梯形的性質與輔助線

第五講：梯形的性質與輔助線第一局部：知識模塊與方法知識模塊一：梯形的性質與判別1．梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，夾在兩底之間的垂線段叫做梯形的高。2．等腰梯形的定義：兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。3．直角梯形的定義：一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。4．等腰梯形的性質：〔1〕等腰梯形的兩腰相等?！?〕等腰梯形同一底上的兩個內角相等?！?〕等腰梯形的對角線相等?！?〕梯形的中位線與兩底同時平行，且等于兩底和的一半。5．等腰梯形的判別方法：〔1〕兩條腰相等的梯形是等腰梯形。〔定義法〕〔2〕同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。〔3〕對角線相等的梯形是等腰梯形。知識、題型、方法梯形的性質例1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延長線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC?！?〕求證：△ABE≌△CDA；〔2〕假設∠DAC=40°，求∠EAC的度數。變式練習〔2012，南京〕如圖，梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點?！?〕求證：四邊形EFGH為正方形；〔2〕假設AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。例2：〔2011，蘇州〕如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足為E?！?〕求證：△ABD≌△ECB；〔2〕假設∠DBC=50°，求∠DCE的度數。變式練習：〔2011，重慶潼南〕如圖,在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC?！?〕求證：AD=AE；〔2〕假設AD=8，DC=4，求AB的長。課堂練習一：1．〔2011，四川綿陽〕如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，對角線AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，那么△COD的面積為〔〕A.B.C.D.2．〔2011，江蘇宿遷〕如以下圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分線與∠BDC的平分線的交點E恰在AB上。假設AD＝7cm，BC＝8cm，那么AB的長度是cm。3．〔2012，咸寧〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E為CD的中點，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，當，時，四邊形BGEF的周長為。ABCABCDFEG〔第3題圖〕ABCDE4．ABCDE5．〔2012，巴中〕如右圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，點E是BC的中點，且DE∥AB，那么∠BCD的度數是____________。6．〔2011，山東棗莊〕如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結EF。〔1〕證明：；〔2〕當時，求EF的長。FFDBAEC等腰梯形與直角梯形的判別例3：〔2012，湖北襄陽〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC與ED相交于點F．〔1〕求證：梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．AACBDEF變式練習：1．如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BDCD，ABCD，且∠ABC為銳角。假設AD，BC，E為BC邊上一點。問：當CE分別為何值時，四邊形ABED是等腰梯形、直角梯形？請分別說明理由。ADBC2．〔2011，茂名改編〕如圖，在等腰△ABC中，點D、E分別是兩腰AC、BC上的點，連接AE、BD相交于點O，∠1=∠2?！?〕求證：OD=OE；〔2〕求證：四邊形ABＥD是等腰梯形；〔3〕假設AB=3DE，DE2，AD4，求四邊形ABED的面積。知識模塊二：梯形問題中的輔助線梯形問題中常見輔助線做法：〔1〕平移梯形一腰即過梯形上底或下底的一個端點作一腰的平行線，將梯形分割成三角形和平行四邊形，并出現上下底的差，利用這些條件解決所給的問題。〔2〕平移梯形的一條對角線即過梯形上底或下底的一個端點作一條對角線的平行線，將梯形割補成與之等積的三角形，并出現上下底的和，利用這些條件解決所給的問題〔3〕過上底的兩個端點作梯形的高線，將梯形分成兩個直角三角形和一個矩形.〔4〕延長梯形兩腰交于一點，構成兩個三角形.〔5〕連結上底的一端點與一腰的中點，延長交下底的延長線于一點，將梯形割補成與之等積的三角形.〔6〕連結兩腰中點，作中位線。知識、題型、方法例4：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90o，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，那么CD＝cm。例5：〔2012，呼和浩特〕：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，那么梯形的面積是。AADBC例6：〔2011，臨沂〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，那么梯形ABCD的周長是〔〕A．12B．14C．16D．18例7：〔2011，重慶〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD。過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F．點G為BC中點，連結EG、AF。〔1〕求EG的長；〔2〕求證：CF＝AB＋AF。課堂練習二：1．〔2011，湖北武漢〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，假設∠ABD＝25°，那么∠BAD的大小是〔〕

A．40°．B．45°．

C．50°．D．60°．第7題圖第7題圖ABCD2．〔2012，臨沂〕如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，以下結論不一定正確的選項是〔〕A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD3．〔2012，廣州〕如圖，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于點E，且EC=3，那么梯形ABCD的周長是〔〕A．26B．25C．21D．204．〔2011邵陽〕如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，那么上底DC的長是_______cm。5．〔2012，四川內江〕如下圖，四邊形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，假設AB＝2，CD＝4，那么S梯形ABCD＝。AABDC6．〔2011，南京〕等腰梯形的腰長為5㎝，它的周長是22㎝，那么它的中位線長為____㎝。7．〔2011，江蘇連云港〕一等腰梯形兩組對邊中點連線段的平方和為8，那么這個等腰梯形的對角線長為_______。8．〔2011，山東煙臺〕如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點。兩底差是6，兩腰和是12，那么△EFG的周長是。AABCDEFG〔第8題圖〕9．〔2009，齊齊哈爾〕在梯形中，，，，，，那么的長為。10．〔2009，山東威?！吃谔菪蜛BCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，那么AB的長度為。11．〔2009，益陽〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm。〔1〕求∠CBD的度數；〔2〕求下底AB的長。ABABCD60°12．〔2011，東營改編〕如圖，在四邊形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°，延長CD到點E，連接AE，使得∠E∠C。〔1〕求證：四邊形ABDE是平行四邊形；〔2〕假設DC=12，求AD的長；〔3〕求四邊形ABCD的面積。13．〔2012，杭州〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．〔1〕求證：AF=DE；〔2〕假設∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長。第二局部：模型思維與思想證明線線段相等的方法總結證明線段相等，首選全等三角形，利用全等三角形對應邊相等證得線段相等：〔1〕直接證明兩三角形全等〔此種類型比擬容易〕；〔2〕通過構造全等三角形〔此種類型主要為猜測探究型題目，較難〕〔常用技巧：作垂線構造旋轉形全等三角形；加倍中線構造中心對稱型全等三角形；截長補短法構造全等三角形〕其次選擇等量代換技巧；〔1〕證等腰三角形，利用等腰三角形兩腰相等證得線段相等；〔2〕考查一些幾何圖形的性質，如：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半；平行四邊形對邊相等；等腰梯形兩腰相等；角平分線上的點到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。同學們，此上兩種方法為證明線段相等的重要方法，這兩種方法有時可以獨立使用，有時可相互運用，一定要多加體會。知識、題型、方法利用全等三角形對應邊相等證明線段相等例8：〔2008，義烏〕如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE。我們探究以下圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：〔1〕猜測如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；〔2〕將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷。變式練習：1.〔2011，山東臨沂〕如圖1，獎三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G。 〔1〕求證：EF＝EG；如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，〔1〕中的結論是否仍然成立？假設成立，給予證明；假設不成立，說明理由。2.〔2011，成都節(jié)選〕如圖，線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點。連接BE，假設BE平分∠ABC，且當AE=AD時，猜測線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關系?請寫出你的結論并予以證明。例9：利用等腰三角形兩腰相等證明線段相等〔2012，江蘇鹽城〕如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=900，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC?！?〕求證：DE=EC?！?〕假設AD=BC，試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由。變式練習：1.如圖，△ABC〔ABAC〕中，D、E在BC上，且DEEC，AE平分∠BAC，過D作DF∥BA交AE于點F。求證：ACDF。AFBDEC〔2011，重慶〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD。過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F．點G為BC中點，連結EG、AF?！?〕求EG的長；〔2〕求證：CF＝AB＋AF。課堂練習三：1.如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，于E，，交AG于F。求證：。DCDCBAEFG2.圖2〔2008，重慶〕：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E。圖2求證：〔1〕△BFC≌△DFC；〔2〕AD=DE〔2012，重慶〕：如圖，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E,∠1=∠2。〔1〕假設CE=1，求BC的長；〔2〕求證AM=DF+ME?！?009，山西節(jié)選〕在中，將繞點順時針旋轉角得交于點，分別交于兩點?！?〕如圖1，觀察并猜測，在旋轉過程中，線段與有怎樣的數量關系？并證明你的結論；〔2〕如圖2，當時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由。AADBECFADBECF圖1