北京市東城區(qū)九年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試卷 含解析

精品資料

九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

選擇題（共8小題）

1.拋物線尸-（戶2）J3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.（-2,-3）

2.如圖，A,B,C是。。上的點(diǎn)，如果乙眥=120°,那么N54C的度數(shù)是（）

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x沙中，點(diǎn)尸（4,3）,與x軸正半軸的夾角為a,則tana

4.如圖，在平行四邊形儂刀中，點(diǎn)E在況'上，連接班1交對(duì)角線4C于點(diǎn)凡若的EC=

5.如圖，相是。。的直徑，或是。0的弦，NZG?=40°,則/加為（）

C

A.40°B.50°C.60°D.70°

6.如圖，從。0外一點(diǎn)力引圓的切線也，切點(diǎn)為B,連接4。并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C,連接8c.若

ZA=34°,則NZ①的度數(shù)是（）

A.28°B.30°C.31°D,32°

7.把拋物線尸J+1向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線（）

A.y=S3）2-1B.y=（戶3）2+3C.y=（JS-3）2-1D.y=（x-3）2+3

8.在平面直角坐標(biāo)系x勿中，點(diǎn)力，點(diǎn)6的位置如圖所示，拋物線y=a￥-2ax經(jīng)過4B,

則下列說法不正確的是（）

Ox

A.拋物線的開口向上

B.拋物線的對(duì)稱軸是x=l

C.點(diǎn)8在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)

D.拋物線的頂點(diǎn)在第四象限

二.填空題（共8小題）

9.請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，并且過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式，尸.

10.根據(jù)測(cè)試距離為5卬的標(biāo)準(zhǔn)視力表制作一個(gè)測(cè)試距離為3加的視力表.如果標(biāo)準(zhǔn)視力表

中的長(zhǎng)。是3.6頌，那么制作出的視力表中相應(yīng)的長(zhǎng)a是.

11.已知：如圖，在△血'中，點(diǎn)。在47上（點(diǎn)D不與4c重合）.若再添加一個(gè)條件

就可證出況

12.如圖，四邊形被力內(nèi)接于。0,ZA=115°,則/腦等于

13.如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度從4處向正東方向的〃處航行，在點(diǎn)4處測(cè)得某島。

在北偏東60°的方向.該貨船航行30分鐘后到達(dá)6處，此時(shí)測(cè)得該島在北偏東30°的

方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是.

是.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，夕是直線尸2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。夕的半徑為1,直線

/切。P于點(diǎn)Q,則線段制的最小值為.

三.解答題(共12小題)

17.計(jì)算：2cos30°-tan60°+sin300+—tan45".

2

18.下面是小蕓設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：00及。0外一點(diǎn)P.

求作：。0的一條切線，使這條切線經(jīng)過點(diǎn)P.

作法：

①連接陰作。7的垂直平分線】，交。于點(diǎn)小

②以4為圓心，40為半徑作圓，交O0于點(diǎn)〃；

③作直線掰則直線掰即為。。的切線.

根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

(1)用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成證明:

19.拋物線尸af+Zu+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表:

x…-2-1012…

y…0一4?408

(1)根據(jù)表填空：

①拋物線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和;

②時(shí)，y>0;

(2)試確定拋物線尸市歲+如。的解析式.

20.如圖，點(diǎn)尸是。。內(nèi)一點(diǎn)，

(1)過點(diǎn)尸畫弦形，使點(diǎn)尸是形的中點(diǎn)，并簡(jiǎn)述作圖過程.

(2)連接如并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)C,若四=8,PC=2,求的半徑.

21.如圖，在四邊形似方中，AD//BC,ABVBC,點(diǎn)E在B上，/應(yīng)6=90。.

（1）求證：AADEsABEC.

（2）若4=1,a-3,AE=2,求相的長(zhǎng).

22.如圖，在△胸中，NB為銳角,AB=3-^2,AC=5,sinC=^-,求■的長(zhǎng).

23.如圖，以4OWs的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一

條拋物線.如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度力（單位：加與飛行時(shí)間力（單位：s）

之間具有函數(shù)關(guān)系力=20L5上

（1）小球飛行時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？最大高度是多少？

（2）小球飛行時(shí)間t在什么范圍時(shí)，飛行高度不低于15必？

24.如圖1,RtZXW中，N/龍=90°,點(diǎn)〃為四邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)力,點(diǎn)夕重合）,

過點(diǎn)。作瓦Z15交直線4c于點(diǎn)瓦已知N/f=30°,AB=4cm,在點(diǎn)。由點(diǎn)力到點(diǎn)6運(yùn)

動(dòng)的過程中，設(shè)AD=xcm.AE=ycm.

(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，得到了X與y的幾組值，如表：

x/cm工13.2537_...

222~2

y/cm…0.40.81.0—1.004.0…

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面

是小東的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(說明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值,保留一位小數(shù))

(2)在如圖2的平面直角坐標(biāo)系x%中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，

畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)?shù)玌時(shí)，血的長(zhǎng)度約為cm.

2

25.如圖，已知RtZ\W中，ZJGff=90",E為AB上一點(diǎn),,以絲為直徑作。。與況■相切

于點(diǎn)〃連接物并延長(zhǎng)交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(1)求證：AE=AF；

(2)若ZE=5,AC=\,求跳'的長(zhǎng).

26.在平面直角坐標(biāo)系x分中，拋物線尸a￥-4a，?+3a-2(aWO)與x軸交于Z,8兩點(diǎn)

(點(diǎn)/在點(diǎn)5左側(cè)).

(1)當(dāng)拋物線過原點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值;

(2)①求拋物線的對(duì)稱軸；

②求拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)?shù)?時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

27.在正方形加切外側(cè)作直線在，點(diǎn)8關(guān)于直線"的對(duì)稱點(diǎn)為￡,連接豳DE,其中絲

(2)若/摩=20。，求/力＞的度數(shù)；

(3)如圖2,若45。VNR歷＜90°,用等式表示線段相，F(xiàn)E,網(wǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

28.我們規(guī)定：平面內(nèi)點(diǎn)4到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最小

距離d,點(diǎn)4到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最大值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最大距離。，定義

點(diǎn)力到圖形G的距離跨度為R=D-d.

(1)①如圖1,在平面直角坐標(biāo)系x限中，圖形G為以。為圓心，2為半徑的圓，直接

寫出以下各點(diǎn)到圖形a的距離跨度：

A(1,0)的距離跨度；

6(-工，返)的距離跨度；

22

C(-3,-2)的距離跨度；

②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀

是.

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系x處中，圖形G為以。(-1,0)為圓心，2為半徑的

圓，直線尸A(x-l)上存在到G的距離跨度為2的點(diǎn)，求A的取值范圍.

⑶如圖3,在平面直角坐標(biāo)系x行中，射線陰尸返x(G0),是以3為半徑

3

的圓，且圓心E在x軸上運(yùn)動(dòng)，若射線卯上存在點(diǎn)到O￡的距離跨度為2,直接寫出圓

心后的橫坐標(biāo)打的取值范圍

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.拋物線尸-（廣2）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.（-2,-3）

【分析】已知拋物線解析式為頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：???拋物線尸-（戶2）2-3為拋物線解析式的頂點(diǎn)式，

.??拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,-3）.

故選：D.

2.如圖，A,B,。是。。上的點(diǎn)，如果乙眈-120°,那么N皿。的度數(shù)是（）

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?/斯與/曲。是同瓠所對(duì)的圓心角與圓周角，NBOC=120。，

:.NBAC=L/BOC=6Q。.

2

故選：B.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x%中，點(diǎn)P（4,3）,帆與x軸正半軸的夾角為a,則tana

【分析】過夕作雙Lx軸于N腕Ly軸于弘根據(jù)點(diǎn)2的坐標(biāo)求出朋和如解直角三

角形求出即可.

【解答】解：

過尸作4d_x軸于乂刃Uy軸于〃，則/掰9=/碩=90°,

軸J_y軸，

：.2M0N=NPMg2PN0=gy,

.?.四邊形加般是矩形，

：.PM^ON,PN^OM,

'：P（4,3）,

：.0N=Pg4,P43,

：.tana

ON4

故選：C.

4.如圖，在平行四邊形被力中，點(diǎn)后在比'上，連接班交對(duì)角線ZC于點(diǎn)凡若加：Eg

1：3,則S&EF8S^BFA—（）

A.1:3B.1：9C.3：4D.9:16

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到協(xié)=%AB//DC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相

似比的平方計(jì)算，得到答案.

【解答】幅；?：DE：EC=1：3,

:.EC：DC=3:4,

?.?四邊形儂辦是平行四邊形，

：.AB=DC,AB//DC,

：./\EFC^/\BFA,

.SAEFC_/EC\2-9

??-------\-?---9

2△BFA皿16

故選：D.

5.如圖，四是。0的直徑，〃是。0的弦，NZ折40°,則/皿?為（）

D

【分析】利用圓周角定理解決問題即可.

【解答】解：如圖，連接切.

二乙〃應(yīng)=90°,

,.,Z5=Z6^=40°,

〃仍=90°-40°=50°,

故選：B.

6.如圖，從。0外一點(diǎn)4引圓的切線小，切點(diǎn)為B,連接40并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C,連接比若

【分析】連接加，根據(jù)切線的性質(zhì)，得/期=90°,又/力=34°,所以N4如=56°,

再用三角形的外角性質(zhì)可以求出NZ或的度數(shù).

【解答】解：如圖：連接必，

;AB切00于點(diǎn)B,

：.ZOBA=90°,

"4=34°,

：.ZAOff=90°-34°=56°,

,：OB=OC,

:.NC=NOBC,

?：4A0B=NS40BA24C,

：.ZC=28°.

7.把拋物線尸J+l向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線（）

2222

A.y=（A+3）-1B.y=（A+3）+3C.y=（x-3）-lD.y=（x-3）+3

【分析】易得原拋物線的頂點(diǎn)及平移后拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項(xiàng)

系數(shù)可得新的拋物線解析式.

【解答】解：由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為（0,1）,

...平移后拋物線的頂點(diǎn)為（3,-1）,

二新拋物線解析式為尸（x-3）2-1,

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4點(diǎn)8的位置如圖所示，拋物線尸經(jīng)過4,B,

則下列說法不正確的是（）

?B

Ox

A.拋物線的開口向上

B.拋物線的對(duì)稱軸是x=l

C.點(diǎn)夕在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)

D.拋物線的頂點(diǎn)在第四象限

【分析】由于拋物線尸ax2-2數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為0,所以圖象經(jīng)過原點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱軸為直線

x=2亙=1,可知拋物線開口向上，點(diǎn)5在對(duì)稱軸的右側(cè)，頂點(diǎn)在第四象限.

2a

【解答】解：yy=ax-2ax9

：?x=0時(shí)，產(chǎn)=0,

，圖象經(jīng)過原點(diǎn)，

又?.?對(duì)稱軸為直線*=2%=1,

2a

...拋物線開口向上，點(diǎn)8在對(duì)稱軸的右側(cè)，頂點(diǎn)在第四象限.

即4B、〃正確，C錯(cuò)誤.

故選：C.

二.填空題（共8小題）

9.請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，并且過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式，-4+2冢答案不唯一）.

【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析其a,c的值進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???開口向下，

：.a<0,

???拋物線過坐標(biāo)原點(diǎn)，

***c=0,

二答案不唯一，如尸一歲+2*.

故答案為：尸-f+2x（答案不唯一）.

10.根據(jù)測(cè)試距離為5w的標(biāo)準(zhǔn)視力表制作一個(gè)測(cè)試距離為3加的視力表.如果標(biāo)準(zhǔn)視力表

中“歹的長(zhǎng)6是3.6防，那么制作出的視力表中相應(yīng)的長(zhǎng)「是6頌.

【分析】如圖，易得AOABSAOCD,利用它們對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到題目的結(jié)論.

【解答】解：如圖，依題意得△a0?！鞅取?/p>

則匹_=坨，

ABBO

即

3.63

解得：a=6.

故答案為：6cm.

11.已知：如圖，在△板'中，點(diǎn)。在ZC上（點(diǎn)〃不與4C重合）.若再添加一個(gè)條件N

（答案不唯一），就可證出△板s△水況

【分析】有一對(duì)公共角，故可再添加一組角相等即可，如NABANACB.

【解答】解：可再添加一組角，如NABD=NACB.

故答案是：/板=/4龍（答案不唯一）.

12.如圖，四邊形極力內(nèi)接于00,N4=115°,則N5如等于130°.

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NC的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：?四邊形施力內(nèi)接于。0,Z/f=U5",

...N8180°-ZJ=180°-115°=65°,

：.ZBO/）=2ZC=130°.

故答案為：130.

13.如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度從4處向正東方向的。處航行，在點(diǎn)4處測(cè)得某島C

在北偏東60°的方向.該貨船航行30分鐘后到達(dá)8處，此時(shí)測(cè)得該島在北偏東30。的

方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是6亞海里.

北

【分析】作或L4?于〃，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出NC=30°,得到NSANC,求

出BC,根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可.

【解答】解：作CH1AD于H,

由題意得，/。5=30°,NCB滬=60°,

.?.NC=30°,

：.ACAB=Z.C,

：.BC=BA=24xl.=12,

2

在Rt△惻中，CH=BOsinNCBH=6M（海里）,

故答案為：6辰里.

14.如圖，PA、PB、斯分別切。。于4、B、D,若NQ50。，那么NEOF=65°.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NR4gN陽0=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360度即可

計(jì)算出N460；連OD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到應(yīng)=/郎=90。，易證得RtAC14^Rt

△ODE,RtAOF跆RtAOFB,得N1=N2,N3=N4,即有N￡M=N2+N3=L/市況

2

【解答】解：連接OA,OB,OD,

,：PA.PB為00的切線,

：.NPAg/PBggy,

而NQ50。，

二/4浙360°-90°-90°-50°=130°；

：.40DE=40DF=9Q°,

'：OA=OD=OB,OE=OE,OF=OF,

.,.RtAft4^RtAC?￡'QHL),Rt/\0F哈RtAOFB(.HL),

；.N1=N2,N3=N4,

.\Z2+Z3=AzJC!ff=650,則N￡365°.

2

故答案為：65.

15.已知函數(shù)尸￥-2X-3,當(dāng)-lWKa時(shí)，函數(shù)的最小值是-4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是心1.

【分析】結(jié)合函數(shù)尸9-2x-3的圖象和性質(zhì)，及已知中當(dāng)-時(shí)函數(shù)的最小值

為-4,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：函數(shù)尸f-2x-3=(x-1)2-4的圖象是開口朝上且以x=l為對(duì)稱軸的

拋物線，

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取最小值-4,

:函數(shù)尸『-2x-3,當(dāng)-lWx<a時(shí)，函數(shù)的最小值是-4,

故答案為：a》l

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系刀火中，P是直線尸2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OP的半徑為1,直線

/切。尸于點(diǎn)Q,則線段制的最小值為_返_.

【分析】連接PQ、0P,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PQLOQ,再利用勾股定理得到g

A/op2_1，利用垂線段最短，當(dāng)郎最小時(shí)，制最小，然后求出卯的最小值，從而得到

園的最小值.

【解答】解：連接網(wǎng)、0P,如圖，

?.?直線。切。。于點(diǎn)Q,

J.PQLOQ,

在RtAQAV中，OP2-PQ2=4()p2

當(dāng)彼最小時(shí)，8最小，

當(dāng)8_L直線尸2時(shí)，如有最小值2,

二園的最小值為五%=?.

故答案為

17.計(jì)算：2cos30°-tan600+sin300+Atan45".

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而得出答案.

【解答】解：原式=2X返-后LL

222

=1.

18.下面是小蕓設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。及外一點(diǎn)尸.

求作：的一條切線，使這條切線經(jīng)過點(diǎn)P.

作法：

①連接8,作郎的垂直平分線】，交。于點(diǎn)Z;

②以4為圓心，4。為半徑作圓，交。。于點(diǎn)例

③作直線掰則直線掰即為。。的切線.

根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

(1)用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

（2）完成證明:

P

【分析】（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形即可;

（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)完成證明即可.

【解答】解：（1）如圖所示:

掰即為所求作的的。。的切線;

（2）連接/根據(jù)作圖過程可知:

8為。4的直徑,

.\Z/W=90°,BPOMLPM,又如為的半徑,

二掰為。。的切線.

19.拋物線尸病+加+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表:

X???-2-1012???

??????

y0-4-408

（1）根據(jù)表填空：

①拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,0）和（1,0）；

②xV-2或x>l時(shí),y>0；

（2）試確定拋物線y=af+Ar+c的解析式.

【分析】（1）①在表中找出函數(shù)值為0對(duì)應(yīng)的自變量的值可確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐

標(biāo)；

②利用表中函數(shù)值的變化，再結(jié)合拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)得到函數(shù)值為正數(shù)的自變量

的范圍；

(2)設(shè)交點(diǎn)式尸a(A+2)(X-1),然后把(0,-4)代入求出a即可.

【解答】解：(1)①拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0)和(1,0)；

②-2或x>l時(shí)，y>0；

故答案為(-2,0),(1,0)；V-2或x>l；

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(廣2)(x-1),

把(0,-4)代入得-4=aX2X(-1),解得a=2,

所以拋物線解析式為尸2(廣2)(x-1),

即y^=2x+2x-4.

20.如圖，點(diǎn)尸是。。內(nèi)一點(diǎn)，

(1)過點(diǎn)尸畫弦也，使點(diǎn)尸是四的中點(diǎn)，并簡(jiǎn)述作圖過程.

(2)連接伊并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)C,若麴=8,尸(=2,求。。的半徑.

【分析】(1)過尸作直徑龍，再根據(jù)垂徑定理作龐的垂線即可;

(2)連接以，根據(jù)勾股定理和垂徑定理求解.

【解答】解：(1)①過戶作直徑龐；交于點(diǎn)〃和￡；

②過戶作弦四J?應(yīng)■于產(chǎn)；

(2)連接OA,

設(shè)。。的半徑為r,則g=r-2,

■:OPVAB,

x2=4,

22

根據(jù)勾股定理可得：而2=涼+〃，

.\r=42+(r-2)2,

r=5,

答：。。的半徑為5.

E

21.如圖，在四邊形屈切中，AD//BC,ABLBC,點(diǎn)￡在四上，/龐490。.

(1)求證：AADEs△BEC.

(2)若M=l,BC=3,AE=2,求四的長(zhǎng).

【分析】(1)由皿〃a'、/_1_a'可得出N4=N5=90°,由等角的余角相等可得出N4E

=NBEC,進(jìn)而即可證出△延s△以g

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出跖的長(zhǎng)度，結(jié)合晝儂跖即可求出形的長(zhǎng)度.

【解答】(1)證明：'：AD//BC,ABLBC,

:.AB工AD,ZJ=Z5=90",

:.NADE+NAEg9Q。.

■:NDEC=9Q°,

:.NAE訃NBEC=9Q°,

二NADE=/BEC,

:.△ADES^BEC.

(2)解：'：AADES^BEC,

?BE—BC即BE=3

"ADAETTT

2

:.AB^AE^BE=L.

2

22.如圖，在△被7中，N5為銳角，AB=3近,AC=5,sinC=3,求優(yōu)的長(zhǎng).

【分析】作91?鑿在△/如中求得4?=4ainC=3、CD=7AC2-AD2=4?再在△胸

中根據(jù)四=3&、4=3求得應(yīng)=3,繼而根據(jù)況三郎■切可得答案.

【解答】解：作的工BC于點(diǎn)、D,

'：AC=5,sinC=-|->

b

??AD=AC9sin6^3.

.,.在Rt△/切中，CD=7AC2-AD2=4,

"：AB=372.

:.在RtAABD中，BDTAB?-AD2=3,

：.BC=BD>rCD^l.

23.如圖，以4OWs的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一

條拋物線.如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度力（單位：而與飛行時(shí)間大（單位：s）

之間具有函數(shù)關(guān)系分=20￡-5人

(1)小球飛行時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？最大高度是多少？

(2)小球飛行時(shí)間［在什么范圍時(shí)，飛行高度不低于15必？

【分析】(1)將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式可得最值；

(2)畫圖象可得力的取值.

【解答】解：(1)VA=-5t2+20t=-5(t-2)%20,

...當(dāng)t=2時(shí)，人取得最大值20米；

答：小球飛行時(shí)間是2s時(shí)，小球最高為20處

(2)由題意得：15=201-512,

解得：ti—1,友=3,

由圖象得：當(dāng)時(shí)，力》15,

則小球飛行時(shí)間,<3時(shí)，飛行高度不低于15m.

24.如圖1,Rt△儂:中，N4陽=90。，點(diǎn)。為四邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)4點(diǎn)8重合),

過點(diǎn)。作初_1_5交直線ZC于點(diǎn)瓦已知N4=30°,AB=\cm,在點(diǎn)。由點(diǎn)4到點(diǎn)5運(yùn)

動(dòng)的過程中，設(shè)AD=xcm,AE—ycm.

5

4一?r??，??，??，

O12345X

圖2

(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，得到了x與y的幾組值，如表:

x/cm???X13_2537_

2222

y/cm???0.40.81.0L21.004.0

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面

是小東的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(說明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值，保留一位小數(shù))

(2)在如圖2的平面直角坐標(biāo)系底力中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，

畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)代L/7時(shí)，4〃的長(zhǎng)度約為2.4或3.3cm.

2

【分析】(1)(2)根據(jù)題意測(cè)量、作圖即可；(3)滿足/￡=4?條件，實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化

2

為正比例函數(shù)y=—x.

2

【解答】解：(1)根據(jù)題意，測(cè)量得1.2

二故答案為：1.2

(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，作圖得

?J'

(J1234子

(3)當(dāng)心耳?時(shí)，y=lx,在(2)中圖象作圖，并測(cè)量?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)得：

22

〃=2.4或3.3

故答案為：2.4或3.3

25.如圖，已知RtZU5C中，NAC49Q°,E為AB上一點(diǎn)、,以熊為直徑作。。與無相切

于點(diǎn)〃連接切并延長(zhǎng)交4c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

(1)求證：AE^AF；

(2)若力￡=5,AC=4,求跳'的長(zhǎng).

【分析】(1)連接0D,根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODVBC,根據(jù)平行線的判定定理得到0D//

AC,求得應(yīng)=/凡根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N。切=/a應(yīng)，等量代換得到NW

=/凡于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)連接0D,

:比切。。于點(diǎn)。，

0D1.BC,

二/肱=90°,

又390。，

J.OD//AC,

:.NODE=NF,

'：OE=OD,

：.^OED=^ODE,

：./.OED=AF,

：.AE^AF\

(2)'：OD//AC

...△83△物c,

?BOOD

"ABT

"：AF=5,AC=4,

即BE+2.5_2.5

BE+5=4'

26.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線/=數(shù)2-48妙38-2(aWO)與x軸交于4,8兩點(diǎn)

(點(diǎn)/在點(diǎn)8左側(cè)).

(1)當(dāng)拋物線過原點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)①求拋物線的對(duì)稱軸；

②求拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)^4^4時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)把原點(diǎn)坐標(biāo)代入尸蘇-4a;r+3a-2可計(jì)算出對(duì)應(yīng)a的值；

(2)①②把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式可得到拋物線的對(duì)稱軸和拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

(3)設(shè)0),B(n,0),利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，則必、〃為方程ax?-4a"3a

-2=0的兩根，利用判別式的意義解得a>0或a<-2,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到加〃

=4,儂=蹌2,然后根據(jù)完全平方公式利用〃-慶4得到(研加2-4^16,所以

a

42-4?蹌2wi6,接著解關(guān)于a的不等式，最后確定a的范圍.

a

【解答】解：(1)把(0,0)代入尸@--42戶32-2得32-2=0,解得a=2；

3

(2)①尸a(jr-2)2-a-2,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2；

②拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-a-2；

(3)設(shè)4(%0),B(n,0),

?：。、〃為方程蘇-4a^+3a-2=0的兩根，

A△=16a2-4a(3a-2)>0,解得a>0或aV-2,

:.mn=4,

a

而n-辰：4,

(.n-m)2<16,即(研n)2-42zzn^l6,

.,,42-4?^Z^^i6,

a

即3a-22o,解得a22或a<0.

a3

二a的范圍為a<-2或a22.

3

27.在正方形的?外側(cè)作直線仍點(diǎn)夕關(guān)于直線臚的對(duì)稱點(diǎn)為￡,連接豳DE,其中龐

(2)若/9=20。，求/4戶的度數(shù)；

(3)如圖2,若45°VNB奶<90°,用等式表示線段曲FE,網(wǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【分析】(1)根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；

(2)利用對(duì)稱的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊進(jìn)而得出答案；

(3)由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：EF=BF,AE=AB=AD,NABXNAEXNADF,進(jìn)而利用勾

股定理得出答案.

【解答】解：(1)如圖1所示：

(2)如圖2,連接留

則/摩=/序￡=20°,AE=AB=AD,

?.?四邊形被力是正方形，

.?.N9=90°,

.,./初三/班-20°,

.*.Z￡4Z?=130o,

.?./赤180°-130°=25。；

2

(3)如圖3,連接版BF、BD,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：EXBF,AE^AB^AD,

NABF=Z.AEF=NADF,

:.NBFgNBAD=9Q°,

:.B^+F1}=B6,

:.EF+Fl}=2慮.

28.我們規(guī)定：平面內(nèi)點(diǎn)4到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最小

距離d,點(diǎn)/到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最大值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最大距離〃定義

點(diǎn)A到圖形G的距離跨度為R=D-d.

yy

C圖1圖2圖3

(D①如圖1,在平面直角坐標(biāo)系x如中，圖形G為以。為圓心，2為半徑的圓，直接

寫出以下各點(diǎn)到圖形G的距離跨度：

A(1,0)的距離跨度2；

5(-1,返)的距離跨度2；

22

C(-3,-2)的距離跨度4；

②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是

圓.

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系x%中，圖形G為以。(-1,0)為圓心，2為半徑的

圓，直線尸左(x-1)上存在到G的距離跨度為2的點(diǎn)，求A的取值范圍.

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系x分中，射線Oft尸返x(xM),。￡是以3為半徑

3

的圓，且圓心片在x軸上運(yùn)動(dòng)，若射線8上存在點(diǎn)到。6的距離跨度為2,直接寫出圓

心人的橫坐標(biāo)八的取值范圍-1WXW2.

【分析】(1)①先根據(jù)跨度的定義先確定出點(diǎn)到圓的最小距離〃和最大距離D,即可得

出跨度；

②分點(diǎn)在圓內(nèi)和圓外兩種情況同①的方法計(jì)算，判定得出結(jié)論；

(2)先判斷出存在的點(diǎn)P必在圓。內(nèi)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)尸到圓心0的距離的2

倍是點(diǎn)P到圓的距離跨度，建立方程，由于存在距離跨度是2的點(diǎn)，