2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)三角形中位線定理 知識(shí)講解

2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)三角形中位線定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理．2.掌握中點(diǎn)四邊形的形成規(guī)律.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.要點(diǎn)二、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.要點(diǎn)詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.【典型例題】類型一、三角形的中位線1、（2016?北京）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形中位線定理得MN=AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM=AC，由此即可證明．（2）首先證明∠BMN=90°，根據(jù)BN2=BM2+MN2即可解決問(wèn)題．【答案與解析】（1）證明：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵M(jìn)N∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【總結(jié)升華】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．舉一反三：【變式】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸正半軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），OB與AC交于點(diǎn)P，D、E、F、G分別是線段OP、AP、BP、CP的中點(diǎn)，則四邊形DEFG的周長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】5；解：∵四邊形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分別是線段OP、AP、BP、CP的中點(diǎn)，∴DE＝GF＝1.5；EF＝DG＝1．∴四邊形DEFG的周長(zhǎng)為（1.5＋1）×2＝5．2、如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，則四邊形ADEF的面積為．（2）求證：∠DHF=∠DEF．【思路點(diǎn)撥】（1）由三角形面積公式可知：△BDE、△EFC的面積都等于△ABC面積的四分之一，進(jìn)而可求出四邊形ADEF的面積．（2）首先證明四邊形ADEF是平行四邊形，進(jìn)而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中線性質(zhì)得線段相等，從而得角等，最終可得到∠DAF=∠DEF，即可證出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，∴△BDE、△EFC的面積都等于△ABC面積的，∴四邊形ADEF的面積=40﹣20=20，故答案為：20；（2）證明：∵D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵點(diǎn)D、點(diǎn)F是斜邊AB、AC中點(diǎn)，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，即∠DAF=∠DHF，∴∠DEF=∠DHF．【總結(jié)升華】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，解決題目的關(guān)鍵是證明∠DHF=∠DAF與∠DAF=∠DEF．3、如圖所示，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】本題中所求線段MD與已知線段AB、AC之間沒(méi)有什么聯(lián)系，但由M為BC的中點(diǎn)聯(lián)想到中位線，另有AD為角平分線和垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”構(gòu)造等腰三角形ABN，D為BN的中點(diǎn)，DM即為中位線，不難求出MD的長(zhǎng)度．【答案與解析】解：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)N．∵AD為∠BAC的角平分線，且AD⊥BN，∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，在△ABD和△AND中，∴△ABD≌△AND(ASA)∴AN＝AB＝12，BD＝DN．∵AC＝18，∴NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵D、M分別為BN、BC的中點(diǎn)，∴DM＝CN＝＝3．【總結(jié)升華】當(dāng)條件中含有中點(diǎn)的時(shí)候，可以將它與等腰三角形的“三線合一”、三角形的中線、中位線等聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行聯(lián)想，必要時(shí)添加輔助線，構(gòu)造中位線等圖形．舉一反三：【變式】如圖所示，四邊形ABCD中，Q是CD上的一定點(diǎn)，P是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是PA、PQ兩邊的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度將()．A．先變大，后變小B．保持不變C．先變小，后變大D．無(wú)法確定【答案】B；解：連接AQ．∵E、F分別是PA、PQ兩邊的中點(diǎn)，∴EF是△PAQ的中位線，即AQ＝2EF．∵Q是CD上的一定點(diǎn)，則AQ的長(zhǎng)度保持不變，∴線段EF的長(zhǎng)度將保持不變．4、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且CD=CA，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；（2）如圖2，若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變，EF與CD交于點(diǎn)H，圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用中位線的性質(zhì)，找出對(duì)應(yīng)相等的角；（2）根據(jù)題意易知滿足條件的四邊形即為第一題的四邊形．【答案與解析】解：（1）取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)∴EH為△ABC的中位線∴EH∥AB，且EH=AB同理FH∥DC，且FH=DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，F(xiàn)H∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四邊形AGEC是鄰角四邊形（2）存在等鄰角四邊形，為四邊形AGHC．【總結(jié)升華】本題考查了三角形的中位線以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．本題較靈活，要求學(xué)生能夠把題中的條件轉(zhuǎn)化成角，從而找出相等的角來(lái)解題．舉一反三：【變式】如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是（）A．4B．3C．2D．1【答案】D；解：連接DE并延長(zhǎng)交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中點(diǎn)，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中點(diǎn)，∴EF是△DHB的中位線，∴EF=BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．類型二、中點(diǎn)四邊形 5、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四邊形EFGH的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進(jìn)行正方形的判斷．（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長(zhǎng)，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出＝，也即得出了正方形EHGF的面積．【答案與解析】證明：（1）在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，故可得：EF＝AC，同理FG＝BD，GH＝AC，HE＝BD，在梯形ABCD中，AB＝DC，故AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形．設(shè)AC與EH交于點(diǎn)M，在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四邊形EFGH是正方形．（2）連接EG．在梯形ABCD中，∵E、G分別是AB、DC的中點(diǎn)，∴EG＝（AD＋BC）＝3．在Rt△EHG中，∵，EH＝GH，∴＝，即四邊形EFGH的面積為．【總結(jié)升華】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、梯形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理得出EH＝HG＝GF＝FE，這是本題的突破口．舉一反三：【變式】如圖，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）連接BD和AC，當(dāng)BD、AC滿足何條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【答案】解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形．理由：連接AC，∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，且EF＝AC，同理，HG∥AC，且HG＝AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)BD＝AC，且BD⊥AC時(shí)，EFGH是正方形．理由：連接AC，BD，∵E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四邊形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四邊形EFGH是正方形．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.某花木場(chǎng)有一塊等腰梯形ABCD的空地，其各邊的中點(diǎn)分別是E、F、G、H測(cè)量得對(duì)角線AC＝10米，現(xiàn)想用籬笆圍成四邊形EFGH場(chǎng)地，則需籬笆總長(zhǎng)度是（）A.40米B.30米C.20米D.10米2.如圖，點(diǎn)D、E、F分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，若△DEF的周長(zhǎng)為10，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．5B．10C．20D．403.（2016?河南）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．34．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）A．7 B．9 C．10 D．115.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，D，E為BC上的點(diǎn)，連接DN、EM，若AB＝5，BC＝8，DE＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．1B．1.5C．2D．36.如圖，點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，定直線l∥AB，P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，對(duì)下列各值：①線段MN的長(zhǎng)；②△PAB的周長(zhǎng)；③△PMN的面積；④直線MN，AB之間的距離；⑤∠APB的大小．其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤二.填空題7.順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是_________________.8.如圖,E、F分別是ABCD的兩邊AB、CD的中點(diǎn),AF交DE于P,BF交CE于Q,則PQ與AB的關(guān)系是.9.如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為7和9，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是______.10.如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接DE，則△BDE的周長(zhǎng)是________.11.如圖，∠ACB=9O°，D為AB中點(diǎn)，連接DC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=CD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BF=10，則AB的長(zhǎng)為．12.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D．下列三個(gè)結(jié)論：①∠BOC＝90°＋∠A；②設(shè)OD＝，AE＋AF＝，則；③EF不能成為△ABC的中位線．其中正確的結(jié)論是_______.三.解答題13.（2016?淄博）如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)為M，ME∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：AE=AF；（2）求證：BE=（AB+AC）．14.已知：在△ABC中，BC＞AC，動(dòng)點(diǎn)D繞△ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD＝BC，連接DC．過(guò)AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論∠AMF＝∠BNE（不需證明）；（2）當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，∠AMF與∠BNE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)分別寫出猜想，并任選一種情況證明．15.在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥FC，交直線AB于點(diǎn)H．判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2，若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結(jié)論，不必證明．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為5米的菱形.2.【答案】C；【解析】根據(jù)中位線定理可得BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，繼而結(jié)合△DEF的周長(zhǎng)為10，可得出△ABC的周長(zhǎng)．3.【答案】D．【解析】∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，∴DE是△ACB的中位線，∴DE=BC=3．故選：D．4.【答案】D；【解析】EF＝HG＝BC，EH＝FG＝AD，所以四邊形EFGH是平行四邊形，由勾股定理BC＝5，所以周長(zhǎng)等于3＋3＋5＝11.5.【答案】B；【解析】連接MN，作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，∴BF＝CF＝BC＝×8＝4，在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，∵M(jìn)、N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴MN是中位線，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，∴NM＝BC＝DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中點(diǎn)，∴陰影三角形的高是AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴＝4×0.75÷2＝1.5．6.【答案】B；【解析】解：∵點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，∴MN是△PAB的中位線，∴MN=AB，即線段MN的長(zhǎng)度不變，故①錯(cuò)誤；PA、PB的長(zhǎng)度隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，所以，△PAB的周長(zhǎng)會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，故②正確；∵M(jìn)N的長(zhǎng)度不變，點(diǎn)P到MN的距離等于l與AB的距離的一半，∴△PMN的面積不變，故③錯(cuò)誤；直線MN，AB之間的距離不隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，故④錯(cuò)誤；∠APB的大小點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，故⑤正確．綜上所述，會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是②⑤．故選：B．二.填空題7.【答案】菱形；8.【答案】PQ∥AB，PQ＝AB；【解析】P，Q分別是AF，BF的中點(diǎn).9.【答案】16；【解析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出HGAC，EFAC，HEDB，GFBD，進(jìn)而得出HE＝GF＝BD，HG＝FE＝AC，即可得出答案．10.【答案】10；【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝6，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝4，又∵D是AB中點(diǎn)，∴BD＝AB＝3，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC＝3，∴△BDE的周長(zhǎng)為BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．11.【答案】8；【解析】∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位線．∵BF=10，∴DE=BF=5．∵CE=CD，∴CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．12.【答案】①，③；【解析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解；②根據(jù)△AEF的面積＝△AOE的面積＋△AOF的面積求解；③若此三角形為等邊三角形，則EF即為中位線．三.解答題13.【解析】證明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延長(zhǎng)線于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．14.【解析】解：圖1：∠AMF＝∠ENB；圖2：∠AMF＝∠ENB；圖3：∠AMF＋∠ENB＝180°．證明：如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF．∵F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠ENB＝∠AMF．如圖3：取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF．∵F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180°．15.【解析】解：（1）FH與FC的數(shù)量關(guān)系是：FH＝FC．證明如下：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，由題意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，∴DG∥CB，∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，且DC＝AC，∴DG為△ABC的中位線，∴DG＝BC．∵AC＝BC，∴DC＝DG，∴DC－DE＝DG－DF，即EC＝FG．∵∠EDF＝90°，F(xiàn)H⊥FC，∴∠1＋∠CFD＝90°，∠2＋∠CFD＝90°，∴∠1＝∠2．∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DGA＝45°，∴∠CEF＝∠FGH＝135°，∴△CEF≌△FGH，∴CF＝FH．（2）FH與FC仍然相等．?dāng)?shù)據(jù)的收集與整理——知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解普查、抽樣調(diào)查、總體、個(gè)體、樣本、樣本容量等相關(guān)概念，并能選擇合適的調(diào)查方法，解決有關(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；2.在具體的問(wèn)題情境中，領(lǐng)會(huì)普查和抽樣調(diào)查各自的優(yōu)缺點(diǎn)；3.學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷并收集數(shù)據(jù)；4.能把收集到的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分組整理，并能繪制相關(guān)的統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，估計(jì)總體的相關(guān)特性；5.知道三種常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖以及它們的優(yōu)缺點(diǎn).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、普查與抽樣調(diào)查1.普查與抽樣調(diào)查（1）普查為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)象所做的調(diào)查叫做普查．要點(diǎn)詮釋：普查又叫“全面調(diào)查”.它要求對(duì)考查范圍內(nèi)的所有個(gè)體一個(gè)不漏地進(jìn)行準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì).（2）抽樣調(diào)查為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象所做的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查．要點(diǎn)詮釋：①抽樣調(diào)查是對(duì)總體中的部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，以樣本來(lái)估計(jì)總體的情況.②抽樣調(diào)查的注意點(diǎn)：1.隨機(jī)取樣；2.取樣具有代表性；3.若樣本由具有明顯不同特征的部分組成，應(yīng)按比例從各部分抽樣.（3）普查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)普查通過(guò)調(diào)查總體中的每個(gè)個(gè)體來(lái)收集數(shù)據(jù)，調(diào)查的結(jié)果準(zhǔn)確，但往往花費(fèi)多，工作量大；有時(shí)受客觀條件的限制，無(wú)法對(duì)所有個(gè)體進(jìn)行普查；有時(shí)調(diào)查具有破壞性(例如：測(cè)試一批燈泡的使用壽命或炮彈的殺傷半徑等)，不能進(jìn)行普查．抽樣調(diào)查通過(guò)調(diào)查樣本中的每個(gè)個(gè)體來(lái)收集數(shù)據(jù)，調(diào)查范圍小，花費(fèi)較少，工作量較小，便于進(jìn)行，但樣本的抽取是否得當(dāng)，直接關(guān)系到對(duì)總體的估計(jì)．為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要注意樣本的代表性和廣泛性.要點(diǎn)詮釋：在調(diào)查實(shí)際生活中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要靈活處理，既要考慮問(wèn)題本身的需要，又要考慮實(shí)現(xiàn)的可能性和所付出代價(jià)的大小.2.調(diào)查的相關(guān)概念總體：我們把所考察對(duì)象的全體叫做總體.個(gè)體：把組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體.樣本：從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本.樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量（不帶單位）.要點(diǎn)詮釋：①“調(diào)查對(duì)象的全體”一般是指調(diào)查對(duì)象的某種數(shù)量指標(biāo)的全體，如對(duì)于一個(gè)班級(jí)，如果考察的是這個(gè)班學(xué)生的身高，那么總體是指這個(gè)班學(xué)生身高的全體，不能錯(cuò)誤地理解為學(xué)生的全體是總體．②樣本是總體的一部分，一個(gè)總體中可以有許多樣本，樣本能夠在一定程度上反映總體.③樣本容量是一個(gè)數(shù)字，沒(méi)有單位．一般地，樣本容量越大，通過(guò)樣本對(duì)總體的估計(jì)越準(zhǔn)確.在實(shí)際研究中，要根據(jù)具體情況確定樣本容量的大小．例如：“從5萬(wàn)名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析”，樣本是“2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)”，而樣本容量是“2000”，不能將其誤解為“2000名考生”或“2000名”．要點(diǎn)二、數(shù)據(jù)的收集與整理1.調(diào)查問(wèn)卷數(shù)據(jù)收集可以通過(guò)直接觀察、測(cè)量、調(diào)查和實(shí)驗(yàn)等手段得到，也可以通過(guò)查閱文獻(xiàn)資料、使用互聯(lián)網(wǎng)等間接途徑得到.當(dāng)采用調(diào)查問(wèn)卷收集數(shù)據(jù)時(shí)，往往需要事先設(shè)計(jì)記錄數(shù)據(jù)的表格，并用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ涗?“劃記法”是記錄數(shù)據(jù)的常用方法，它采用畫“正”字的辦法，“正”字的每一劃（筆畫）代表一個(gè)或一次.2.統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)表：利用表格將要統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)填入相應(yīng)的表格內(nèi)，表格統(tǒng)計(jì)法可以很好地整理數(shù)據(jù)；統(tǒng)計(jì)圖：利用“條形圖”、“扇形圖”、“折線圖”描述數(shù)據(jù)，這樣做的最大優(yōu)點(diǎn)是將表格中的數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來(lái)的信息直觀化．3.三種統(tǒng)計(jì)圖（1）條形統(tǒng)計(jì)圖：用寬度相同的“條形”的高度描述數(shù)據(jù)的變化情況；條形統(tǒng)計(jì)圖很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較，但不能清楚地反映各部分占總體的百分比．（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖：用整個(gè)圓表示統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的總體，每一統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目分別用圓中不同的扇形來(lái)表示，扇形面積占圓面積的百分比與各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目占總體的百分比相同.從扇形圖上可清楚地看出各部分在總體中所占的比例，但不能直接表示出各個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)據(jù)．在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，扇形圓心角的度數(shù)=該統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目占總體的百分比×360°.（3）折線統(tǒng)計(jì)圖：用折線描述數(shù)據(jù)的變化過(guò)程和趨勢(shì)；折線圖不但可以表示出數(shù)量的多少，而且能夠清楚地反映出數(shù)據(jù)的變化走向，但不能清楚地反映數(shù)據(jù)的分布情況．要點(diǎn)詮釋：①繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟：①畫一個(gè)圓.②按各組成部分所占的比例算出各個(gè)扇形的圓心角的度數(shù).③根據(jù)算得的各圓心角的度數(shù)，畫出各個(gè)扇形，并注明相應(yīng)的百分比.各組成部分的名稱可以注在圖上，也可以用圖例表明.②在實(shí)際生活中，三種統(tǒng)計(jì)圖往往結(jié)合在一起使用，以便更好地反應(yīng)實(shí)際情況.【典型例題】類型一、普查與抽樣調(diào)查1.下列調(diào)查，適合用普查方式的是().A．檢查一批零件的合格率B．了解全校七年級(jí)學(xué)生平均每周上網(wǎng)的次數(shù)C．了解某旅游景點(diǎn)“十·一”黃金周期間進(jìn)入該景點(diǎn)的人數(shù)D．了解我校某班學(xué)生的視力情況【思路點(diǎn)撥】普查一般適用于小規(guī)模調(diào)查.【答案】D.【解析】解：顯然，選項(xiàng)A、B、C的調(diào)查范圍非常廣，而且要求調(diào)查的準(zhǔn)確程度也不是非常高，所以不宜采用普查的方式．而選項(xiàng)D，了解我校某班學(xué)生的視力情況，調(diào)查對(duì)象的數(shù)目不多，適合用普查方式．故選D．【總結(jié)升華】普查得到的信息較為全面、可靠，一般在調(diào)查對(duì)象較少時(shí)采用，當(dāng)個(gè)體數(shù)目多，或受客觀條件限制，或調(diào)查具有破壞性時(shí)不允許普查．舉一反三：【變式】下列統(tǒng)計(jì)中，能用普查方式的是（）A、某廠生產(chǎn)的電燈使用壽命B、全國(guó)初中生的視力情況C、某校七年級(jí)學(xué)生的身高情況D、“娃哈哈”產(chǎn)品的合格率【答案】C.2.下列調(diào)查適合做抽樣調(diào)查的是().A．了解電視臺(tái)某欄目的收視率B．了解某甲型H1N1確診病人同機(jī)乘客的健康狀況C．了解某班每個(gè)學(xué)生家庭電腦的數(shù)量D．“神七”載人飛船發(fā)射前對(duì)重要零部件的檢查【答案】A.【解析】解：要了解電視臺(tái)某欄目的收視率，顯然應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式．而對(duì)于B、D選項(xiàng)，因?yàn)槁┑裘恳粋€(gè)個(gè)體攜帶H1N1病毒者或者“神七”載人飛船有一個(gè)小零件不合格，都會(huì)出現(xiàn)意想不到的后果，因此需要采用普查的方式．了解某班每個(gè)學(xué)生家庭電腦的數(shù)量，范圍小，工作量小，一般也采用普查的方式．故選A.【總結(jié)升華】①在具體的問(wèn)題情境中，要根據(jù)需要選擇用普查還是抽樣調(diào)查的方式進(jìn)行調(diào)查；抽樣調(diào)查得到的信息的準(zhǔn)確度受調(diào)查對(duì)象(即樣本)的數(shù)量和特點(diǎn)影響，故抽樣時(shí)必須注意調(diào)查對(duì)象是否具有代表性和廣泛性．舉一反三：【變式】在以下的幾個(gè)調(diào)查問(wèn)題中：①市場(chǎng)上某種食品的某種添加劑的含量是否符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；②檢測(cè)某地區(qū)空氣質(zhì)量；③調(diào)查全市中學(xué)生一天的學(xué)習(xí)時(shí)間；④檢測(cè)一批燈泡的使用壽命．你認(rèn)為適合抽樣調(diào)查的有．（選填序號(hào)）【答案】①②③④．解：①市場(chǎng)上某種食品的某種添加劑的含量是否符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)適合抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)正確；②檢測(cè)某地區(qū)空氣質(zhì)量的調(diào)查不必全面調(diào)查，大概知道就可以了，適合抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)正確；③調(diào)查全市中學(xué)生一天的學(xué)習(xí)時(shí)間因?yàn)槠詹楣ぷ髁看?，適合抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)正確；④檢測(cè)一批燈泡的使用壽命的調(diào)查，如果普查，所有燈泡都報(bào)廢，這樣就失去了實(shí)際意義，故本選項(xiàng)正確，故答案為：①②③④．3.某次考試有3000名學(xué)生參加，為了了解3000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取了1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，有下述3種說(shuō)法：①1000名考生是總體的一個(gè)樣本；②3000名考生是總體；③1000名考生數(shù)學(xué)平均成績(jī)可估計(jì)總體數(shù)學(xué)平均成績(jī)；④每個(gè)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是個(gè)體．其中正確的說(shuō)法有().A．0種B．1種C．2種D．3種【思路點(diǎn)撥】總體是3000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，個(gè)體是這次考試中每名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，樣本是抽取的1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，樣本容量是1000.【答案】C.【解析】解：①、②兩個(gè)說(shuō)法指的是考生而不是考生的成績(jī)，故①、②兩個(gè)說(shuō)法不對(duì)，④指的是考生的成績(jī)，故④對(duì)．③用樣本的特征估計(jì)總體的特征，是抽樣調(diào)查的核心，故③對(duì)．【總結(jié)升華】總體、樣本的考察對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大小，在本題中，總體、樣本都是指考生的成績(jī)，而不是考生．舉一反三：【變式】為了了解某市2萬(wàn)名學(xué)生參加中考的情況，教育部門從中抽取了600名考生的成績(jī)進(jìn)行分析，這個(gè)問(wèn)題中（）.A.2萬(wàn)考生是總體；B.每名考生是個(gè)體；C.個(gè)體是每名考生的成績(jī)；D.600名考生是總體的一個(gè)樣本.【答案】C.類型二、數(shù)據(jù)的收集與整理4.（2015?營(yíng)口）霧霾天氣嚴(yán)重影響市民的生活質(zhì)量．在今年寒假期間，某校八年級(jí)一班的綜合實(shí)踐小組同學(xué)對(duì)“霧霾天氣的主要成因”隨機(jī)調(diào)查了所在城市部分市民．并對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了整理．繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．觀察分析并回答下列問(wèn)題．（1）本次被調(diào)查的市民共有多少人？（2）分別補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算圖2中區(qū)域B所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；（3）若該市有100萬(wàn)人口，請(qǐng)估計(jì)持有A、B兩組主要成因的市民有多少人？組別霧霾天氣的主要成因百分比A工業(yè)污染45%B汽車尾氣排放mC爐煙氣排放15%D其他（濫砍濫伐等）n【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)條形圖和扇形圖信息，得到A組人數(shù)和所占百分比，求出調(diào)查的市民的人數(shù)；（2）根據(jù)B組人數(shù)求出B組百分比，得到D組百分比，根據(jù)扇形圓心角的度數(shù)=百分比×360°求出扇形圓心角的度數(shù)，根據(jù)所求信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖；（3）根據(jù)持有A、B兩組主要成因的市民百分比之和求出答案．【答案與解析】解：（1）從條形圖和扇形圖可知，A組人數(shù)為90人，占45%，∴本次被調(diào)查的市民共有：90÷45%=200人；（2）60÷200=30%，30%×360°=108°，區(qū)域B所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：108°，1﹣45%﹣30%﹣15%=10%，D組人數(shù)為：200×10%=20人，（3）100萬(wàn)×（45%+30%）=75萬(wàn)，∴若該市有100萬(wàn)人口，持有A、B兩組主要成因的市民有75萬(wàn)人．【總結(jié)升華】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，正確獲取圖中信息并準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5.（2016?河南模擬）學(xué)校準(zhǔn)備在各班設(shè)立圖書角以豐富同學(xué)們的課余文化生活，為了更合理的搭配各類書籍，學(xué)校團(tuán)委以“我最喜愛(ài)的書籍”為主題，對(duì)學(xué)生最喜愛(ài)的一種書籍類型進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，收集整理數(shù)據(jù)后，繪制出以下兩幅未完成的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖1和圖2提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）在這次抽樣調(diào)查中，一共調(diào)查了多少名學(xué)生？（2）請(qǐng)把折線統(tǒng)計(jì)圖（圖1）補(bǔ)充完整；（3）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）中，體育部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)；（4）如果這所中學(xué)共有學(xué)生1800名，那么請(qǐng)你估計(jì)最喜愛(ài)科普類書籍的學(xué)生人數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）用文學(xué)的人數(shù)除以所占的百分比計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)所占的百分比求出藝術(shù)和其它的人數(shù)，然后補(bǔ)全折線圖即可；（3）用體育所占的百分比乘以360°，計(jì)算即可得解；（4）用總?cè)藬?shù)乘以科普所占的百分比，計(jì)算即可得解．【答案與解析】解：（1）90÷30%=300（名），故一共調(diào)查了300名學(xué)生；（2）藝術(shù)的人數(shù)：300×20%=60名，其它的人數(shù)：300×10%=30名；補(bǔ)全折線圖如圖；（3）體育部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：×360°=48°；（4）1800×=480（名）．答：1800名學(xué)生中估計(jì)最喜愛(ài)科普類書籍的學(xué)生人數(shù)為480．【總結(jié)升華】本題考查的是折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，折線統(tǒng)計(jì)圖表示的是事物的變化情況，扇形統(tǒng)計(jì)圖中每部分占總部分的百分比等于該部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比．?dāng)?shù)據(jù)的收集與整理——鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.某?；@球隊(duì)員的身高（單位：cm）如下：167，168，167，164，168，168，163，168，167，160，獲得這組數(shù)據(jù)所用的方法是（）A．問(wèn)卷調(diào)查B．查閱資料C．實(shí)地調(diào)查D．實(shí)驗(yàn)2.（2016春?秦皇島期末）為了了解全校七年級(jí)300名學(xué)生的視力情況，駱老師從中抽查了50名學(xué)生的視力情況．針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，下面說(shuō)法正確的是（）A．300名學(xué)生是總體B．每名學(xué)生是個(gè)體C．50名學(xué)生是所抽取的一個(gè)樣本D．這個(gè)樣本容量是503.如圖是我國(guó)歷屆奧運(yùn)會(huì)獲獎(jiǎng)牌總數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖．那么不正確的結(jié)論是（）A．獎(jiǎng)牌總數(shù)最多的是第28屆B．第26屆獎(jiǎng)牌總數(shù)為50枚C．獎(jiǎng)牌總數(shù)超過(guò)30枚的共有5屆D．獎(jiǎng)牌總數(shù)逐屆增加4.（2015?通遼）下列調(diào)查適合抽樣調(diào)查的是（）A．審核書稿中的錯(cuò)別字B．對(duì)某社區(qū)的衛(wèi)生死角進(jìn)行調(diào)查C．對(duì)八名同學(xué)的身高情況進(jìn)行調(diào)查D．對(duì)中學(xué)生目前的睡眠情況進(jìn)行調(diào)查5.某紡織廠從10萬(wàn)件同類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件進(jìn)行質(zhì)檢，發(fā)現(xiàn)其中有5件不合格，那么估計(jì)該廠這10萬(wàn)件產(chǎn)品中合格品約為()．A．9.5萬(wàn)件B．9萬(wàn)件C．9500件D．5000件6.某課外興趣小組為了解所在地區(qū)老年人的健康狀況，分別作了四種不同的抽樣調(diào)查．你認(rèn)為抽樣比較合理的是（）．A．在公園調(diào)查了1000名老年人的健康狀況B．在醫(yī)院調(diào)查了1000名老年人的健康狀況C．調(diào)查了10名老年鄰居的健康狀況D．利用派出所的戶籍網(wǎng)站隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)10％的老年人的健康狀況二、填空題7.下列調(diào)查中，分別采用了哪種調(diào)查方式：(1)為了了解你們班同學(xué)的年齡，對(duì)全班同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查：________；(2)為了考查一個(gè)學(xué)校的學(xué)生參加課外體育活動(dòng)的情況，調(diào)查了其中20名學(xué)生每天參加課外體育活動(dòng)時(shí)間________；(3)了解一批學(xué)習(xí)用具水筆芯的使用壽命：________；(4)了解我國(guó)八年級(jí)學(xué)生的身高情況：________．8.如圖是某市5月1日至5月7日每天的最高最低氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，在這7天中，日溫差最大的一天是__________.9.檢查一箱裝有2500件包裝食品的質(zhì)量，按2％的抽查率抽查其中一部分的質(zhì)量，在這個(gè)問(wèn)題中，總體是________，樣本是________．10.（2015?廣州）根據(jù)環(huán)保局公布的廣州市2013年至2014年P(guān)M2.5的主要來(lái)源的數(shù)據(jù)，制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，其中所占百分比最大的主要來(lái)源是．（填主要來(lái)源的名稱）11.某城市有120萬(wàn)人口，其中各民族所占比例如圖所示，則該市少數(shù)民族的人口共有________萬(wàn)人．12.某移動(dòng)公司為了調(diào)查手機(jī)發(fā)送短信的情況，在本區(qū)域的1000位用戶中抽取了10位用戶來(lái)統(tǒng)計(jì)他們某月份發(fā)送短信息的條數(shù)，結(jié)果如下表所示：手機(jī)用戶序號(hào)12345678910發(fā)送短信息條數(shù)85788379848586888085則本次調(diào)查中抽取的樣本容量是________，由此估計(jì)這1000位用戶這個(gè)月共發(fā)送短信_(tái)_______條.三、解答題13.（2016?賀州）為了深化課程改革，某校積極開(kāi)展校本課程建設(shè)，計(jì)劃成立“文學(xué)鑒賞”、“國(guó)際象棋”、“音樂(lè)舞蹈”和“書法”等多個(gè)社團(tuán)，要求每位學(xué)生都自主選擇其中一個(gè)社團(tuán)，為此，隨機(jī)調(diào)查了本校部分學(xué)生選擇社團(tuán)的意向．并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）：選擇意向文學(xué)鑒賞國(guó)際象棋音樂(lè)舞蹈書法其他所占百分比a20%b10%5%根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表的信息，解答下列問(wèn)題：（1）求本次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)及a、b的值；（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若該校共有1300名學(xué)生，試估計(jì)全校選擇“音樂(lè)舞蹈”社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)．14.（2015?桂林）某市團(tuán)委在2015年3月初組成了300個(gè)學(xué)雷鋒小組，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取6個(gè)小組在3月份做好事件數(shù)的統(tǒng)計(jì)情況如圖所示：（