廣東省汕頭市植英中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

廣東省汕頭市植英中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在正方體中，分別為棱和之中點(diǎn)，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為，則，，，故選D.考點(diǎn)：1、空間向量的應(yīng)用；2、空間向量夾角余弦公式.2.在等差數(shù)列中，若，則的值為

A．14

B．15

C．16

D．17參考答案：C3.已知,,那么的值為（）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知雙曲線的左、右兩個焦點(diǎn)分別為，，，為其左右頂點(diǎn)，以線段，為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B5.設(shè)A，B為兩個不相等的集合，條件p：x?（A∩B），條件q：x?（A∪B），則p是q的(

) A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：集合；簡易邏輯．分析：根據(jù)集合關(guān)系，以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解答： 解：當(dāng)x∈A，且x?（A∩B），滿足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x?（A∪B，則x?（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分條件，故選：C點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6.如果（，表示虛數(shù)單位），那么(

)

A．1

B．

C．2

D．0參考答案：A略7.按照如圖的程序運(yùn)行，則輸出的K值為（） A．2 B． 3 C． 4 D． 5參考答案：B8.數(shù)列滿足（且），則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知函數(shù)f（x）=g（x）=，則函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先求得f[g（x）]的解析式，x≥0時，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0時，由=0，可解得：x=﹣，從而可求函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和．【解答】解：∵f（x）=g（x）=，∴f[g（x）]=，且f[g（x）]=x2﹣2x+2，（0＜x＜2）分情況討論：①x≥2或x=0時，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；②x＜0時，由=0，可解得：x=﹣．③當(dāng)0＜x＜2時，由x2﹣2x+2=0，無解．∴函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和是1=．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考察了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于基本知識的考查．10.對于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)，如果同時滿足以下三個條件：

①對任意的，總有

②

③若，，都有成立；

則稱函數(shù)為理想函數(shù).

下面有三個命題：（1）若函數(shù)為理想函數(shù)，則；（2）函數(shù)是理想函數(shù)；（3）若函數(shù)是理想函數(shù)，假定存在，使得，且，

則；其中正確的命題個數(shù)有（

）

A.0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則a的值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，根據(jù)指數(shù)函數(shù)一定為單調(diào)函數(shù)，則最大值與最小值的和一定等于a+1，由此構(gòu)造方程，解方程即可得到答案．【解答】解：若a＞1，則指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上單調(diào)遞增；則指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上的最小值與最大值分別為1和a，又∵指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則a+1=3，解得a=2若0＜a＜1，則指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上單調(diào)遞減；則指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值分別為1和a，又∵指數(shù)函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則a+1=3，解得a=2（舍去）故答案為：2【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)指數(shù)函數(shù)一定為單調(diào)函數(shù)，則最大值與最小值的和一定等于a+1，并構(gòu)造出關(guān)于a的方程，是解答本題的關(guān)鍵．12.若，在第三象限，

則

。參考答案：13.設(shè)則=

。

參考答案：-214.已知向量=，=，函數(shù)=.（1）求函數(shù)的對稱中心；（2）在中，分別是角的對邊，且，，且，求的值．參考答案：略15.設(shè)是一元二次方程的兩個虛根.若，則實(shí)數(shù)

．參考答案：416.(不等式選講)若實(shí)數(shù)滿足,則的最大值為_________.參考答案：由柯西不等式得：，所以，所以的最大值為。17.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，（其中b為常數(shù)），則___________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列的公差大于0,且是方程的兩根,數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,求證:;(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：略19.(本題滿分15分)已知數(shù)列滿足，（1）若數(shù)列是常數(shù)列，求m的值；（2）當(dāng)時，求證：；（3）求最大的正數(shù)，使得對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論。參考答案：解：（1）若數(shù)列是常數(shù)列，則，得。顯然，當(dāng)時，有。

…………3分（2）由條件得，得。 ………………5分又因?yàn)?，，兩式相減得。

……7分顯然有，所以與同號，而，所以，從而有。…………9分（3）因?yàn)椋?/p>

……………10分所以。這說明，當(dāng)時，越來越大，顯然不可能滿足。所以要使得對一切整數(shù)n恒成立，只可能?！?2分下面證明當(dāng)時，恒成立。用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，顯然成立。假設(shè)當(dāng)時成立，即，則當(dāng)時，成立。由上可知對一切正整數(shù)n恒成立。因此，正數(shù)m的最大值是2.

……15分

20.已知拋物線C：y2=2px（p＞0）與直線y=x+1相切．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上兩個動點(diǎn)，其中x1≠x2，且x1+x2=4，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于點(diǎn)Q，求△ABQ面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）聯(lián)立拋物線方程與直線方程消x得y2﹣2py+2p=0，利用△=0，求出p，即可求拋物線的方程；（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M（2，，求出線段AB的垂直平分線的方程，直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，進(jìn)而可得S△ABQ，利用換元法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識，即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）聯(lián)立拋物線方程與直線方程消x得y2﹣2py+2p=0，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以△=4p2﹣8p=0?p=2，所以拋物線C的方程是y2=4x．

…（2）依題意可設(shè)直線AB：y=kx+m（k≠0），并聯(lián)立方程y2=4x消x得ky2﹣4y+4m=0，因?yàn)椤鳎??mk＜1①，且②③又y1+y2=k（x1+x2）+2m=4k+2m，并且結(jié)合②得④，把④代入①得

，⑤…設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M（2，，直線l：，令y=0?x=4?Q（4，0），…設(shè)直線AB與x軸相交于點(diǎn)D則，0），所以=，⑥把②③④代入⑥并化簡得S△ABQ=．

…設(shè)=t，由⑤知t＞0，且，S△ABQ=12t﹣4t3，令f（t）=12t﹣4t3，f'（t）=12﹣12t2=12（1﹣t）（1+t），當(dāng)0＜t＜1時，f'（t）＞0，當(dāng)t＞1時，f'（t）＜0，所以，當(dāng)t=1時，此時k=±1，函數(shù)f（t）取最大值f（1）=8，因此△ABQ的面積的最大值為8，直線l的方程為y=±x．…21.某高中畢業(yè)學(xué)年，在高校自主招生期間，把學(xué)生的平時成績按“百分制”折算，排出前n名學(xué)生，并對這n名學(xué)生按成績分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60．（Ⅰ）請?jiān)趫D中補(bǔ)全頻率分布直方圖；（Ⅱ）若Q大學(xué)決定在成績高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試．①若Q大學(xué)本次面試中有B、C、D三位考官，規(guī)定獲得兩位考官的認(rèn)可即面試成功，且面試結(jié)果相互獨(dú)立，已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為、，，求甲同學(xué)面試成功的概率；②若Q大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生接受考官B的面試，第3組中有ξ名學(xué)生被考官B面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；B3：分層抽樣方法；B8：頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由第四組的人數(shù)能求出總?cè)藬?shù)，由此能補(bǔ)全頻率分布直方圖．（Ⅱ）①設(shè)事件A=甲同學(xué)面試成功，由此利用獨(dú)立事件概率公式能求出甲同學(xué)面試成功的概率．②由題意得，ξ=0，1，2，3，分別求出其概率