1階行列式結(jié)論成立.|A|=a11M11+

+(1)1+i

a1iM1i

+

+(1)1+n

a1nM1n

|B|=b11N11+

+(1)1+i

b1iN1i

+

+(1)1+n

b1nN1n

當(dāng)i

j時,b1i=a1i,

由歸納假設(shè),N1i=

M1i

(1)1+i

b1iN1i=(1)1+ia1i(

M1i)=

(1)1+i

a1iM1i

當(dāng)i=j時,b1i=

a1i,

N1i=M1i

(1)1+i

b1iN1i=(1)1+i(

a1i)M1i

=

(1)1+i

a1iM1i

性質(zhì)4

性質(zhì)5

性質(zhì)6

性質(zhì)7

性質(zhì)8

性質(zhì)9

？§1.6方陣的行列式第一章矩陣

0|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+

+ainAin按第i行展開

|A|=a1jA1j+a2jA2j+

+anjAnj按第j列展開

定理1.7

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33=

a31A31+a32A32+a33A33.下面來看a11A31

+a12A32+a13A33

=a11A31

+a12A32+a13A33

=a11

a12

a13

a21

a22

a23

a11

a12

a13=0.推廣到一般情形,我們有如下結(jié)論:定理1.8.

ai1Aj1

+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)

a1iA1j

+a2iA2j+…+aniAnj=0(i

j).

A31,A32,A33與a31,a32,a33的取值無關(guān)0?§1.6方陣的行列式第一章矩陣

定理1.8.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i

j).推論：

aikAjk=Dij,k=1n

akiAkj=Dij.k=1n

ij=1,i=j

0,i

j§1.6方陣的行列式第一章矩陣

其中m

n矩陣n階行列式定義加法數(shù)乘乘法行列式與矩陣的區(qū)別

五.行列式的主要計算方法四.行列式的性質(zhì)

1.化為三角形行列式

|AT|=|A|.

3.行列式按行(列)展開

2.箭形行列式的計算4.提公因子法5.降階遞推法6.分解行列法例5.設(shè)|A|=|A1A2A3A4|=3,Ai

R41,求|B|=|A2+

A3A1

2A3

A42A1|=？

=4(1)3|A|=12.五.行列式的主要計算方法

1.化為行列式的關(guān)系式解:

|B|=|A2+

A3A1

2A3

A42A1|=|A2+

A3

2A3

A42A1|(1/2)(1/2)=|A2

2A3

A42A1|=4|A2

A3

A4A1|§1.6方陣的行列式第一章矩陣

例6.

1242213422124=067

3423124=067

0

10

14()532.化為三角形行列式

124=067

0

0

7/3=16(7/3)=14.法1:

法2:

§1.6方陣的行列式第一章矩陣

=14.行列式按行(列)展開

3111131111311113(2)6666

131111311113=1111131111311113=6(1)1111020000200002=6=48.§1.6方陣的行列式第一章矩陣

例7.設(shè)D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,證明:D=D1D2.證明:對D1施行ri+krj,把D1化為下三角行列式=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,D2

=,b11…

b1n

bn1…

bnn……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1n

cn1…

cnmbn1…

bnna11…a1m

am1…amm

D1

=……對D2施行ci+kcj這類運算,把D2化為下三角形行列式:b11…