連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量3.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念.定義

設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{X

x}的概率P{X

x}稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{X

x}.

易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{X

b}－P{X

a}＝F(b)－F(a).第2頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)

F(x2);2、歸一性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0

F(x)

1，且

3、左連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。第3頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…

其分布函數(shù)為

例設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。第4頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天例向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，求X的分布函數(shù)解：

F(x)=P{X≤x}

當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時(shí),特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1第5頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.2連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度

1.定義對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-

<x<+

)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-

<x<+

)第6頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天密度函數(shù)的幾何意義為第7頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天密度函數(shù)的性質(zhì)(1)非負(fù)性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

例設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求常數(shù)a.答:第8頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則例設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求f(x)第9頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天（4）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則P{X=b}＝0。于是第10頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布1.均勻分布

若X～f(x)＝則稱(chēng)X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)對(duì)任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有第11頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天例長(zhǎng)途汽車(chē)起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車(chē)，設(shè)乘客不知發(fā)車(chē)時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站，求乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率1545解：設(shè)A—乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)第12頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.指數(shù)分布

若

X～則稱(chēng)X服從參數(shù)為

>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為第13頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布ABA，B間真實(shí)距離為，測(cè)量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？第14頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中為實(shí)數(shù)，

>0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機(jī)變量第15頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

(1)單峰對(duì)稱(chēng)

密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)； f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個(gè)特性：第16頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)

的大小直接影響概率的分布

越大，曲線越平坦，

越小，曲線越陡峻。正態(tài)分布也稱(chēng)為高斯(Gauss)分布第17頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。第18頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為第19頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書(shū)均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱

(x)的值。(P226附表1)如，若Z~N（0，1）,

（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；(2)若X～N(,2)，則第20頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天例設(shè)隨機(jī)變量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?例設(shè)

X

N(

,

2),求

P{

-3

<X<

+3

}本題結(jié)果稱(chēng)為3

原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3

作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.第21頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.3多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量聯(lián)合密度邊際密度相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第22頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)

R2,則稱(chēng)F(x,y)=P{X

x,Y

y}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：分布函數(shù)F()表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域中的概率。如圖陰影部分：第23頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<y

y2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)第24頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：且(1)歸一性

對(duì)任意(x,y)

R2,0

F(x,y)

1,第25頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

(2)單調(diào)不減

對(duì)任意y

R,當(dāng)x1<x2時(shí)，F(xiàn)(x1,y)

F(x2,y)；對(duì)任意x

R,當(dāng)y1<y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)

F(x,y2).(3)右連續(xù)

對(duì)任意x

R,y

R,

第26頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)矩形不等式

對(duì)于任意(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。第27頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天例已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為1)求常數(shù)A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:第28頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)1、定義

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使對(duì)

(x,y)R2，其分布函數(shù)則稱(chēng)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為

(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2第29頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)的性質(zhì)(1)非負(fù)性：f(x,y)

0,(x,y)

R2;(2)歸一性：

反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)f(x,y)，必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。此外，f(x,y)還有下述性質(zhì)(3)若f(x,y)在(x,y)

R2處連續(xù)，則有第30頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)對(duì)于任意平面區(qū)域G

R2,例設(shè)求:P{X>Y}G第31頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布(p45)

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(chēng)(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布。易見(jiàn)，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布，對(duì)D內(nèi)任意區(qū)域G，有第32頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中，

1、2為實(shí)數(shù)，

1>0、

2>0、|

|<1，則稱(chēng)(X,Y)服從參數(shù)為

1,2,1,2,的二維正態(tài)分布，可記為

(2)二維正態(tài)分布N(

1,2,1,2,)

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為(P101)第33頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。事實(shí)上，對(duì)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，F(xiàn)(x1,x2,…,xn)＝P(X1

x1,X2

x2,…,Xn

xn)稱(chēng)為的n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。定義n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)使對(duì)任意的n元立方體第34頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱(chēng)P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)為n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。則稱(chēng)(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度。第35頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天FY(y)＝F(+

,y)＝＝P{Yy}稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊際分布函數(shù).

邊際分布與獨(dú)立性

邊際分布函數(shù)FX(x)＝F(x,+

)＝＝P{X

x}稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊際分布函數(shù)；邊際分布實(shí)際上是高維隨機(jī)變量的某個(gè)(某些)低維分量的分布。第36頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天邊際密度函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊際密度函數(shù)。設(shè)(X,Y)～f(x,y),(x,y)

R2,則稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于X的邊際密度函數(shù)；同理，稱(chēng)易知N(

1,2,12,22,)的邊際密度函數(shù)fX(x)是N(

1,12)的密度函數(shù)，而fX(x)是N(

2,22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊際分布也是正態(tài)分布。第37頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義稱(chēng)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)a<b,c<d，有p{a<X

b,c<Y

d}=p{a<X

b}p{c<Y

d} 即事件{a<X

b}與事件{c<Y

d}獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立。定理隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的充分必要條件是

F(x,y)=FX(x)FY(y)第38頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意i,j，Pi,j=Pi

.P

j。由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊際分布，再看是否對(duì)(X,Y)的每一對(duì)可能取值點(diǎn),邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可第39頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義.設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,...xn),(X1,X2,...Xn)的k（1k<n)維邊際分布函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1,X2）的邊際分布函數(shù)是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的邊際分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,…,n,n維隨機(jī)變量的邊際分布與獨(dú)立性

則稱(chēng)X1,X2,...Xn

相互獨(dú)立，或稱(chēng)(X1,X2,...Xn)是獨(dú)立的。第40頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于離散型隨機(jī)變量的情形，若對(duì)任意整數(shù)i1,i2,…,in及實(shí)數(shù)有則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立。

設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若對(duì)任意的(x1,x2,…,xn)

Rn，f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)幾乎處處成立，則稱(chēng)X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。第41頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...,Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,...,xn)；m維隨機(jī)變量(Y1,Y2,…,Ym)的分布函數(shù)為FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...,Xn,Y1,Y2,…,Ym組成的n+m維隨機(jī)變量（X1,X2,...,Xn,Y1,Y2,…,Ym)的分布函數(shù)為F（x1,x2,...,xn,y1,y2,…,ym).如果F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)則稱(chēng)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)與m維隨機(jī)變量(Y1,Y2,…Ym)獨(dú)立。第42頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理設(shè)(X1,,X2,…,Xn)與(Y1,Y2,…，Ym)相互獨(dú)立，則Xi(i=1,2,…,n))與Yi(i=1,2,…,m)相互獨(dú)立；又若h,g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,,X2,…,Xn)與g(Y1,Y2,…，Ym)相互獨(dú)立.第43頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)1、一般的方法：分布函數(shù)法若(X1,X2,…,Xn)~f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn),則可先求Y的分布函數(shù):然后再求出Y的密度函數(shù):第44頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù)(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)

R2,求Z＝X＋Y的密度。

zx+y=z

x+yz

若X與Y相互獨(dú)立，則Z＝X＋Y的密度函數(shù)

第45頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天例設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。一般地，設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，...,Xn獨(dú)立且Xi服從正態(tài)分布N(

i,i2),i=1,...,n,則第46頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)商的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)

R2,求Z＝的密度。

y

G1

0x

G2特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，上式可化為

其中fX(x),fY(y)分別為X和Y的密度函數(shù)。

第47頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3、極大(小)值的分布設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，記M＝max{X1,X2,…,Xn},N＝min{X1,X2,…,Xn}則，M和N的分布函數(shù)分別為：FM(z)＝F1(z)…Fn(z)第48頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

特別，當(dāng)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布(分布函數(shù)相同)時(shí)，則有FM(z)＝[F(z)]n;FN(z)＝1－[1－F(z)]n.進(jìn)一步地，若X1,X2,…,Xn獨(dú)立且具相同的密度函數(shù)f(x)，則M和N的密度函數(shù)分別由以下二式表出fM(z)＝n[F(z)]n－1f(z)；fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f(z).

第49頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)

1、一般方法

若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù)

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函數(shù)此法也叫“

分布函數(shù)法”第50頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則

注：1、只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。2、注意定義域的選擇其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù).第51頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第52頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義若X~f(x),-<x<,

為X的數(shù)學(xué)期望.則稱(chēng)

一.數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征第53頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天例若隨機(jī)變量X服從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為試求E(X).解第54頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.幾個(gè)重要r.v.的期望1.均勻分布U(a,b)第55頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.指數(shù)分布第56頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.正態(tài)分布N(

,

2)第57頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

定理若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,則Y=g(X)的期望E(g(X))為

推論:若(X,Y)～P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,則Z=g(X，Y)的期望三.隨機(jī)變量函數(shù)的期望第58頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理若X~f(x),-<x<,則Y=g(X)的期望推論若(X,Y)~f(x,y),-<x<,-<y<,則Z=g(X,Y)的期望第59頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.均勻分布U(a,b)：2.指數(shù)分布：3.正態(tài)分布N(

,

2)：二.幾個(gè)重要r.v.的方差第60頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天三.切比雪夫不等式若r.v.X的期望和方差存在，則對(duì)任意0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等價(jià)的形式：第61頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天

協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)

一.協(xié)方差定義與性質(zhì)

1.協(xié)方差定義若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱(chēng)COV(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}.為X與Y的協(xié)方差,

易見(jiàn)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).

當(dāng)COV(X,Y)=0時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？第62頁(yè),共70頁(yè)，2024年2月25日，星期天例設(shè)(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2

1}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨(dú)立的。2.協(xié)方差性質(zhì)

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)