2022-2023學(xué)年浙江省衢州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年浙江省衢州市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.若集合4={%|22x-3>4},B={x\x<5},則anB=()

A.{x||<%<5]B,{x||<x<5}C.{x\x<|}D.{x\x<5}

2.設(shè)z=^(其中i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知直線n和平面a,氏則使平面a1平面￡成立的充分條件是()

A.ml)?,m//aB.m///?,n//a

C.aPI/?=m,mln,nc/?D.m1m1a

4.已知sin《+》=￥，貝bina=()

2.43

A-B-c-5D-I

5.函數(shù)丫=/。90.5氏2-％-2|的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-00,-1)B.(2,4-00)

C.(-8,—1)和(：,2)D.(—1[)和(2,+8)

6.已知等差數(shù)列{即}的前項(xiàng)和為Sn，且品1>S1O>S12，若勾=2023以，數(shù)列的前n項(xiàng)

積為〃，則使〃>1的最大整數(shù)《為()

A.20B.21C.22D.23

7.已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,對(duì)Vx,y6R,恒有/(x+y)+fQ-y)=2f(x)f(y),則下列

說法錯(cuò)誤的有()

A./(0)=1B./(2x+l)=/(-2x-l)

C./(x)+/(0)>0D.若f(l)=p則周期為6

8.衣柜里有5副不同顏色的手套，從中隨機(jī)選4只，在取出兩只是同一副的條件下，取出另

外兩只不是同一副的概率為()

6124

----

A.7137

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.給出下列命題，其中正確的命題為()

A.若樣本數(shù)據(jù)無1，%2,…，Xio的期望為3、方差為6,則數(shù)據(jù)2%-1,2X2-1,…,2%T的

期望為5、方差為11

B.假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=o.6—O.25x，則當(dāng)x=4時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為一0.4

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,d),若p(x>4)=a,則P(X<0)=a

D.甲同學(xué)所在的某校高三共有5000人，按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為200的一個(gè)樣

本.則甲被抽到的概率為與

10.已知橢圓C：4+4=0)的左，右焦點(diǎn)分別為Fl，F(xiàn)2,長軸長為4,點(diǎn)P(/21)

在橢圓C外，點(diǎn)Q在橢圓C上，則()

A.橢圓C的離心率的取值范圍是(?,1)

B.當(dāng)橢圓C的離心率為?時(shí)，IQFJ的取值范圍是[2-門,2+C]

C.存在點(diǎn)Q使得評(píng)1?強(qiáng)=0

D-高彳+鬲的最小值為2

(4—\4x—8|,1<%<3

11.已知函數(shù)=，則下列說法正確的是()

A.若函數(shù)y=/(x)-kx+k有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是點(diǎn)|)

B.關(guān)于x的方程/(久)一;=0有8個(gè)不同的解

C.對(duì)于實(shí)數(shù)xe[2,+oo),不等式xf(x)—10<0恒成立

D.當(dāng)xe[3,9]時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與工軸圍成圖形的面積為6

12.如圖，在四棱錐P-4BCC中，AB//CD,AD=CD=1,NBA。=120。，乙4cB=90。,

PA1AC,平面P4C1平面PBC,點(diǎn)E在棱PC上且PE=3EC,點(diǎn)尸是4P4D所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)G是APBC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)G到直線BC的距離與到點(diǎn)E的距離相等，則()

A.PA，平面ABC。

B.若二面角。-PC-4的余弦值為一，則點(diǎn)4到平面PBC的距離為?

C.若EF=F，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長度為早兀

44

D.若P4=1,則4G的最小值為?

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.在（2x—》5的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是

14.88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個(gè)遞增的等比數(shù)列.若中音火左起第49個(gè)鍵）

的頻率為440Hz,鋼琴上最低音的頻率為27.5Hz,則左起第61個(gè)鍵的音的頻率為Hz.

15.設(shè)拋物線必=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為，，過拋物線上一點(diǎn)P作，的垂線，垂足為Q.若M（3,0）,

N（-l,0）,P尸與MQ相交于點(diǎn)T,且前+汴=而，則APTN的面積為.

16.原有一塊棱長為3a的正四面體石材，在搬運(yùn)的過程有所

損傷，剩下了一塊所有棱長均為a的八面體石材（如圖），現(xiàn)將

此八面體石材切削、打磨、加工成球，則加工后球的最大表面

積與該八面體石材外接球的表面積之比為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

近期衢州市文化藝術(shù)中心進(jìn)行了多次文藝演出，為了解觀眾對(duì)演出的喜愛程度，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查

了4、B兩地區(qū)的200名觀眾，得到如下所示的2x2列聯(lián)表.

生常喜歡喜歡合計(jì)

A6030

BXy

合計(jì)

若用分層抽樣的方法在被調(diào)查的200名觀眾中隨機(jī)抽取20名，則應(yīng)從B區(qū)且喜愛程度為“非常

喜歡”的觀眾中抽取8名.

(1)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

(2)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從4地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到喜愛程度為“非常喜歡”的觀

眾的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

2

附._n(ad-bc)___其__中幾=a+b+c+d.

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.050.0100.001

ko3.8416.63510.828

18.(本小題12.0分)

冊(cè)-2+九71是偶數(shù)，

已知數(shù)列｛a｝滿足：％=%=1，對(duì)任意九＞3且?guī)譭N*時(shí)，Q九=n是奇數(shù)其中四

n2%

表示不超過x的最大整數(shù).

(1)求Cl2n；

1

(2)設(shè)%=:TF+。3人求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)％,

a2n十人

19.(本小題12.0分)

在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,已知tcmA=sinB+sinC

cosB+cosC

(1)求4

(2)若c=2,b-；c=y/~6cosC,求sinC.

20.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱臺(tái)ABC-4當(dāng)G中，4當(dāng)=1,AB=3,過棱的截面a與棱AB,BC分

別交于E、F.

⑴記幾何體EBF-ABiG和正三棱臺(tái)ABC—4B1G的體積分別為匕，V2,若引=看求EF的

長度；

(2)若8當(dāng)=2。求直線BBi與平面ACG為所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=a

(1)若過點(diǎn)(0,6)作函數(shù)/(x)的切線有且僅有兩條，求m的值；

(2)若對(duì)于任意k6(-8,0),直線y=kx+b與曲線y=/(x)(x6(0,+8))都有唯一交點(diǎn)，求

實(shí)數(shù)b的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：/_4=i，過點(diǎn)P(2急作直線咬雙曲線C的兩支分別于A,B兩點(diǎn)，

(1)若點(diǎn)P恰為4B的中點(diǎn)，求直線，的斜率；

(2)記雙曲線C的右焦點(diǎn)為凡直線尸4FB分別交雙曲線C于D,E兩點(diǎn)，求科理的取值范圍?

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：解不等式22"3>4,即22A3>22,

A2x—3>2,

.,?%>I，

故4={x|22x-3>4}={x\x>|),

故AClB={x||<xW5}.

故選：B.

解指數(shù)不等式求得集合4根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得答案.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閦=若==1+3，3:=竽=2+i,

14-1(14-0(1-1)二2-2

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)位于第一象限.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可得答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：4選項(xiàng)中，根據(jù)??,ml。，m//a,可得存在“〃m，nua

,所以"，夕，nua,所以平面al■平面夕，A正確;

B選項(xiàng)中，mJ",n//a,aPlS=m',m//m',n//m',不一定得到a10,如下圖，所以B錯(cuò)誤:

C選項(xiàng)中，aC\P=m,mln,nc/?,不一定得到al夕，如下圖，所以C錯(cuò)誤;

。選項(xiàng)中，根據(jù)mlS，mla,所以a〃B，所以。錯(cuò)誤.

故選：A.

4選項(xiàng)，由條件可得到Til夕，九ua得到充分性；B選項(xiàng)，不一定得到a，夕，作圖說明；C選項(xiàng),

不一定得到a1。，作圖說明；D選項(xiàng)，根據(jù)條件得到面面平行可以判斷.

本題考查線面關(guān)系以及充分必要條件的定義，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：由二倍角公式可得cos(a+今=1-2s譏2(升》=1_2x哼/=-1,

又cos(a+J)=—sina,：.sina=

故選：D.

根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.

本題主要考查二倍角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：對(duì)于函數(shù)y=logoji-x-2|,令解得%H-1且％力2,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?一8,-l)U(-l,2)U(2,+8),

__._U2-X-2,xe(-00,-1)u(2,4-00)

又函數(shù)y=|x2X[-x2+x+2,x&(-1,2)

所以、=區(qū)2一萬一2|在(2,+8),(-1,勺上單調(diào)遞增，在(-8,-1),2)上單調(diào)遞減,

又函數(shù)y=logo.5%在定義域(。,+8)上單調(diào)遞減,

2

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知y=log0,5\x-x-2|的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-1)和6,2).

故選：C.

首先求出函數(shù)的定義域，在分析內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解:設(shè)等差數(shù)列｛_｝的公差為d,則念=20235—=2023%

故｛%｝為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列.

因?yàn)镾】i>Si。>S]2‘故a]】>0,a11+a】2<0，故a[2<0，

a+a

故瓦1=2023ali>1,瓦2=2023%2<1,=2023?i^<1,

故瓦>b2>>瓦1>1,1>b12>瓦3>…，

所以720=瓦x。2X""X620=瓦X(b2b20)x?1?X(瓦0瓦2)X瓦1=瓦叫:>1>

7^21=b]X1)2X,,，X￡>21=X(^2^20)X***X(匕10612)Xb[]—b：；>1.,

7,22=b[XZ?2X1,,XZ?22=(。1。22)X(b2b21)X,?,X(瓦1612)=(^11^12)^^<1,

所以723=T22b23<1.

故選：B.

先判斷出an>0,au+a12<0,a12<0,從而得到bu>1,b12<1,bxlbl2<1>故可判斷T20,

721，722，723與1的大小關(guān)系?

本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：由/(x+y)+/(x-y)=2f(x)f(y),

令x=0,y=0,有r(0)+〃0)=2/W(0),

可得f(0)=0或1，4錯(cuò)；

當(dāng)f(0)=0時(shí)，令y=0,

則/。)+fM=2f(x)f(0)=0,f(x)=0,

函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，f(2x+1)=/(-2x-1),

當(dāng)f(O)=1時(shí)，令x=0,

則fO)+=2f(0)〃y),則f(y)=/(一y),

函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，f(2x+1)=/(-2x-1),

綜上，B正確；

令刀=丫，則/'(2x)+/(0)=2產(chǎn)(乂)，

故/(2x)+f(0)20,

由于xeR,令t=2x,teR,即/■?+/■(())20,

即有/(x)+f(0)20，C正確；

若〃1)=攝令y=l,

則/(x+1)+/(X-1)=2/(X)f(l)=f(%),

所以f(x+l)=f(x)-f(x—l),

則f(x)=f(x—l)—/(x-2),

f(x+1)=[fix-1)-f(x-2)]-fix-1)=-/(x-2),

所以f(%)=-f{x-3)=f(x-6),

則f(x)周期為6,很正確.

故選：A.

利用賦值法求f(0)判斷4賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷8；賦值法結(jié)合換元法判斷C；利用

賦值法求得/(x+1)=/(%)-/(x-1),化簡得/(x)=-f(x-3)=/(x-6),即可判斷D.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運(yùn)算運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)4為“從中隨機(jī)選4只，取出兩只是同一副”，

B為“從中隨機(jī)選4只，有兩只不是同一副”，

或+Cg,x2x2,而p(AB)=*,2x2,

則P(4)=

C10

__120_12

故P(B|4)=另+可或X2X2=130=13'

故選：B.

設(shè)4為“從中隨機(jī)選4只，取出兩只是同一副”，8為“從中隨機(jī)選4只，有兩只不是同一副”，再

根據(jù)古典概型的概率公式可求PQ4)、尸(48)后可得條件概率.

本題考查條件概率相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4若。(X)=6,則O(2X-1)=2?O(X)=24,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,回歸方程為y=0.6-0.25型當(dāng)x=4時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為-0.4,故2正確;

對(duì)于C,隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2?2),

則P(X>2+2)=P(X<2-2),

即P(X>4)=P(X<0),故C正確；

對(duì)于D,根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣概率均等可知，甲被抽到的概率為^=去，故。正確.

DUUU

故選：BCD.

人根據(jù)期望和方差的性質(zhì)即可判斷；B.把x代入回歸方程即可判斷；C.根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)即可求解;

D.根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣概率均等即可求解.

本題主要考查方差的性質(zhì)，回歸方程，正態(tài)分布的性質(zhì)，概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：由題意得a=2,又點(diǎn)P(C,1)在橢圓C外，

71____

則工+7>1,解得bV/2，

所以橢圓C的離心率0=￡=J亙>c，即橢圓C的離心率的取值范圍是(早,1),故A正確；

當(dāng)e=時(shí)，c=V-3，b=Va2—c2=1>

所以IQ&I的取值范圍是[a-c,a+c],即[2-，谷,2+C],故B正確；

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為4(0,b),尸式-c,0),F2(C,0),

由于麗-AF^=b2-c2=2b2-a2<0,

所以存在點(diǎn)Q使得Q耳-QF；=0,故C正確;(IQ&I++|Q^i)=2+^^|+粽||22+

2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)IQ&I=IQF2I=2時(shí)，等號(hào)成立，

又IQF/+IQF2I=4,

所以急1+南‘1’故。不正確.

故選：ABC.

根據(jù)點(diǎn)P(，21)在橢圓C外，即可求出b的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而判斷4

根據(jù)離心率求出c,則|Q&|€[a—c,a+c],即可判斷B；

設(shè)上頂點(diǎn)4得到福?麗<0,即可判斷C；

根據(jù)IQFil+\QF2\=4利用基本不等式判斷D.

本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

沿y軸方向縮短為原來的一半，

所以=23-n[l-(3】-nx-2)],xG[3"T,3n)(neN*),

所以f(x)在[3"T,2?3"T](neN*)上單調(diào)遞增，

在(2-3nt,3n)(nGN*)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在pn-i4n/neN*)上的最大值為f(2-3"T)=/，

最小值為/'(3吁1)=0,

即/(x)在[351,3力何GN*)上的值域?yàn)閇0,舟](nGN*).

對(duì)于4令f(%)-kx+k=0,即f(久)=kx—k,則y=f(%)與y=kx—/c有四個(gè)交點(diǎn),

作出n=l,2,3時(shí)/(x)的圖象，如圖1所示：(6,2),(18,1)分別與(1,0)連線的斜率為|,今

結(jié)合圖象可得：實(shí)數(shù)k的取值范圍是(今,|),選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,令f(x)_；=O,

所以方程根的個(gè)數(shù)即為y=/Q)與y=(交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

因?yàn)閥=/(x)的最大值為/(2)=4,/Q)在［3n-i,3n)(n6N*)上的值域?yàn)椋?,聲］(九eN*).

所以?1=5時(shí)=；，y=/(%)與y=［的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以關(guān)于x的方程/(x)-/=0有2x4+1=9個(gè)不同的解，選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閳D象過點(diǎn)(6,2),令x=6,則6/(6)-10=6X2-10=2>0,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,x6［3,9］時(shí)，函數(shù)/(x)的圖象與x軸圍成圖形是底邊長為9-3=6,高為2的三角形，

三角形的面積為S=gx6x2=6,選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

畫出函數(shù)/Xx)的部分圖象，結(jié)合圖象求出f(x)在［3時(shí)1,3與上的值域，利用數(shù)形結(jié)合法判斷選項(xiàng)中

的命題是否正確即可.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想性、數(shù)形結(jié)合思想，畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，是難題.

12.【答案】ACD

【解析】解：過點(diǎn)4作4M1PC,由于平面P4C_L平面PBC,

且交線為PC，AMu平面P4C,

所以AM1平面PBC,由于8cu平面PBC,故AM_LBC,

又AC1CB,AMflAC=A,AM,ACu平面PAC,

所以BCJ■平面PAC,P4u平面PAC,所以BCJ.P4由

PA1AC,ACnBC=C,AC,BCu平面ABC。，因此P41

平面4BCD,故A正確;

對(duì)于C,設(shè)P4=x,設(shè)點(diǎn)E到平面PAO的距離為"，則/=匕_PAE得〃=S^AEPDO=:4CP。。

S^ADPS^ADP

由于EF=?,故點(diǎn)F形成的軌跡為圓，設(shè)半徑為=VEF^-h'^=J(4翳/一(手下=號(hào)1

所以軌跡長度為2”=正兀，故C正確；

4

?:AB”CD,AD=CD=1,乙BAD=120°,

.?.△4CD是等邊三角形，AC=1,取AC中點(diǎn)為。，貝ijDO_LAC,

由PA_L平面4BCD,PAu平面PAC,故平面PAC_L平面4BC0,且交線為4C,。。u平面4BCD,

所以。。1平面PAC,PCu平面P4C,所以O(shè)OJ.PC,過。作ONJ.PC,ONCOD=0,ON,ODc

平面OND,

因此PCI平面ONO,DNu平面。ND,故PC1ON,

因此二面角。一「。一4的平面角為乙?？伞?，；.cos乙DNO=R，

設(shè)PA=x,由P4_L平面ABC。，An=4C可得PC=P。=^/1+二,

則SAPAC=^PA-AC=^=^PC-h=>h=^=,其中九為三角形PAC邊PC邊上的高,

乙//V14-xz

ONOD=孕，故cos/DNO=?今tan/DN。=2，

zZ5

又t,a，八WArcNOUD/7rS=FV3=2nx=/F3,

J7+X2

由于ON1PC,ONu平面P4C,平面P4C_L平面PBC,其交線為PC,

所以。N_L平面PBC,???點(diǎn)4到平面PBC的距離為/i=7上法=?，故B錯(cuò)誤；

7i+x22

對(duì)于D,取PC中點(diǎn)為M,CE中點(diǎn)為Q,由題意可知點(diǎn)G的軌跡為以Q為焦點(diǎn)，以BC為準(zhǔn)線的拋物線，

由于PA=AC=1,所以AM1PC,由面面垂直的性質(zhì)可知AMJ■平面PBC,

過Q作AM的平行線作為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

PC=V-2.CE=}PC=CM=?，所以焦點(diǎn)為Q(0,0,0)，M(O,O,崎)，

44Zo

故拋物線方程為y2=辱,

由于x軸〃AM,且4M=4PC=￥，初=?(1,0,0)，二4(?,0,手)，

2LL2.o

設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)G(0,y,z),

71rt21i2i、21?2i23A/-218?V-250

AG=-+y+(---z)2=,+y2+z2_z+_=z2__z+_)

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：AG2最小值為遛z受一3,故4G的最小值為華，故￡＞正確.

4-42

故選：ACD.

由面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而得線線垂直，即可由線面垂直的判斷判斷4由二面角的

幾何法由角大小求解長度，即可判斷B；根據(jù)圓和拋物線的幾何性質(zhì)可判斷估計(jì)，即可結(jié)合幾何

運(yùn)算求解DC.

本題考查面面垂直、線面垂直性質(zhì)4,二面角的幾何法由角大小求法，以及圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),

屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：由題意，令x=l,即可得到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為(2x1-1戶=1.

故答案為：1.

令x=1,即可得到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和.

本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法令x=1進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】880

【解析】解;設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>l),

則440=27.5q48,所以k2=2,

則左起第61個(gè)鍵的音的頻率為27.5-q60=27.5?(q12)5=880(Wz).

故答案為:880.

設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>l),根據(jù)已知求出q,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)即得解.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】亨

【解析】解：由圖可知，前+而=而得前+前=>'率

又因?yàn)槭?1,0)為M(3,0),N(-l,0)的中點(diǎn),

所以麗+而=2喬，所以2方=一汴,

所以7為PF的三等分點(diǎn)，且TP=2TF,\

MpTp1x.

又因?yàn)镻Q〃MF,所以4TMF?Z7QP,且而=汴=才

所以QP=2MF=4,

不妨設(shè)P(x0,yo)，且在第一象限，

QP=殉+§=+1=4,所以Xo-3,

因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y。)在拋物線上，

所以y()=2，？，

所以根據(jù)相似關(guān)系可得，yT=1y0=亨，

所以=|xMFxyT=

故答案為：浮.

根據(jù)向量的線性關(guān)系確定2J7MF?47QP,并確定相似比，再根據(jù)拋物線的定義即可求解.

本題考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

16.【答案】3：11

M

【解析】解：如圖，補(bǔ)全正四面體，則正四面體的棱長

為3a,

由正四面體的對(duì)稱性知，

正四面體的內(nèi)切球、外接球球心與八面體內(nèi)切球、外接

球球心重合，

記為0,。在底面的投影為?！竸tMO11平面QPN,

N

正四面體內(nèi)切球半徑R=。0「外接球半徑r=0M=

0P,

正四面體M-QPN底面上的高九=MO1，

由相似性易得正四面體M-ABC底面上的高為《無，

由正三角形的性質(zhì)，易得AQPN的高h(yuǎn)i=J(3a)2_(|a)2=手0

則POi=藪九1=y/~3a,

則在Rt△MPOi中，h=MO】=JMP2_P0工,

即—R)2=/?2+(7"3Q)2,

解得R=Ta，

4

平面4BC到平面QPN的距離為h_；九=亨如

所以。到平面A8C的距離號(hào)a—R=若〉R,

故截面八面體的內(nèi)切球半徑亦為R,

則截面八面體的內(nèi)切球的表面積為a=4兀/?2=^a2,

乂0。1=R=——u>0[H=i

4CL

則截面八面體外接球半徑為OH=J。。：+。坦2,

所以截面八面體外接球表面積為S2=4雙手a)2=

故加工后球的最大表面積與該八面體石材外接球的表面積之比為3：11.

故答案為：3：11.

補(bǔ)全正四面體，由正四面體的對(duì)稱性，正四面體的內(nèi)切球、外接球球心與八面體內(nèi)切球、外接球

球心重合，記為。，由幾何法分別求出正四面體的內(nèi)切球半徑以及。到平面4BC的距離，則較小者

為截面八面體的內(nèi)切球半徑，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后由球的表面積公式即可求解.

本題考查了球的表面積公式，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)依題意，B區(qū)為“非常喜歡”的觀眾人數(shù)為縹x8=80,

表格補(bǔ)充完整如下:

非常喜歡合計(jì)

A603090

88030110

合計(jì)14060200

所以八2。湍靄X*0,87<3.841

所以沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

(2)從4地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率器=|,

從4地區(qū)隨機(jī)抽取3人，則X?B(3,|),

X的所有可能取值為0,1,2,3,

則P(X=0)=(占3=p(x=1)=?(|)1(》2=l，

P(X=2)=竭)2(*=l，P(X=3)=(|)3=捺,

所以X的分布列為：

X0123

1248

P

279927

所以E(X)=0x^-+lx^+2xJ+3x^-=2.

【解析】(1)補(bǔ)全列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算K2結(jié)合臨界表值進(jìn)行判斷即可；

(2)由題意分析計(jì)算觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率為|,隨機(jī)變量X?8(3,|)然后結(jié)合二項(xiàng)

分布的概率公式得分布列與數(shù)學(xué)期望.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，叼=。?-2+加

即an-an_2=n,

則@271=。2+(“4—。2)++(。6—。4)+…+(^2n—@2n-2)=1+4+6+…+2幾=2+4+6+

n

…+2n—1=(2+；九)—1=n(n+1)—1.

(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，喃=2,

即六=2,即83“｝是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為。3=2,則a3n=2X2"1=2%

3n一】

則匕九二一匚+a3n=/+2n=----j—+2n,

71。2八+1'n(n+l)nn+l

則數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)％=1-；+2+＞打22+...+白系+2九=(1-磊)+爺/=1-

_l_+2n+1_2=2n+1_1__l_

【解析】(1)利用累加法進(jìn)行求解即可.

(2)求出數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消以及等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可.

本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和求和的計(jì)算，根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，利用累加法和裂項(xiàng)法求和是解決

本題的關(guān)鍵，是中檔題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)閠an4=嗎=s警:s",

''cosAcosB+cosC

所以sizMcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

所以sin24cos8—cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,則sin(A-8)=sin(C—4),

所以4-8=C-4或4-B+C-A=180。(舍)，又因?yàn)?+8+C=180°,即4=60°,

⑵由b-gc=y/~6cosCR.c=2可得匕—-cosC，

由正弦定理可得：sinB—|sinC=^-sinC-cosC，又A+8+C=180°,

所以sinB=sin(180°—A—C)=sin(A+C)=sin(60°+0,

故sin(60°+C)—1sinC=?sinC?cosC，所以芋cosC=?sinC-cosC,

由于C+B=120。，所以0VCV120。，貝iJcosC=0或sinC=浮，

當(dāng)cosC=0時(shí)，C=90°,則sinC=。

綜合，sinC=1或sinC=芋.

【解析】(1)根據(jù)商數(shù)關(guān)系式得tazM=嗎=嚶嗎，結(jié)合正弦兩角和與差公式及角度范圍即

COS^lCOSD-iCOSLj

可求得4

(2)由b—,c=/石cosC及c=2可得b—4c=qc-cosC，結(jié)合正弦定理邊化角、誘導(dǎo)公式、兩

角和差的正弦公式化簡求值即可得sMC的值.

本題考查了正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴???三棱臺(tái)ABC—是正三棱臺(tái)，???&G〃平面4BC,

??,AiGu平面a,平面an平面ABC=EF,:.AJ/EF,

若BE=：4B,則BE=&Bi，幾何體EBF-是三棱柱，

記SAA[BIG=S',SABEF=Si，SMBC=S?=9S',

/_3S'_37

此時(shí)弓=可高7￡=行運(yùn)’不滿足題意’舍去；

因此設(shè)E&與BBi交于點(diǎn)0,E&與FQ交于點(diǎn)。「

則第=警，端=等，因?yàn)?Bi=&Ci，BE=FE,

二弟=笑1，。=。1，即E&,FC,SB1交于同一點(diǎn),

二幾何體EBF-&BiG是三棱臺(tái),

/s，+jSS+S17

S]=4S',EF=2A=2；

13

“2s'+js's2+s2

(2)如圖，延長44i，BBi，CG交于點(diǎn)G,作AC中點(diǎn)H,連接HB,HG,

vACLHB,AC1HG,HGCiHB=H,HG,HBu平面HBG,

AC1平面HBG,過B作BMJ.HG交HG于M,則4clBM,

vHGdAC=H,HG,ACu平面4"出，BM1平面ZCG4,

???NHGB為直線BB]與平面4CC1&所成的角，

「Dor-onIT「J.3V11

VGB=3V3,BH=U一，GH=——

.?.在△GHB中，由余弦定理可得,

?HG2+BG2-BH2(守)2+(3/3)2-(亨a5E

COSZ.HrGRB=----…----=----------z-?--------=f-，

2HGB1G3r2X^^X31533

???直線BBI與平面4CC14所成角的正弦值為要.

【解析】(1)根據(jù)題意，先由條件證得EBF-&B1G是三棱臺(tái)，再結(jié)合棱臺(tái)的體積計(jì)算公式即可得

到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，延長441，CCi交于點(diǎn)G,作AC中點(diǎn)H,連接HG,可得/HGB即直與

平面4CC1&所成的角，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.

本題考查線面所成的角，考查幾何體的體積，棱臺(tái)的定義，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)過點(diǎn)(0,m)作函數(shù)f(x)切線的切點(diǎn)為(a,劫，

因?yàn)?'(x)=M，所以切線方程為y-S=M(x-a)，即丫=￡4+5，

又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,m),所以巾=包.

ea

令g。)=徐則do)=

所以工€(-8,0),g\x)<0,g(%)遞減；

xe(0,2),g'(%)>0,g(x)遞增；

x6(2,+oo),g'(x)<0,g(x)遞減.

當(dāng)x=0時(shí)，g(%)取極小值g(0)=0；當(dāng)％=2時(shí)，g(%)取極小值g(2)=白,

g(0)=0,%<0時(shí)g(x)>0；x>0時(shí)g(x)>0,

根據(jù)以上信息作出g(x)的大致圖象，

由題意，直線y=m與gQ)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),

4

所以m=g(2)

(2)由題可得丘+b=福有唯一解，即Z=*-5,久>0有唯一解.

令九(%)AY，%>仇

若b40,則三—2>0與題設(shè)k￡(―80),矛盾，故b>0.

exx

又因