山西省臨汾市第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省臨汾市第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”

的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：C2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為A. B. C. D.參考答案：C【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，利用等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算得解．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，由于．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．

3.已知數(shù)列{an}滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則()A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由求出，得到，再求出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，兩式作差，可得，即，又?dāng)時(shí)，，即滿足，因此；所以；因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，所以，因此.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于常考題型.4.

已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,則等于(

)A．－

B．

C．

－

D．－或－參考答案：C5.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：直線與平面所成的角．專題：計(jì)算題．分析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用與平面AB1C1所的一個(gè)法向量的夾角，求出則BB1與平面AB1C1所成的角．解答： 解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與BC垂直的直線為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（﹣，﹣1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．設(shè)平面AB1C1所的一個(gè)法向量為=（x，y，z）則即，取z=1，則得=（，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1與平面AB1C1所成的角的正弦值為，∴BB1與平面AB1C1所成的角為故選A．點(diǎn)評：本題考查線面角的計(jì)算，利用了空間向量的方法．要注意相關(guān)點(diǎn)和向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確性，及轉(zhuǎn)化時(shí)角的相等或互余關(guān)系．6.2015年高中生技能大賽中三所學(xué)校分別有3名、2名、1名學(xué)生獲獎(jiǎng)，這6名學(xué)生要排成一排合影，則同校學(xué)生排在一起的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】把第一個(gè)及第二個(gè)學(xué)校的學(xué)生看做整體，求出同校學(xué)生排在一起的方法數(shù)，再求出三個(gè)學(xué)校的學(xué)生隨便排有多少種方法，由古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率．【解答】解：由已知把第一個(gè)及第二個(gè)學(xué)校的學(xué)生看做整體得同校學(xué)生排在一起共種方法，而三個(gè)學(xué)校的學(xué)生隨便排有種方法，由古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率：．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．7.已知x，y滿足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則a的值是（）A．4 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，由，解得即A（1，1），此時(shí)z=2×1+1=3，當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即B（a，a），此時(shí)z=2×a+a=3a，∵目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故選：D．8.點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上,，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積最大值為

A．

B．

C.

D．2參考答案：C9.設(shè)函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)b的最大值為A．

B．

C．1

D．e參考答案：B【分析】的幾何意義是函數(shù)上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方【詳解】的幾何意義是函數(shù)上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率為1，到直線的距離為，∴．故選：B

10.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B由，得，令，在坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可知交點(diǎn)為一個(gè)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是

.參考答案：12.已知n=（2x+1）dx，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn的最小值為．參考答案：﹣25【考點(diǎn)】定積分；數(shù)列的求和．【分析】由題意，先由微積分基本定理求出an再根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等號當(dāng)且僅當(dāng)n+1=，即n=5時(shí)成立，故bnSn的最小值為﹣25．故答案為：﹣2513.如圖（1），在等腰直角△ABC中，斜邊AB＝4，D為AB的中點(diǎn)，將△ACD沿CD折疊得到如圖（2）所示的三棱錐C﹣A'BD，若三棱錐C﹣A'BD的外接球的半徑為，則∠A'DB=_________.圖（1）

圖（2）

參考答案：【分析】根據(jù)題意，先找到球心的位置，再根據(jù)球的半徑是，以及已有的邊的長度和角度關(guān)系，分析即可解決．【詳解】解：球是三棱錐C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各頂點(diǎn)的距離相等，如圖．根據(jù)題意，CD⊥平面A'BD，取CD的中點(diǎn)E，A'B的中點(diǎn)G，連接CG，DG，因?yàn)锳'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B關(guān)于平面CDG對稱，在平面CDG內(nèi)，作線段CD的垂直平分線，則球心O在線段CD的垂直平分線上，設(shè)為圖中的O點(diǎn)位置，過O作直線CD的平行線，交平面A'BD于點(diǎn)F，則OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因?yàn)锳'F在平面A'BD內(nèi)，所以O(shè)F⊥A'F，即三角形A'OF為直角三角形，且斜邊OA'＝R，∴A'F2，所以，BF＝2，所以四邊形A'DBF為菱形，又知OD＝R，三角形ODE為直角三角形，∴OE2，∴三角形A'DF為等邊三角形，∴∠A'DF，故∠A'DB，故填：．【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球的問題，找到球心的位置是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．14.設(shè)m為實(shí)數(shù)，若，則m的取值范

圍是

。參考答案：15.若單位向量滿足，則向量的夾角的余弦值為．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】設(shè)向量，的夾角為θ，根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴，∵為單位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案為：．16.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是_________．參考答案：略17.已知一條拋物線的焦點(diǎn)是直線與x軸的交點(diǎn)，若拋物線與直線l交兩點(diǎn)A，B，且，則___________．參考答案：根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為與直線方程聯(lián)立方程組，化簡整理得，，進(jìn)一步整理，，另設(shè)，則有，則①，根據(jù)題意，直線l與x軸的焦點(diǎn)為，拋物線焦點(diǎn)為，即，，代入到①中，得，解得或（舍），即．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè).（1）當(dāng)取到極值，求的值；（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，在區(qū)間上有單調(diào)遞增的區(qū)間.參考答案：解：（1）由題意知且，由當(dāng)（2）要使即（i）當(dāng)（ii）當(dāng)，解得：（iii）當(dāng)此時(shí)只要解得：，綜上得：略19.每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學(xué)生（學(xué)生很多）的讀書情況，隨機(jī)抽取了男生，女生各20人組成的一個(gè)樣本，對他們的年閱讀量（單位：本）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分析得到了男生年閱讀量的頻數(shù)分布表和女生年閱讀量的頻率分布直方圖．男生年閱讀量的頻數(shù)分布表（年閱讀量均在區(qū)間內(nèi)）本/年[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）

頻數(shù)318422（Ⅰ）根據(jù)女生年閱讀量的頻率分布直方圖估計(jì)該校女生年閱讀量的中位數(shù)；（Ⅱ）若年不小于40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據(jù)上述樣本研究年閱讀量與性別的關(guān)系，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為閱讀豐富與性別有關(guān)；性別閱讀量豐富不豐富合計(jì)男

女

合計(jì)

（Ⅲ）在樣本中，從年閱讀量在的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人參加全市的征文比賽，記這2人中男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.0250.0100.005k05.0246.6357.879參考答案：【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出前三組頻率之和，即可根據(jù)女生的頻率分布直方圖估計(jì)該校女生年閱讀量的中位數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)得出2×2列聯(lián)表，求出K2，即可判斷是否有99%的把握認(rèn)為月底豐富與性別有關(guān)；（Ⅲ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）前三組頻率之和為：0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)中位數(shù)為a，由題可知：，解得a=38．∴該校女生年閱讀量的中位數(shù)約為38．（Ⅱ）性別

閱讀量豐富不豐富合計(jì)男41620女91120合計(jì)132740≈2.849＜6.635，∴沒有99%的把握認(rèn)為閱讀豐富與性別有關(guān)．（Ⅲ）年閱讀量在的學(xué)生中，男生2人，女生4人．由題意得ξ的可能取值為0，1，2.，，．所以的分布列為ξ012p．【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖，考查概率的計(jì)算，考查ξ的分布列和期望，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識的運(yùn)用，屬于中檔題．20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=，an=﹣2Sn?Sn﹣1（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求Sn和an．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差關(guān)系的確定．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式結(jié)合an=Sn﹣Sn﹣1可得，即可說明數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）由數(shù)列{}是等差數(shù)列求其通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到．然后由當(dāng)n≥2時(shí)，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2SnSn﹣1，①∴Sn（1+2Sn﹣1）=Sn﹣1，由上式知若Sn﹣1≠0，則Sn≠0．∵S1=a1≠0，由遞推關(guān)系知，∴由①式可得：當(dāng)n≥2時(shí)，．∴{}是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為2；（Ⅱ）解：∵，∴．當(dāng)n≥2時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，不適合上式，∴點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=3，若數(shù)列{Sn+1}是公比為4的等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=lg，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由于a1=3，數(shù)列{Sn+1}是公比為4的等比數(shù)列．可得Sn+1=4×4n﹣1，再利用當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出．（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得bn=lg=2n﹣7，由bn≤0，解得n即可得出．【解答】解：（1）∵a1=3，數(shù)列{Sn+1}是公比為4的等比數(shù)列．∴Sn+1=4×4n﹣1，∴．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1﹣（4n﹣1﹣1）=3×4n﹣1．當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．∴an=3?4n﹣1．（2）bn=lg==2n﹣7，由bn≤0，解得，∴當(dāng)n=3時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn取得最小值T3==﹣9．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)