福建省2021年中考數(shù)學(xué)試卷真題（含答案解析）

福建省2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共10題；共20分）

I.在實數(shù)近，：，0,-1中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.0C.iD.V2

【答案】A

【考點】實數(shù)大小的比較

【解析】【解答】解：在實數(shù)V2,I,0,一1中，

V2,：為正數(shù)大于0,

-1為負(fù)數(shù)小于0,

二最小的數(shù)是：

故答案為：A.

【分析】正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小.據(jù)此判

斷即可.

2.如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

"

主筏方向

AOBO

，且,星

【答案】A

【考點】簡單組合體的三視圖

【解析】【解答】從上面看是一個正六邊形，中間是一個圓，

故答案為：A.

【分析】俯視圖：從物體上面所看的平面圖形；注意：看到的棱畫實線,看不到的棱畫虛線，據(jù)此判斷

即可.

3.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點C,利用測量儀

器測得4=60°,4=90°,4。=2km?據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于()

【答案】D

【考點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】4=60°,4=90°=2km

Kill

???cosAa=—AC,cosf6t\0°=1-

AB2

ACAC2.

.?.48=,=Z=4km.

2

故答案為：D.

【分析】利用cos4=*即可求出AB.

4.下列運算正確的是()

A.2a—a=2B.(a—l)2=a2—1C.a6-4-a3=a2D.(2a3)2=4a6

【答案】D

【考點】同底數(shù)疑的除法，完全平方公式及運用，合并同類項法則及應(yīng)用，積的乘方

【解析】【解答】解：A：2a-a=(2-l)a=a,故A錯誤；

B：(a-=a?-2a+1,故B錯誤；

C：a64-a3=a6-3=a3,故C錯誤；

D：(2a3)2=22?(a3)2=4a3x2=4a6.

故答案為：D

【分析】根據(jù)合并同類項、完全平方公式、同底數(shù)基的除法、積的乘方與基的乘方分別進(jìn)行計算，然后

判斷即可.

5.某校為推薦一項作品參加"科技創(chuàng)新"比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進(jìn)行量化評分，具體成績

(百分制)如表：

項目

甲乙內(nèi)J

作品

創(chuàng)新性90959090

實用性90909585

如果按照創(chuàng)新性占60%,實用性占40%計算總成績，并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【考點】加權(quán)平均數(shù)及其計算

【解析】【解答】根據(jù)題意，得：

甲：90x60%+90x40%=90；

乙：95x60%+90x40%=93；

丙：90x60%+95x40%=92；

T：90x60%+85x40%=88；

故答案為：B

【分析】分別求出甲、乙、丙、丁四個作品加權(quán)平均數(shù)，然后比較即得.

6.某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實"綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹

造林活動，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為X,那么，符合題意

的方程是()

A.0.63(1+無)=0.68B.0.63(1+%)2=0.68

C.0.63(1+2x)=0.68D.0.63(1+2x)2=0.68

【答案】B

【考點】一元二次方程的實際應(yīng)用-百分率問題

【解析】【解答】解：設(shè)年平均增長率為x,由題意得：

0.63(1+%)2=0.68,

故答案為：B.

【分析】設(shè)年平均增長率為x,根據(jù)2018年底森林覆蓋率x(1+平均增長率)2=2020年底森林覆蓋率，

列出方程即可.

7.如圖，點F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，AABF為等邊三角形，則ZAFC等于()

A.108°B.120°C.126°D.132°

【答案】C

【考點】等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角與外角，正多邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】；ABCDE是正五邊形，

ZABC=(5-2)x180=108°,AB=BC,

5

V^ABF為等邊三角形，

/.ZABF=ZAFB=60°,AB=BF,

/.BF=BC,ZFBC=ZABC-ZABF=48°,

??.ZBFC=|(1800-NFBC)=66°,

ZAFC=ZAFB+ZBFC=126°,

故答案為：c.

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出NABC的度數(shù)，由正五邊形的性質(zhì)得出AB=BC,根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)，可得NABF=NAFB=60。，AB=BF,從而得出BF=BC,求出NFBC=NABC-NABF=48。，利用等腰三角形的

性質(zhì)求出NBFC的度數(shù)，利用4FC=ZAFB+ZBFC即得結(jié)論.

8.如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖象過點(一1,0)，則不等式k(x-1)+b>0的解集是()

【答案】C

【考點】一次函數(shù)與不等式(組)的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示，

將直線y=kx+b(k>0)向右平移1個單位得到y(tǒng)=fc(x-1)+b(k>0),該圖象經(jīng)過原點，

由圖象可知，在y軸右側(cè)，直線位于x軸上方，即y>0,

因此，當(dāng)x>0時，fc(x-1)+b>0,

故答案為：C.

【分析】將直線y=kx+b(k>0)向右平移1個單位得到y(tǒng)=k(x-1)+b[k>0)，且該圖象經(jīng)過原

點,由圖象可知，當(dāng)x>0時、=做工-1)+6(卜>0)的圖象在*軸上方，據(jù)此即得結(jié)論.

9.如圖，AB為。0的直徑，點P在AB的延長線上，PC,PD與。。相切，切點分別為C,D.若

AB=6,PC=4,則smZCAD等于()

【答案】D

【考點】圓周角定理，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，切線長定理

【解析】【解答】解：連接0C,

CP,DP是OO的切線,則NOCP=90。，ZCAP=ZPAD,

ZCAD=2ZCAP,

OA=OC

ZOAC=NACO,

ZCOP=2ZCAO

ZCOP=NCAD

AB=6

OC=3

在R3COP中，OC=3,PC=4

OP=5.

4

**?sinAD=sin/COP="

故答案為：D.

【分析】連接OC,利用切線的性質(zhì)及切線長定理得出NOCP=90。，NCAP=NPAD,根據(jù)圓周角定理

ZCOP-2ZCAO,從而得出NCOP=NCAD,在RtACOP中，利用勾股定理求出0P,利用sin/GW=

sinOP=意即得結(jié)論.

10.二次函數(shù)y=a%2-2"+c(a>0)的圖象過A(-3,B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四個點，下列說

法一定正確的是()

A.若yty2>0,則y3y4>。B.若>0,則y2y3>。

C.若y2y4<0?貝U7173V。D.若y3y4<0,則y1y2<0

【答案】C

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)y=ax八2+bx+c的圖象，二次函數(shù)y=ax^+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：二次函數(shù)y=a/-2ax+c(a>0)的對稱軸為:

一三絲=1,且開口向上,

2a

距離對稱軸越近，函數(shù)值越小,

?，?yi>>丫2>為，

A,若yxy2>0,則y3y4>0不一定成立，故答案為：錯誤，不符合題意；

B,若yxy4>0，則y2y3>0不一定成立，故答案為：錯誤，不符合題意；

C,若y2y4<0，所以71>0,y3<0,則<0一定成立，故答案為：正確，符合題意；

D,若y3y4<o，則y，2<o不一定成立，故答案為：錯誤，不符合題意；

故答案為：C.

【分析】拋物線的對稱軸為x=l且開口向上，可得距離對稱軸越近，函數(shù)值越小，從而得出力>、4>

y2>y3，據(jù)此逐一分析即可.

二、填空題(共6題；共6分)

11.若反比例函數(shù)y的圖象過點(1,1)，則k的值等于.

【答案】1

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】??,反比例函數(shù)y=￡的圖象過點(1,1)

1=3即k=1

故答案為：1.

【分析】將點(1，1)代入y=§中，即可求出k值.

12.寫出一個無理數(shù)X,使得l<x<4,則x可以是(只要寫出一個滿足條件的x即可)

【答案】答案不唯一(如77,7,1.010010001…等)

【考點】估算無理數(shù)的大小

【解析】【解答】根據(jù)無理數(shù)的定義寫一個無理數(shù)，滿足l<x<4即可；

所以可以寫：

①開方開不盡的數(shù)：V2,

②無限不循環(huán)小數(shù)，1.010010001....

③含有n的數(shù)p等.只要寫出一個滿足條件的x即可.

故答案為：答案不唯一(如72,71,1.010010001......等)

【分析】無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，對于開方開不盡的數(shù)、圓周率n都是無理數(shù)：據(jù)此寫出滿足1<

x<4的x值即可.

13.某校共有1000名學(xué)生.為了解學(xué)生的中長跑成績分布情況，隨機抽取100名學(xué)生的中長跑成績，畫出條

形統(tǒng)計圖，如圖.根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識可估計該校中長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是.

【答案】270

【考點】用樣本估計總體

【解析】【解答】解：由圖知：樣本中優(yōu)秀學(xué)生的比例為：益=27%,

??.該校中長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是：1000x27%=270（人）

故答案是：270.

【分析】利用樣本中優(yōu)秀學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù)1000即得結(jié)論.

14.如圖，AD是ZMBC的角平分線.若/B=9Q°,BD=a,則點D到AC的距離是.

【答案】V3

【考點】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，過D作0EJ.4C,則D到AC的距離為DE

AD平分/CAB,/B=9Q°,BD=遮，

???DE=BD=痘

點D至ijAC的距離為V3.

故答案為V3.

【分析】過D作DELAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=BD=痘據(jù)此即得結(jié)論.

15.已知非零實數(shù)x,y滿足y=W,則三詈的值等于.

【答案】4

【考點】代數(shù)式求值

【解析】【解答】由丫=喜得：xy+y=x,即x-y=xy

.x-y+3xy_xy+3xy_4xy_彳

xyxyxy

故答案為：4

【分析】由y=喜可得x-y=xy,然后代入求值即可.

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，點E,F分別是邊AB,BC上的動點，點E不與A,B重

合，且EF=4B,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且ZEGF=90°的點.現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①NGEB與NGFB一定互補；

②點G到邊AB.BC的距離一定相等；

③點G到邊AD.DC的距離可能相等；

④點G到邊AB的距離的最大值為2企.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【考點】多邊形內(nèi)角與外角，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】vZEGF=90°GE=GF

NGEF=45°

①四邊形ABCD是矩形

NB=90°

???ZEGF=90°，四邊形內(nèi)角和為360°

???NGEB+/GFB=180°

???①正確.

②如圖：過G作GM1AB,GN1BC

BNF

???ZGME=NGNF=90°

???NGEB+NGFB=180°/GEM+NGEB=180°

???NGFN=GEM

又vGE=GF

△GME=△GNF(AAS)

???GM=GN

即點G到邊ABfBC的距離一定相等

???②正確.

③如圖：過G作GN1ADtGM1CD

11

???NG<AB--EF=2GM<AD--EF=3

2f2

GM>AD-EFxsin450=5-2企

???4-2^2<NG<2,5-2^2<GM<3

而???2<5—2^2

所以點G到邊ADfDC的距離不可能相等

③不正確.

④如圖：

AD

BFC

當(dāng)GE1AB時，點G到邊AB的距離的最大

。V2廠

GE=EFxsin45°=4x—=2V2

④正確.

綜上所述：①②④正確.

故答案為①②④.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NB=90。，由N￡GF=90°，四邊形內(nèi)角和為360°即可判斷①；過G作

GM1AB,GN1BC,證明△GME三△GNF(/L4S),可得GM=GN,據(jù)此判斷②；過G作

GN1AD,GM1CD,分別求出GM、GN的長，然后比較即可判斷③；當(dāng)GELAB時，點G到邊48

的距離的最大，可求出GE=EFxsin45°=2或，據(jù)此判斷④.

三、解答題(共9題；共80分)

17.計算：VT2+IV3-3I-CI)-1.

【答案】解：皿+|百一3|-(y1

=273+(3-73)-3

=2V3+3-V3-3

=V3?

【考點】負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)的絕對值

【解析】【分析】利用二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)先進(jìn)行計算，再進(jìn)行實數(shù)的

加減即得.

18.如圖，在aABC中，D是邊BC上的點，DEA.AC.DF1AB,垂足分別為E,F,且DE=

DF,CE=BF.求證：/B=/C.

【答案】證明：DEA.AC.DF1AB,

/DEC=/DFB=90°

DE=DF,

在ADEC和4DFB中，｛4EC=NDFB,

CE=BF,

△DEC=△DFBt

「?NB=NC.

【考點】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】根據(jù)垂直的定義可得NDEC=/川7=90。證明△DEC三ZkOFB,可得/8=

NC.

x>3-2X(D

19.解不等式組：｛“1,…

一―x一3V1②

26

【答案】解：解不等式x>3-2%,

3%>3,

解得：%>1.

解不等式早一誓<1,

N6

3x-3-x+3<6，

解得：x<3.

所以原不等式組的解集是：1Wx<3.

【考點】解一元一次不等式組

【解析】【分析】先分別解出兩個不等式的解集，然后根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大

大小小無處找"的規(guī)律找出不等式組的解集即可.

20.某公司經(jīng)營某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是40元.

（1）已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元，問：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的

箱數(shù)分別是多少？

（2）經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問:

應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少？

【答案】（1）解：設(shè)該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品x箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱.

70x+40y=4600,

依題意，得｛

x+y=100,

x=20,

解得｛

y=80.

所以該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱.

（2）解：設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品m箱，獲得總利潤w元.則批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為（1000-巾）箱,

V該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%

m<300

依題意，得w=70m+40（1000-m）=30m+40000,m<300.

因為30>0,所以w隨著m的增大而增大，

所以m=300時，取得最大值49000元，

此時1000-m=700.

所以該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品700箱才能使總利潤最大，最大總利潤是49000元.

【考點】一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二元一次方程組的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【分析】(1)設(shè)該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品X箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱.根據(jù)“該公司某月賣出100箱

這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元"列出方程組，求解即可；

(2)設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品m箱，獲得總利潤w元.則批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為(1000-m)箱，由該公司零

售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%,求出m的范圍，根據(jù)總利潤=零售利潤+批發(fā)的利潤，列出w關(guān)于m

的關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

21.如圖，在Rt△ABC中，ZACB=90°.線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△

EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上.

（2）求證：CD=BF.

【答案】（1）證明：在等腰直角三角形EDF中，ZEDF=90°

ZADE+/ADF=90°.

■-ZACB=90°,

/DFC+NADF=NACB=90",

ZADE=ZDFC.

(2)證明：連接AE.

由平移的性質(zhì)得AE“BF,AE=BF.

ZEAD=/ACB=90°，

NDCF=1800-ZACB=90"

ZEAD=/DCF.

???XEDF是等腰直角三角形，

DE=DF.

由（1）得ZADE=ZDFC，

△AED=△CDF,

AE=CD,CD=BF.

【考點】平移的性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）在等腰直角三角形ED尸中，可得ZWE+4DF=90°,由41cB=90°可

得4）FC+4DF=NZCB=90°，利用余角的性質(zhì)即得4CE=N0FC;

（2）連接4E,由平移的性質(zhì)得4E〃BF,4E=BF,從而求出=NOCF,在等腰直角

三角形EOF中，可得DE=OF,證明△4EO三ACOF,可得力E=CD,由等量代換可得CO=BF.

22.如圖，已知線段MN=a,4R14K,垂足為a.

RMN

（1）求作四邊形ABCD,使得點B,D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a,ZABC=60。，

CD“AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB.CD的中點，求證：直線AD.BC.PQ相交于同一點.

【答案】（1）解：作圖如下：

四邊形ABCD是所求作的四邊形;

（2）解：設(shè)直線BC與AD相交于點S,

IS)

DC11AB,

△SBAs&SCD,

.SA_AB

-SD~DC

設(shè)直線PQ與AD相交于點s'，

同理“4=空.

SDQD

,■1P.Q分別為AB,CD的中點，

11

??.PA=^AB,QD=1DC

.PA_AB

?*QD~DC

.SA

??---,S4

SDSD

.S'D+ADSD+AD

SDSD

—A―D=—AD,

SDSD

**?s'D=SD，

???點s與s'重合，即三條直線AD,BC,PQ相交于同一點.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)，作圖-角

【解析】【分析】（1）先截取AB=a,再分別以A/B為圓心，a為半徑，兩弧交于點C,以點C為頂點作

角=/ABC即可；

（2）設(shè)直線BC與/W相交于點S,利用平行線可證△SB47SCD,可得黑=霽，設(shè)直

線PQ與/W相交于點S'，同理沙=”.根據(jù)線段的中點可得P4=：AB,QD=^DC,可

得意=黑，從而求出黑=黑，即得S"=SD，繼而得出點S與S'重合，據(jù)此即得結(jié)論.

23."田忌賽馬"的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬

4i，Bi，G,田忌也有上、中、下三匹馬A2,B2,C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：

Ar>A2>Br>B2>Ct>C2（注：A>B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬,

約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊

王三局比賽的“出馬"順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上

馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典

案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的"出馬"情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出"上馬"，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其

獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬"情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請

列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

【答案】（1）解：田忌首局應(yīng)出"下馬"才可能在整場比賽中獲勝.

此時，比賽的所有可能對陣為：

（C2A1，Az—l，殳。1）9（。241.B2C1M2B1），

（C2AlfB2BlfA2C1）,（C2AltA2CltB2B1）,共四種.

其中田忌獲勝的對陣有

82c1），（C2AL82cl,AzBi）9共兩種,

故此時田忌獲勝的概率為匕=;.

（2）解：不是.

齊王的出馬順序為Ai，Bi，Ci時,田忌獲勝的對陣是，2當(dāng),々Ci）；

齊王的出馬順序為4i，G，Bi時,田忌獲勝的對陣是（。241,B2cL4當(dāng)）；

齊王的出馬順序為B],A1,Q時,田忌獲勝的對陣是（A2B1，。2力1，B2c1）；

Ci，41

齊王的出馬順序為B],時,田忌獲勝的對陣是B2CI，C2A^）；

齊王的出馬順序為G.,"1，Bi時,田忌獲勝的對陣是（B2cLeZAIMZBI）;

齊王的出馬順序為G，Bi，AI時,田忌獲勝的對陣是

綜上所述，田忌獲勝的所有對陣是

B2c1）,（C2AL82C1，A2B1）9（4當(dāng),C2AL82c1）,

（“2名,82G，C24）,（B2cLe2A1，A2B1.），A2B1，。2人1）.

齊王的出馬順序為41，名,Cl時，比賽的所有可能對陣是

（"zAi，殳4,C2c1）,（A2A1，C281，B2c1）,（為①，4名,C2Q）,

（外4,人2。1）9（，2411七名,殳。1）,（C2A1，殳j,4。!.），

共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應(yīng)的6種可能對陣,

所以，此時田忌獲勝的概率P2

36o

【考點】列表法與樹狀圖法

【解析】【分析】（1）田忌首局應(yīng)出"下馬"才可能在整場比賽中獲勝.然后列出比賽的所有可能對陣有4

種，其中田忌獲勝的對陣有2種，利用概率公式求解即可；

（2）根據(jù)（1）中的一種情況，推出共18種對陣情況，只要（4281（24,82的）對陣田忌獲勝，然后求

出概率即可.

24.如圖，在正方形ABCD中，E,F為邊AB上的兩個三等分點，點A關(guān)于DE的對稱點為4

44'的延長線交BC于點G.

（1）求證：DE“A’F;

（2）求ZGA,B的大??；

（3）求證：A,C=2AB-

【答案】（1）證明：設(shè)直線CE與4A'相交于點T,

???點A與小關(guān)于DE對稱，

DE垂直平分AA'（即DE1.AA,,AT=TA

E,F為AB邊上的兩個三等分點，

AE=EF,

ET是XAA'F的中位線，

ET||4'F，BPDE\\A'F-

（2）解：連接FG,四邊形ABCD是正方形,

AD=AB,ZDAB=ZABG=90°,ZDAT+ZBAG=90

DELAA7，,NDTA=90°，

???ZADT+ZDAT=90°，.=ZADT=/BAG.

△DA.E=△ABG9

??.AE=BG,又4E=E尸=尸8,

??.FB=BG,

??.AFBG是等腰直角三角形，

NGFB=45°.

,DE11A.F?

AfFLAA'，

???ZFAzG=90".

取FG的中點。，連接OA,,OB，

在RtAA'FG和Rt△BFG中，

OA=OF=OG=：FG,OB=OF=OG=：FG,

OA'=OF=OG=OB，

.,?點A',F,B,G都在以FG為直徑的。。上,

???ZGA'B=NGFB=45°?

（3）證明：設(shè)AB=3a,貝ijAD=BC=3a,AF=2a,AE=BF=a.

由（2）得BG=HE=a,

tanAG=-=—=-,即tan^71AF=-,.

AB3a33AA'3

設(shè)AF=k，則AA=3k,在Rt△AAF中,由勾股定理,得_J4力，之十J而卜,

??.VTUk=2a,k=^,4'F=等.

在RtAABG中，由勾股定理，得AG=^JAB2+BG2=V10a.

又：AA,=3k=怨^，

AA，G=AG-AA，=同。_嚕=嚕，

，VToa

.AF=~=1

…AG2Vioa2,

s

*.*CG=BC-CB=2a，

.BF_a_1

??CG-2Q-2，

.二'尸_BF_1

A'GCG2

由（2）知，4'FB+4'GB=180°

又「4'GC+4'GB=180°，

???fFB=fGC，

**?△AFB-△AGC，

?.?ABBF1,

ACCG2

?'-A'C=2A'B-

【考點】正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的中位

線定理

【解析】【分析】(1)設(shè)直線DE與/L4'相交于點T,根據(jù)對稱性可得￡^1力力’，47=7\4'，由E,

F為4B邊上的兩個三等分點，可得E7是△44'F的中位線，利用三角形中位線定理即得結(jié)論；

(2)連接FG,證明AOAE三A/IBG,可求出AFBG是等腰直角三角形，可得NGFB=45°,

可求出N7M'G=90°，取FG的中點。，連接。4',。8，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得

出。4'=OF=OG=OB，可推出點力’，F(xiàn),B,G都在以FG為直徑的。。上，

利用圓周角定理即得ZG4'B=NGFB=45。；

(3)設(shè)AB=3a，則40=BC=3a,AF=2a,AE=BF=a,利用銳角三角函數(shù)可求出丘=

AA

|.設(shè)4'F=k，則44'=3k，在RtAA,力F中，由勾股定理求出AF=JJUk,從而求出/c=

叵,4'尸=叵，在中，由勾股定理求出AG="Ua,繼而求出"=?=求出1

55AGCG2

AFB=ZAGC，可證△A'FB?△A'GC，可得”=冬=L即得4'C=2A'B.

ACCG2

25.已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個公共點.

(1)若拋物線過點P(0,l)，求a+b的最小值；

(已知點中恰有兩點在拋物線上.

2)P1(-2)1),P2(2,-1),P3(2,1)

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線I：y=kx+l與拋物線交于M,N兩點，點A在直線y=-l上，且/MAN=90°,過

點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點B,C.求證：△MAB與4MBC的面積相等.

【答案】(1)解：因為拋物線'=。/+必+。與x軸只有一個公共點，

以方程a/+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

所以A=b2—4ac=0,即廬=4ac.

因為拋物線過點P(0,l)，所以c=1,

所以爐=4a,即a=Q.

4

所以a+b=Q+b=2(b+2)2-l,

44、,

當(dāng)b=-2時，a+/?取到最小值一1.

(2)解：①因為拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個公共點，

所以拋物線上的點只能落在x軸的同側(cè).

又點P](-2,1),02(2,-4),03(2,1)中恰有兩點在拋物線的圖象上，

所以只能是Pi(-2,1),。3(2,1)在拋物線的圖象上，

由對稱性可得拋物線的對稱軸為x=0,所以匕=0,

即