福建省漳州市2024屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

準(zhǔn)考證號______姓名______（在此卷上答題無效）福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)全集，若集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可求出集合，易知陰影部分表示，利用集合基本運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意解指數(shù)不等式可得，由函數(shù)定義域可得，所以；陰影部分表示的集合為.故選：A2.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】將等式整理可得，即可計(jì)算出.【詳解】將整理可得，所以；可得.故選：D3.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先可求出，再由得，由得，將其轉(zhuǎn)化為、與的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)方程思想，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于中檔題.4.已知向量，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將向量垂直轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為零，再結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以由?shù)量積的坐標(biāo)公式可知，解得，因此，由向量減法坐標(biāo)公式可得，最終結(jié)合向量模的坐標(biāo)公式可得.故選：C.5.已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可以算出圓心到雙曲線其中一條漸近線的距離，設(shè)出漸近線方程再結(jié)合點(diǎn)到直線之間的距離公式即可列出方程解出，進(jìn)一步即可求出離心率.【詳解】一方面：設(shè)雙曲線漸近線被圓所截得的弦長為,圓的半徑為，圓心到漸近線的距離為，又根據(jù)題意有，因此根據(jù)垂徑定理可得，另一方面：不妨設(shè)漸近線方程為（其中），又圓的圓心坐標(biāo)為圓，因此根據(jù)點(diǎn)到直線之間的距離公式有圓.結(jié)合以上兩方面有，解得，又，所以雙曲線的離心率為.故選：B.6.若，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，求得要求式子的值．【詳解】解：若，所以，則，故選：．7.如圖，在五面體ABCDEF中，底面是矩形，，，若，，且底面ABCD與其余各面所成角的正切值均為，則該五面體的體積是（）A.225 B.250 C.325 D.375【答案】C【解析】【分析】利用面面角的定義，結(jié)合圖形與線面垂直的判定與性質(zhì)定理求得，從而利用切割法，結(jié)合錐體與柱體的體積公式即可得解.【詳解】過作面于，過作分別交于，記的中點(diǎn)為，連接，同理作出，如圖，因?yàn)榈酌媸蔷匦危?，又，所以，因?yàn)槊?，面，所以，因?yàn)槊?，所以面，因?yàn)槊?，所以，所以是面與面的所成角，則由題意知，同理是面與面的所成角，則，因?yàn)?，所以，則，又易得，所以是的中點(diǎn)，由上述分析易知四邊形是矩形，則，所以，則，故，易得，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又易得，所以為面與與面的所成角，則，即，則，即，由對稱性可知，從而，因?yàn)?，同理，所以，又，所以四邊形是矩形，同理可得四邊形與四邊形是矩形，則幾何體是直棱柱，由對稱性可知，，所以該五面體的體積為.故選：C.8.已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則k的最大值是（）A. B. C.2e D.4e【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為和，則，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和極小值，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)槭呛偷墓芯€，設(shè)切點(diǎn)分別為和，則，由，可得，則又由，可得，且，則，所以，可得，即，顯然同號，不妨設(shè)，設(shè)，（其中），可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，要使得有解，則需要，即即，解得，所以，即的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.將100個(gè)數(shù)據(jù)整理并繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值大于眾數(shù)的估計(jì)值C.該組數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)約為109.2D.在該組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)據(jù)記為n，已知，則的概率為【答案】BC【解析】【分析】對于A選項(xiàng)：由陰影部分面積之和為1即可驗(yàn)證；對于B選項(xiàng)：計(jì)算出平均數(shù)和眾數(shù)估計(jì)值即可驗(yàn)證；對于C選項(xiàng)：根據(jù)第90百分位數(shù)的定義去計(jì)算即可驗(yàn)證；對于D選項(xiàng)：由條件概率計(jì)算公式即可驗(yàn)證.【詳解】對于A選項(xiàng)：由陰影部分面積之和為1可知，解得，故A選項(xiàng)不符題意.對于B選項(xiàng)：不妨設(shè)眾數(shù)和平均數(shù)分別為，由圖可知顯然有，，因此，即平均數(shù)的估計(jì)值大于眾數(shù)的估計(jì)值，故B選項(xiàng)符合題意.對于C選項(xiàng)：設(shè)第90百分位數(shù)為，且注意到這100個(gè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間的概率為，所以一定落在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，故C選項(xiàng)符合題意.對于D選項(xiàng)：記、分別為事件，則由圖可知，，則由條件概率公式得，故D選項(xiàng)不符題意.故選：BC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D.若在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】由最值求，由周期求，再由，可求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】由題意可得，，故，A正確；又因?yàn)椋?，所以，所?對于B，當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于直線對稱,B正確；對于C，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，C錯(cuò)誤；對于D，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ABD.11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，逐項(xiàng)分析得出數(shù)列的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，所以，；對于A，若，則，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，所以可得，即A正確；對于B，若，可得，又，所以；所以，又，可得，因此可得，即，所以B正確；對于C，若，可得，又，因此的大小無法判斷，所以C錯(cuò)誤；對于D，若，可得，又，所以可得，即數(shù)列為遞減數(shù)列；可得，即，所以D正確；故選：ABD12.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的定義域也為.若，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】【分析】由題意可以推出的周期以及對稱中心，根據(jù)，可得的周期是4，又是由向左平移1個(gè)單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為；然后對每一選項(xiàng)逐一驗(yàn)證判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)：注意到，又是由向左平移1個(gè)單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為即，因此；故A選項(xiàng)符合題意.對于B選項(xiàng)：令，此時(shí)滿足題意，但，故B選項(xiàng)不符題意.對于C選項(xiàng)：因?yàn)榈膶ΨQ中心為，所以，又已知，所以，這表明了關(guān)于直線對稱，即，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則且同時(shí)兩邊對求導(dǎo)得；故C選項(xiàng)符合題意.對于D選項(xiàng)：由的對稱中心為，即，兩邊對求導(dǎo)得，結(jié)合C選項(xiàng)分析結(jié)論，可知，所以這表明了的周期為4，因此，注意到，所以；故D選項(xiàng)符合題意.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題有兩個(gè)關(guān)鍵之處，一方面：的周期以及對稱中心并舉反例排除B選項(xiàng)；另一方面：得出的對稱軸，進(jìn)而求出的奇偶性、周期性.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是______.【答案】15【解析】【分析】利用展開式的通項(xiàng)，當(dāng)?shù)闹笖?shù)為0時(shí)，求展開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，，令，得，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：1514.有一批同一型號的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占，乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號產(chǎn)品的次品率分別為，，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是______.【答案】0.024【解析】分析】利用全概率公式直接求解．【詳解】設(shè)，分別表示甲、乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，表示取到次品，則，，，，從中任取一件產(chǎn)品取到次品的概率為：，故答案為：0.024．15.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意對直線斜率存在與否進(jìn)行分類討論，由焦半徑公式寫出的表達(dá)式，并利用基本不等式求出其最小值.【詳解】如下圖示：易知焦點(diǎn)，設(shè)，且當(dāng)直線斜率不存在時(shí)（如圖中虛線所示），可知，此時(shí)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，顯然，聯(lián)立直線和拋物線方程，消去整理可得，利用韋達(dá)定理可知，又利用焦半徑公式可知，所以可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；綜上可得，的最小值是.故答案為：16.一個(gè)封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）的上底面半徑為1，下底面半徑為6，母線與底面所成的角為.在圓臺容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則正方體的棱長的最大值是______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意可求出圓臺內(nèi)能放置的最大球的半徑，使正方體外接于球即可求出正方體的最大棱長.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可知；又母線與底面所成的角為，即，易得；設(shè)圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點(diǎn)，所以可知球的半徑，此時(shí)球的直徑為，即此時(shí)球與圓臺上底面不相切，因此圓臺內(nèi)能放置的最大球的直徑為;若放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，要求正方體棱長最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，設(shè)正方體的最大棱長為，滿足，解得.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，正方體的棱長為2，E為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面ACE；（2）若F是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求BF.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）解法一：連接交于點(diǎn)，連接，可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；解法二：以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面ACE的法向量，證明即可；（2）以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面ACE的法向量為，設(shè)，求出平面的法向量,根據(jù)即可求解.【小問1詳解】解法一：證明：連接交于點(diǎn)，連接，則中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.解法二：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,，所以，.設(shè)平面ACE的法向量為，則，令，則，，所以取.又，所以，所以.又平面，所以平面.【小問2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以取.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以取.因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，解得，?18.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若D為邊BC上一點(diǎn)，且，，證明：為直角三角形.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理、誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡求解即可；（2）解法一：根據(jù)向量運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合向量模的計(jì)算公式可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求證；解法二：直接利用余弦定理結(jié)合，進(jìn)而化簡即可求證.【小問1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，?又，所以.又，所以，即.【小問2詳解】解法一：因?yàn)椋?即，所以，所以.因此，又，所以，所以，所以為直角三角形.解法二：因?yàn)?，所以，所以，又，，所以，?又，所以，即，所以，所以，所以.因此，所以，所以為直角三角形.19.已知數(shù)列，滿足，，記為的前n項(xiàng)和.（1）若為等比數(shù)列，其公比，求；（2）若為等差數(shù)列，其公差，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由為等比數(shù)列，其公比，可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，利用公式求前n項(xiàng)和.（2）求出的通項(xiàng)，可得，通過累乘法或構(gòu)造常數(shù)列，求出的通項(xiàng)，利用公式求前n項(xiàng)和，可證得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，，所以，所以.又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】解法一：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，，所以，所以.因?yàn)?，即，所以，所以?dāng)時(shí)，.又符合上式，所以.所以.解法二：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，，所以，所以.因?yàn)?，即，所以，所以?shù)列為常數(shù)列.因此，所以.所以.20.甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局n勝制（當(dāng)一選手先贏下n局比賽時(shí)，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.（1）若，，比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若比對甲更有利，求p的取值范圍.【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到所有可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（2）解法一：分別求得采用3局2勝制和5局3勝制，甲最終獲勝的的概率，和，結(jié)合，即可求解；解法二：用，表示3局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，得到和，分別求得甲最終獲勝的的概率，和，結(jié)合，即可求解；【小問1詳解】解：依題意得，隨機(jī)變量所有可能取值為，可得，，所以隨機(jī)變量的分布列為23所以的數(shù)學(xué)期望.【小問2詳解】解法一：若采用3局2勝制，甲最終獲勝的概率為，若采用5局3勝制，甲最終獲勝的概率為：，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，即，解得.解法二：采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，即，解得.21.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).（1）求C的方程；（2）不過原點(diǎn)O的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.（i）求的斜率；（ii）求的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）利用左焦點(diǎn)和點(diǎn)求出，即可求出C的方程；（2）（?。┰O(shè)出直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)出直線OP，PQ，OQ的斜率，即可求出直線的斜率；（ii）表達(dá)出點(diǎn)O到直線PQ的距離，線段PQ的長度，進(jìn)而表達(dá)出的面積，即可得到面積的取值范圍.