吉林省長春市慶陽中心學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

吉林省長春市慶陽中心學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x∈R，則“x=1”是“復(fù)數(shù)z=（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數(shù)”的(

) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：常規(guī)題型．分析：由于復(fù)數(shù)z=（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數(shù)，則其實(shí)部為0，虛部不為0，故可得到x的值，再與“x=1”比較范圍大小即可．解答： 解：由于復(fù)數(shù)z=（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數(shù)，則，解得x=1，故“x=1”是“復(fù)數(shù)z=（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數(shù)”的充要條件．故答案為C．點(diǎn)評：本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以先判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．2.等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為（

）

參考答案：C3.在等差數(shù)列中，有，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（

）A．

24

B．

39

C．

52

D．

104-參考答案：C4.已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（

）.A.

B.C.

D.參考答案：答案：D5.已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D） 參考答案：D【命題意圖】本小題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分段函數(shù)的圖象、復(fù)合函數(shù)的圖象以及零點(diǎn)問題等知識(shí)點(diǎn)；考查學(xué)生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合、函數(shù)與方程思想；考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等.【試題簡析】解法一：當(dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以，①當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)，故在沒有零點(diǎn)，從而，所以；②當(dāng)或時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)，故在有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)不合題意；③當(dāng)時(shí)，在有沒有零點(diǎn)，故在有兩個(gè)零點(diǎn)，從而.綜上可得或.故選D.解法二：當(dāng)時(shí)，，，①當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，故在沒有零點(diǎn)，所以；②當(dāng)或時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，不合題意；③當(dāng)時(shí)，在有沒有零點(diǎn)，此時(shí)在上必有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，要使在上必有兩個(gè)零點(diǎn)，只需滿足.令，則，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增.又，故即，解得.綜上可得或.故選D.【錯(cuò)選原因】錯(cuò)選A：只會(huì)做二次函數(shù)部分，無視另一種情況，即左右各有一個(gè)零點(diǎn).

錯(cuò)選B：用特殊值或代入，發(fā)現(xiàn)不成立，故排除了其他三個(gè)選項(xiàng)得到；

錯(cuò)選C：可能根本沒去做，綜合了A和B，于是選C.6.設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為（

）A． B．

C．

D．參考答案：C7.已知函數(shù)f(x)滿足：，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x?2x的部分圖象如下，但順序被打亂了，則按照從左到右將圖象對應(yīng)的函數(shù)序號排列正確的一組是（）A．①②③④ B．②①③④ C．③①④② D．①④②③參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的圖象對應(yīng)來確定函數(shù)與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，對函數(shù)的解析式研究發(fā)現(xiàn)，四個(gè)函數(shù)中有一個(gè)是偶函數(shù)，有兩個(gè)是奇函數(shù)，還有一個(gè)是指數(shù)型遞增較快的函數(shù)，由這些特征接合圖象上的某些特殊點(diǎn)判斷即可．【解答】解：研究發(fā)現(xiàn)①是一個(gè)偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故它對應(yīng)第一個(gè)圖象②③都是奇函數(shù)，但②在y軸的右側(cè)圖象在x軸上方與下方都存在，而③在y軸右側(cè)圖象只存在于x軸上方，故②對應(yīng)第三個(gè)圖象，③對應(yīng)第四個(gè)圖象，④與第二個(gè)圖象對應(yīng)，易判斷．故按照從左到右與圖象對應(yīng)的函數(shù)序號①④②③故選：D．【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變化的特點(diǎn)，解決此類問題有借助兩個(gè)方面的知識(shí)進(jìn)行研究，一是函數(shù)的性質(zhì)，二是函數(shù)值在某些點(diǎn)的符號即圖象上某些特殊點(diǎn)在坐標(biāo)系中的確切位置．9.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的S=(

)。

(A)22

(B)46(C)94

(D)190參考答案：C10.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E、F為CD上兩點(diǎn)，且EF的長為定值，則下面四個(gè)值中不是定值的是（）A.點(diǎn)到平面的距離B.直線與平面所成的角C.三棱錐的體積D.△的面積參考答案：B試題分析：將平面延展到平面如下圖所示，由圖可知，到平面的距離為定值.由于四邊形為矩形，故三角形的面積為定值，進(jìn)而三棱錐的體積為定值.故A，C，D選項(xiàng)為真命題，B為假命題.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓O的半徑為3，從圓O外一點(diǎn)A引切線AD和割線ABC，圓心O到AC的距離為2，AB=3，則切線AD的長為．參考答案：考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)定理的證明．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由已知中圓O的半徑為3，圓心O到AC的距離為2，由半徑長、弦心距、半弦長構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易求出BC的長，進(jìn)而求出AC長，由切割線定理，得到切線AD的長．解答：解：∵圓O的半徑為3，圓心O到AC的距離為2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD為圓O的切線ABC為圓O的割線由切割線定理得：AD2=AB?AC=3×5=15∴AD=點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是弦長公式，切割線定理，其中根據(jù)半徑長、弦心距、半弦長構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出BC的長，是解答本題的關(guān)鍵．12.已知下列命題：

①已知表示兩個(gè)不同的平面為平面內(nèi)的一條直線，則“”是的充要條件；②命題“”的否定是“”；③在上是減函數(shù)；④同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則兩枚硬幣一枚為正面向上、一枚為反面向上的概率為；⑤在△ABC中，若，則A等于30o.

其中真命題的是

.（寫出所有真命題的序號）參考答案：13.函數(shù)的定義域是

參考答案：略14.若變量x、y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足約束條件的可行域，并求出各角點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y的最大值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由圖可知，當(dāng)x=1，y=﹣1時(shí)，z=x﹣2y取最大值3故答案為：315.給出右面的程序框圖，則輸出的結(jié)果為

.參考答案：416.已知正方形ABCD，AB=2，若將沿正方形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，則在翻折的過程中，四面體的體積的最大值是____.參考答案：略17.已知雙曲線的離心率為3，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則此雙曲線的焦距等于

．參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足.（1）證明:數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：（1）∵，∴，∴是等差數(shù)列，∴，即；（2）∵，∴，則，兩式相減得，∴.19.（本小題滿分13分）已知函數(shù)函數(shù)的最小值為.(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①；②當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)椋咳舸嬖?，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：解：(Ⅰ)由知令記①②③(2)當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，在上為減函數(shù)，所以在上的值域?yàn)?由題意，則有，兩式相減得，又，所以，這與矛盾，故不存在滿足題中條件的的值.

略20.（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列滿足：，，．（1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）已知是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且，.求的通項(xiàng)公式，并證明：．參考答案：（1）因?yàn)?，又，所以，因此是首?xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

……………2分所以，.

……………6分（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，

所以，即，故.

……………8分由此得，.…………10分所以，

……………12分.因此所證不等式成立.

……………14分21.為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間利用問題，某校從2014-2015學(xué)年高二年級100名學(xué)生（其中走讀生450名，住宿生550名）中，采用分層抽樣的方法抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到頻率布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人．（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

利用時(shí)間充分利用時(shí)間不充分合計(jì)走讀生301545住校生451055合計(jì)7525100據(jù)此資料，你是否認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住校有關(guān)？（3）若在第①組、第②組共抽出2人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，求抽出的2人中第①組第②組各有1人的概率．參考答案：考點(diǎn)：頻率分布直方圖；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）由分層抽樣及頻率分布直方圖的特點(diǎn)即可求得結(jié)果；（2）由分布直方圖可完成表格，再將數(shù)據(jù)帶入給定的公式即可；（3）先列出基本事件總數(shù)的情況，再挑出滿足條件的情況即可．解答： 解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），由圖可知：P1=，P2=，∴學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的頻率為P1+P2=，由題意：n×=5∴n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，∴第④組的高度為：h=，頻率分布直方圖如右圖（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“走讀生”有45人，利用時(shí)間不充分的有40人，從而2×2列聯(lián)表如下：

利用時(shí)間充分利用時(shí)間不充分總計(jì)走讀生301545住宿生451055總計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得

K2==≈3.030，因?yàn)?.030＜3.841，所以沒有理由認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)；（3）記第①組2人為A1、A2，第②組的3人為B1、B2、B2，則“從5人中抽取2人”所構(gòu)成的基本事件空間Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”，共10個(gè)基本事件；記“抽取2人中第①組、第②組各有1人”記作事件A，則事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、A2