函數(shù)綜合課件

函數(shù)綜合

1、函數(shù)及其表示

一、知識歸納

1、函數(shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個

數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B

的一個函數(shù)(function).記作：y=f(x),x￡A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做

函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xGA｝叫做函數(shù)的值域.

注意：①“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x.

2、函數(shù)三要素：、、

3、函數(shù)的表示方法：、、

4、分段函數(shù)：

對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則(解析式)，這樣的函數(shù)通常叫

做分段函數(shù)。它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的______,

值域也是各段函數(shù)值域的

x+l(x>1)

例如:f(x)=<

x-l(x<l)

5、復(fù)合函數(shù)：

設(shè)y=f(u),u=g(x),則y=f(u)=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，其中y=f(u)稱為外層函數(shù)，u=g(x)

稱為里層函數(shù)。

例如：f(x)=-................可以看做是由/(〃)=二和a(x)=x?+2x+3復(fù)合而成的

x+2x+3u

6、區(qū)間：

｛x\a<x<6｝用區(qū)間表示為｛x|a<xWb｝用區(qū)間表示為

｛x|a<x<b｝用區(qū)間表示為｛y\a<x<b｝用區(qū)間表示為

｛x|x>a｝用區(qū)間表示為｛x|x<b｝用區(qū)間表示為

｛小2a｝用區(qū)間表示為｛x|x<b｝用區(qū)間表示為

二、典例

考點1:函數(shù)基本概念

1、下面可能表示函數(shù)的圖象的是(

2、已知：f(x)=xJ-x+3貝ij/'(3)=_______________f[—)=/(x+l)=

x

考點2：復(fù)合函數(shù)的定義域

常見的函數(shù)定義域有以下幾個：

①y=,則________________；②y=W/(x)(〃eN*)則___________：

g(x)

③V=，則:

1、求下列函數(shù)的定義域

⑴/(》)=—(2)f(x)=--

x-\x\

1+-

X

A/4-X2

(3)f(x)=7-x2-4X4-5

(4)f(x)=

x-l

(5)f(x)=A/X2-6X+10(6)f(x)=Jl-x+Jx+3—1

2、函數(shù)外)=丫_:的定義域為()

A.[―°°,4]B.[4,+°°)

C.(―0°,4)D.(一8,1)U(1,4]

3、下表表示N是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()

X0<x<55^x<1010^x<1515?20

y2345

A.[2,5]B.N

C.(0,20]D.{2,3,4,5}

4、函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的定義域為

5、若有意義，則函數(shù)y=x2-6x+7的值域是

考點3：抽象函數(shù)的定義域

抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù),對于其的

定義域我們要緊緊的抓住以下兩點：

①無論/(x)還是的定義域都是指x的取值范圍所組成的集合;

②/(x)與/[例X)]在/記號里面的取值范圍一致

6、求下列函數(shù)的定義域

(1)已知函數(shù)/(x)的定義域為[0,1],求函數(shù)/(x+1)的定義域

(2)已知函數(shù)/(2x+l)的定義域為[1,2],求函數(shù)/(x)的定義域

,1

(3)已知函數(shù)/'(》2—1)的定義域為(2,5),求函數(shù)/(一)的定義域

X

(4)己知函數(shù)人》2—1)的定義域為[0,3],求函數(shù)卜=危)的定義域.

(5)改為.危)的定義域為[0,3],求夕=兀？-1)的定義域.

(6)已知./(x)的定義域是[一2,4],求/”-3x)的定義域.

考點4：常見函數(shù)的值域求法

1、一元二次函數(shù)

求下列函數(shù)的值域

(1)y=x2+2x+4(2)y=x1—2x+3(-2<x<2)

2、換元法

求下列函數(shù)的值域

(1)y—X—Jl-2x(2)y—x+4jl-x

3、分離系數(shù)法一分式

求下列函數(shù)函數(shù)的值域

⑴好言

(2)/(%)=(X^0)

1+2x

4、求下列函數(shù)的值域.

2

、X"-X

2

(l)y=x+2x,xG[0,3]；⑵產(chǎn)》2—x+l；

/x—34

干;(5)y=x+,

3.(2013?溫州模擬)若函數(shù)在區(qū)間［a,句上的值域為［/，1，貝！Ia+b=

考點5：常見函數(shù)解析式求法

1、換元法

(1)已知/(&萬)=2%-3,求f(x)的解析式

2、配湊法

(1)己知/。+!)=/+4,求/(x)的解析式

XX

3、待定系數(shù)法一已知函數(shù)類型

(1)已知/(x)是一元二次函數(shù)，且滿足/(2+x)=/(2-x),且該函數(shù)的圖像經(jīng)過

(2,1)和(1,2)求/(X)。

(2)已知/(x)是一元二次函數(shù)，且/(x+l)+/(x—1)=2X2-4X+4,求/(x)。

[變式訓(xùn)練]

1.若函數(shù)外)的值域是仕，3,則函數(shù)產(chǎn)(x)=/(x)+看的值域是()

riJ「5/]

A.y5B.4,5

C._2,y]D[3,y]

2.已知函數(shù)人也+2)=x+2*,則函數(shù)人x)的值域為.

考點6：分段函數(shù)

分段函數(shù)問題，一定要分段討論

x+2(x<-1)

1、己知，(幻=卜(一l<x<2),若/(x)=3,則x的值是()

2x(x>2)

B.1或2C.1,3或±力D.V3

A.1

22

2、設(shè)函數(shù)/(X)/X2+6X+C，X40，X4(),茍■(_4)=/(O)J(_2)=—2,則關(guān)于X的方程/(X)=X

2,x>0.

解的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

x-2,(x>10)

3、設(shè)f(x)=<則/(5)的值為()

/"'(x+6)],(x<10)

A.10B.11C.12D.13

(x+1)，%<1

4、設(shè)函數(shù)/(x)=/，，則使得/(x)21的自變量x的取值范圍為()

4--y/X—X21

A、(一汽—2]U[0,10]B.(-oo,-2]U[0,l]C,(-oo,-2]U[l,10]D,[-2,0)U[1,10]

一x—l(x20),

2茍”)>a則實數(shù)a的取值范圍是,

5、設(shè)函數(shù)=

-(x<0).

J

考點7：同一函數(shù)

當(dāng)兩個函數(shù)的三要素完全相同時，兩個函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。

1、判斷下列每組函數(shù)是否為同一函數(shù)，問什么？

1(x+3)(x-5)

L弘二------------y2-x-5

x+3

2.M=JX+1JX-1y2=J(x+l)(x-l)

3.f(x)=xg(x)=7P"

4./(x)=xF(x)=Vx7

5./；(x)=(j2x—5)2/2(X)=2X-5

一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

1.已知。為實數(shù)，則下列函數(shù)中，定義域和值域都有可能是R的是（）

A.J（x）—x'+aB.J（x'）—ax2+1

C.y（x）=ax2+x+1D.&）=/+“田+1

2.已知等腰△/BC周長為10,則底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y=10—2x,則函

數(shù)的定義域為（）

A.RB.{小>0}

C.{x|0<r<5}

3.設(shè)M={x|-2<x<2},N={y|0WyW2},函數(shù)人x）的定義域為值域為N,則./（x）

的圖象可以是（）

4.（2013?南昌模擬）函數(shù)y=Vx（x—1）一層的定義域為（）

A.{x|x>0}B.{小21}

C.{小》1,或x<0}D.{x|0<x^l}

5.函數(shù)v=2—q—f+4x的值域是（)

A.[-2,2]B.[1,2]

C.[0,2]D.［一也,也］

,|g(x)+x+4,x<g(x),

6.設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(xWR),寅x)=,、,則外)的值域是()

lg(x)—x,x3g(x),

A.[一看，0U(1,+?>)

B.[0,+8)

一

一99

-o

c一

-4D-

甲U(2,+8)

一

一

二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

7'函數(shù)產(chǎn)帚力的定義域是——

8.設(shè)x泊則函數(shù)產(chǎn)丐產(chǎn)的最小值是

9.（2013?廈門模擬）定義新運算“十”：當(dāng)時，a9h=a；當(dāng)時，a十6=”.設(shè)

函數(shù)/(x)=(l十x)x—(2十x),x￡[-2,2],則函數(shù)/(x)的值域為.

三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)

10.若函數(shù)/(x)=$2—x+a的定義域和值域均為口，切S>1),求a,6的值.

12.已知函數(shù)於)=x2+4ax+2a+6.

(1)若函數(shù).火x)的值域為[0,+8),求。的值；

(2)若函數(shù)4x)的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，求g(a)=2—。|〃+3|的值域.

弟三節(jié)的教的單調(diào)性與最值

［42代)?加羽整合］

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義:

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù).信)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩

個自變量的值X”物

定義

當(dāng)X1<X2時，都有那么就說函當(dāng)不。2時，都有上1)>?2),那么就

數(shù)/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)說函數(shù);(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

&卜

圖象描述

-01x7*2X

自左向右看圖象是逐漸上升的自左向右看圖象是逐漸下降的

(2)如果函數(shù)夕=危)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D具有

(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

［探究］1.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)U(0,+°°),這種表示法對嗎？

2.函數(shù)/(x)在區(qū)間［“，6］上單調(diào)遞增與函數(shù)兀0的單調(diào)遞增區(qū)間為以，句含義相同嗎？

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)v=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足

對于任意XG/,都有對于任意xG/,都有力x)》M；

條件

存在尤0《/，使得色應(yīng)三四.存在x()e/,使得

結(jié)論M為最大值M為最小值

I探究］3.函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值反映在其圖象上有什么特征？

［俞一?牛力小武］

2

1.(教材習(xí)題改編)數(shù)加)=￡7［，xG［2,6］,則下列說法正確的有()

①函數(shù)兀0為減函數(shù)；②函數(shù)八x)為增函數(shù)；③函數(shù)兀0的最大值為2；④函數(shù)7U)的最

小值為

A.①③B.①③④

C.②③④D.②④

2.函數(shù)y=(2%+l)x+b在(-8,+8)上是減函數(shù)，則()

C.k>—2D.k<—2

3.已知函數(shù)及49R上的減函數(shù)，則滿足彳［?)勺U)的實數(shù)x的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-l,0)U(0,l)D.(一8,-l)u(l,+~)

4.(教材習(xí)題改編次0=乂2—24'卡［-2,4］)的單調(diào)遞增區(qū)間為;/(X)max=

5.(教材習(xí)題改編)若函數(shù)/(x)=4x2一丘一8在［5,20］上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)A的取

值范圍是.

6、設(shè)函軀(x)=(2a-l)x+b是R上的減函數(shù)，則a的范圍為()

11

A.aN—B.一C.a>——D.a<—

2222

7、若函數(shù)y=o?_2x+l在［1,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

8、函數(shù)?=,—d一2、+3的增區(qū)間是().

A.［-3,-1］B.［-1,1］C.(-°°,-3)D.

9、函數(shù)y=7="^=的單調(diào)遞增區(qū)間為()

Jx~—2x—80

A.(-8,-8)B.(一0°,1)C.(1,-K>o)D.(-8,

是QT1函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明

［例1］已知函數(shù)兀0=出?+1—ax,其中a>0.

⑴若1),求a的值；

(2)證明：當(dāng)時，函數(shù)式x)在區(qū)間［0,+8)上為單調(diào)減函數(shù).

［方法.觀幻______________________________

判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的兩種方法

(1)利用定義的基本步驟是：

I取值I作差(商)變形］確定符號I4得出結(jié)論

||睢KUH練

1.討論函數(shù)兀0=*，(心0)的單調(diào)性.

［例2］求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(l)_y=—X2+2|X|+3；

［方法.規(guī)的______________________________

1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須首先確定函數(shù)的

定義域，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的運算應(yīng)該在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.

2.求復(fù)合函數(shù)y=〃(x)J的單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定定義域；

(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：y=/,),w=g(x)；

(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(4)若這兩個函數(shù)同增或同減，則y=/［g(x)］為增函數(shù)；若一增一減，則y=〃(x)］為減函

數(shù)，即“同增異減”.

■國tUH練

2.求函數(shù)y=-x2+x—6的單調(diào)區(qū)間.

X2+tZ

［例3］已知函數(shù)/(幻=7(〃>0)在(2,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

者Q四］1函數(shù)的最值與應(yīng)用

?

［例4］(2013?昆明模擬)已知函數(shù)人x)=---------,xe［l,+oo).

(1)當(dāng)a=g時，求函數(shù)/(X)的最小值；

(2)若對任意xe［l,+<=°),/(x)>0，恒成立，試求實數(shù)。的取值范圍.

1.恒成立問題的解法

⑴機》(X)恒成立<=>/n?(X)max；

⑵加勺(X)恒成立命"勺(X)mim

IIIK^訓(xùn)練

4.設(shè)函數(shù)—)=f-1,對任意Xd|,+8),.島)-4加2/)(/(*-1)+相機)恒成立,

求實數(shù)〃，的取值范圍.

［通法-----方納領(lǐng)悟］

2個防范——函數(shù)單調(diào)區(qū)間的記法及性質(zhì)的易誤點

(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.單調(diào)區(qū)間

要分開寫，即使在兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，也不能用并集表示.

⑵兩函數(shù)./(x),g(x)在xW(a,b)上都是增(減涵數(shù)，則於)+g(x)也為增(減涵數(shù)，但<x>g(x),

六等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比.

2種形式——單調(diào)函數(shù)的等價變形

設(shè)任意X],b]S.X]<X29那么

(1/3)—於2)>0㈡但一X2)[AX|)-/(X2)]>OQ/(X)在①，切上是增函數(shù)；

X]-%2

⑵曲士&辿<O0(X]—X2)[AX|)-AX2)]<O0/(X)在[。，〃上是減函數(shù).

X\一%2

4種方法——函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有以下四種：

(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論；

(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù);

(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性.

[變式訓(xùn)練]

1,x>0,

1.設(shè)函數(shù)/(x)=<0，x=0，g(x)=x2/(x—1),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是()

「1,x<0,

A.(一8,0]B.[0,1)

C.[1,+8)D.[-1,0]

一、選擇題

4.(2013?濰坊模擬)已知函數(shù).危)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)

時，[AX2)-XX,)].(X2-XI)<0恒成立，設(shè)。=/(—，，b=a，。={3)，則a,b,c的大小關(guān)

系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)

10.已知函數(shù)/(x)=[—：(。>0,x>0).

⑴求證：於)在(0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)若麻)在已21上的值域是停2],求a的值.

11.已知函數(shù)/(x)對任意的a,bCR恒有貝a+b)=/(a)+/(6)-l,并且當(dāng)x>0時，兀.

(1)求證：兀0是R上的增函數(shù)；

(2)若./(4)=5,解不等式./(3〃/一加一2)<3.

第四節(jié)舀數(shù)的奇偶性與周期性

［帕林?知在整合］

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

一般地，如果對于函數(shù)人X)的定義域內(nèi)任意一個X,都

偶函數(shù)關(guān)于謝對稱

有/(—x)=/(x),那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個X,都

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

有/(—X)=—/(X),那么函數(shù)兀V)就叫做奇函數(shù)

［探究］1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域具有什么特點？它是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？

2.若/(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義，是否有/(0)=0?如果是偶函數(shù)呢？

3.是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？若有，有多少個？

2.周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有位

+D=/U),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)_/(x)的所有周期中存在一個量小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做/U)

的最小正周期.

4.若T為夕=兀0的一個周期，那么〃T(〃ez)是函數(shù)外)的周期嗎？

［匈部牛力小丁］

i.(教材習(xí)題改編)下列函數(shù)是奇函數(shù)的有()

42

?/(X)=2X+3X:②/(X)=X3-2X；

*+1

③Ax)=一^-；④Ax)=d+i.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

2.(2013?鄭州模擬)設(shè)函數(shù)段)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成

立的是()

A.Kx)+|g(x)|是偶函數(shù)

B.人r)—|g(x)|是奇函數(shù)

C.l/U)|+g(x)是偶函數(shù)

D.g(x)是奇函數(shù)

3.設(shè)於)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)04W1時，y(x)=241—x),則7(一1)=()

1

A-

B.4

1

D2-

4.(2012?重慶高考)若人x)=(x+a)(x—4)為偶函數(shù)，則實數(shù)。=.

|雪點H判斷函數(shù)的奇偶性

［例1］判斷下列函數(shù)的奇偶性

(l)/(x)=—x+,\Jx2—3；

(2雙,)=*二？

(3?(x)=(x+l)

判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)首先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則既不是奇函數(shù)也

不是偶函數(shù).

(2)若定義域關(guān)于原點對稱，則可用下述方法進(jìn)行判斷：

①定義判斷：y(—x)=/(x)0/(x)為偶函數(shù)，

X—X)=—Kx)e/(x)為奇函數(shù).

②等價形式判斷：/(—x)—/(x)=OQ/U)為偶函數(shù)，

X-x)+/(x)=Oe/(x)為奇函數(shù).或等價于。三=1,則Xx)為偶函數(shù)；與"=一1，則

/(X)為奇函數(shù).

(3)對于分段函數(shù)的奇偶性的判斷應(yīng)分段進(jìn)行.

(4)對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，應(yīng)充分利用定義，巧妙賦值，通過合理、靈活地變形

配湊來判定.

||臉：UII練

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性

fx2+x(x>0),

(1求X)=2(G

[x—x(x<0)；

音后二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

[例2]⑴(2012?上海高考)已知是奇函數(shù)，且負(fù)1)=1.若g(x)=/(x)+2,則g(一

1)=.

(丫+1sinx

(2)(2012?新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)危尸1-----的最大值為A/,最小值為加，則M+

m=.

[方法?胡彳打__________________________________

與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解決方法

(1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值

將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為己知區(qū)間上的函數(shù)值求解.

(2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式

將待求區(qū)間上的自變量，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)

造關(guān)于兀0的方程(組)，從而得到_/(x)的解析式.

(3)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值，常常利用待定系數(shù)法：利用./(x)±/(-

x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解.

(4)應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性，利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另

一區(qū)間上的單調(diào)性.

11^0訓(xùn)練

2.(1)設(shè)義x)為定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x》0時，Xx)=2*+2x+bS為常數(shù))，則八一1)

=()

A.-3B.—1

C.1D.3

(2)已知函數(shù)/(x)在區(qū)間［-5,5］上是奇函數(shù)，在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，且負(fù)3)勺(1),則

()

A../(-D<X-3)B.人0)/—1)

C.人一1)勺(1)D.人—3)?—5)

［通法——歸納領(lǐng)悟］

2個特點——奇、偶函數(shù)的定義域及關(guān)系式的特點

(1)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性

的必要不充分條件.

(2次一x)=一/(x)或式-x)=/(x)是定義域上的恒等式.

5個性質(zhì)——函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于

原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

(2)若/(X)為偶函數(shù)，則人一x)=/a)=/(M).

(3)若奇函數(shù)兀0定義域中含有0,則必有負(fù)0)=0.

/(0)=0是<x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.

(4)定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函

數(shù)的和(或差)”.

(5)設(shè)火幻，g(x)的定義域分別是。”D2,那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇

*奇=偶，偶+偶=偶，奇乂偶=奇.

3種方法——函數(shù)奇偶性的判斷方法

判斷函數(shù)的奇偶性一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法.

3條結(jié)論——關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論

(1)若滿足/(x+a)=-左)，則?x+2a)=/［(x+a)+a］=-/(x+a)=/(x),所以2。是函數(shù)

的一個周期(。彳0);

(2)若滿足/(x+a)=〃則_/(x+2a)=/［(x+a)+“］=“-所以2a是函數(shù)的一

J\x)J\x'4)

個周期(a￥0)；

(3)若函數(shù)滿足兀v+a)=-六，同理可得2a是函數(shù)的一個周期(a#0).

一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

1.(2012?陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.y=x+lB.y=-x3

C.y=~D.y=x\x\

2.已知./(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足?c+4)=/(x),則｛8)=()

A.0B.1

C.2D.3

3.設(shè)偶函數(shù)在(0,+8)上為減函數(shù)，且五2)=0,則不等式?邛工0的解集為

()

A.(-2,0)U(2,+8)B.(-8,-2)U(0,2)

C.(-8,-2)U(2,+°°)D.(-2,0)U(0,2)

5.(2013?廣州模擬)己知定義在R上的奇函數(shù)人x)滿足大x-4)="/x),且在區(qū)間［0,2］

上是增函數(shù)，則()

A.大-25)勺(11)勺(80)B.X80)</(ll)</(-25)

C../(11)</(80)<^-25)D../(-25)<A80)</(H)

二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

6.若函數(shù)y(x)=ar2+bx+3a+b是偶函數(shù),定義域為］。-1,勿］,則a=,b=.

7、己知/(x)為奇函數(shù)，g(x)=/(x)+9,g(—2)=3M/X2)=

8、已知/'(》)=》2。11+辦3—2一8,/"(—2)=10,求/'(2)=

X

9、函數(shù)/(X)在R上為奇函數(shù)，且/(x)=V7+l,x>0,則當(dāng)x<0,

f(%)=.

10、如果奇函數(shù)/(x)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)且最大值為5,那么/(x)在區(qū)間［-7,-3］上是

()

A.增函數(shù)且最小值是-5B.增函數(shù)且最大值是-5

C.減函數(shù)且最大值是-5D.減函數(shù)且最小值是-5

11、若偶函數(shù)/(X)在(一8,-1］上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()

A./(-|x/(-l)</(2)B./(-1)</(-|)</(2)

12、若函數(shù)/(x)=(左—2)x?+(左—l)x+3是偶函數(shù)，則/(x)的遞減區(qū)間是

13、函數(shù)了=一一+|》|,單調(diào)遞減區(qū)間為,最大值和最小值的情況為

14、設(shè)奇函數(shù)/(x)的定義域為［-5,5］,若當(dāng)xe［0,5］時，/(x)的圖象如右圖，則不等式

/(x)<0的解是

15、已知偶函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,—)上單調(diào)增加，則滿足/'(2X-1)</(；)的x取值范圍是.

16、定義在(一1,1)上的函數(shù)人x)

3)對任意工，*(—1,1)都有：,危)+")=/律§；

(ii)當(dāng)xd(—1,0)時，加)>0,

回答下列問題.

(1)判斷7U)在(-1,1)上的奇偶性，并說明理由；

(2)判斷函數(shù)兀0在(0,1)上的單調(diào)性，并說明理由;

⑶若斗試求后1一6)一/(擊)的值?

17、已知外)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，且火1)=1,若a,/)￡［-1,IJ,a+b#0時,

(1)判斷/(x)在［—1,1］上的單調(diào)性，并證明它；

(2)解不等式,4丫+0勺6匕)；

(3)若7(x)4/—2〃m+1對所有的1,1］恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

18、已知函數(shù)外)對于任意x,yGR,總有兀0+加)=危+刃，且當(dāng)x>0時，/(x)<0,/(1)=

_2

~3'

(1)求證：/(x)在R上是減函數(shù)；

(2)求加)在［一3,3］上的最大值和最小值.

第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)的數(shù)

1.根式

(1)根式的概念:

根式的概念符號表示備注

如果引三口那么X叫做。的〃次方根n>\且"WN*

當(dāng)〃是奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù),

零的n次方根是零

負(fù)數(shù)的〃次方根是一個負(fù)數(shù)

當(dāng)〃是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，這兩

±y[a(a>0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根

個數(shù)互為相反數(shù)

(2)兩個重要公式:

a,〃為奇數(shù),

①缶三2(。20),

\a\=]〃為偶數(shù);

l-a(a<0),

②(缶)"=g(注意a必須使抵有意義).

2.有理數(shù)指數(shù)尋

⑴事的有關(guān)概念：

m

①正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉：/=府(40,m,-GN*,且〃>1)；

*11

②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a"=一/=(a>0,m,"CN*,且”>1)；

/傳

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)指無意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)：

@aas—a'+'(a>0,r,sGQ)；

②(a')s=4(a>0,r,sGQ)；

?(abY^ab''(a>0,b>0,rGQ).

3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=aa>\0<a<l

y/片a”

圖象3@2

定義域R

值域(0,+8)

(1)過定點皿

(2)當(dāng)％>0時，y>l；x<0時，0<E

性質(zhì)(2)當(dāng)x>0時，0<y<l；x<0時，y>\_

<1

(3)在R上是增函數(shù)(3)在R上是減函數(shù)

［探究］2.如圖是指數(shù)函數(shù)(1?=",(2)y=b*,(34=/,(4?=，的圖

象，底數(shù)a,h,c,d與1之間的大小關(guān)系如何？你能得到什么規(guī)律？

3.函數(shù)尸y—aM,y=\ax\(a>0,aWl),之間有何關(guān)系？

［t）刷?牛力小誠］

1.（教材習(xí)題改編）化簡［（一2）6］2—（-1）°的結(jié)果為（）

A.-9B.-10

C.9D.7

2.化簡(〃>0,6>0)的結(jié)果是()

94b

A。

B.ab

a

5.

5.若函數(shù)兀0=/—l（a>0,aWl）的定義域和值域都是［0,2］,則實數(shù)

晉點一口指數(shù)募的運算

［例1］求值與化簡:

⑴（|尸X（-款+8“X版+（翡X由）6_

I隨式訓(xùn)練

1.化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù)).

1

(2\~2_11

(D------7=-----；

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

[例2]⑴已知函數(shù)/)=。一分0—6)(其中0＞力,若段)的圖象如圖所示,

則函數(shù)g(x)="x+6的圖象是()

(2)若曲線飆=2'+1與直線y=b沒有公共點，則b的取值范圍是

若將本例⑵中“6=2、+1"改為'3=|2'—1|"，且與直線y=b有兩個公共點，求b的

取值范圍.

II儂大訓(xùn)練

2.（2012?四川高考）函數(shù)y=/-a（a>0,且的圖象可能是（）

3.（2013?鹽城模擬）已知過點。的直線與函數(shù)y=3"的圖象交于4,8兩點，點工在線

段02上，過工作y軸的平行線交函數(shù)y=9'的圖象于C點，當(dāng)8c平行于x軸時，點”的

橫坐標(biāo)是.

［例3］已知函數(shù)而）=g產(chǎn)4"3

（1）若。=-1,求加）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若大x）有最大值3,求。的值；

（3）若4）的值域是（0,+8）,求。的值.

||喳式UH練

4.設(shè)a>0且arl,函數(shù)y=『+2"-1在上的最大值是14,求a的值.

[通法——歸納領(lǐng)悟]

1個關(guān)系——分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的關(guān)系

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的實質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)基與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)基

進(jìn)行根式的化簡運算.

2個應(yīng)用——指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)比較指數(shù)式的大小

若兩個指數(shù)式的底數(shù)相同、指數(shù)不同，則根據(jù)底數(shù)與1的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，

通過自變量的大小關(guān)系判斷相應(yīng)函數(shù)值的大小；若兩個指數(shù)式的底數(shù)不同、指數(shù)也不同，則

常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.

(2)解指數(shù)不等式

形如的不等式，借助于函數(shù)y=/的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分。>1

與0<a<l兩種情況討論,而形如ax>b的不等式，需先將b轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)嘉的形式.

3個注意——指數(shù)式的化簡及指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用需注意的問題

(1)在進(jìn)行指數(shù)累的運算時，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式表示，并且結(jié)果不能同時含有根

號和分?jǐn)?shù)指數(shù)基，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)y=/(“>0,a/l)的圖象和性質(zhì)跟。的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分與

0<a<l來研究.

(3)對可化為『+萬/+c=0或肅+萬/+。》0修0)的指數(shù)方程或不等式，常借助換元

法解決，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.

創(chuàng)新交匯一指數(shù)函數(shù)與不等式的交匯問題

1.高考對指數(shù)函數(shù)的考查多以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為載體，考查指數(shù)的運算和函數(shù)圖象的

應(yīng)用，且常與函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容交匯命題.

2.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知(或構(gòu)造)指數(shù)函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)的圖象或性質(zhì)建立

相關(guān)關(guān)系式求解.

1.化簡4m的結(jié)果是()

A.—y]—xB.yfx

C.—\[xD.\l~x

5

2.(2012?天津高考)已知a=2%0,c=21og52,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

3.函數(shù)的值域是()

A.(0,+°°)B.(0,1)

C.(0,1]D.[1,+8)

4.(2013?廣州模擬淀義運算，則危)=2'十2r的圖象是()

[b(a>b)

5.設(shè)函數(shù)/(x)定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且當(dāng)時，兀0=3、

T,則有()

二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

7.已知函數(shù)｛X)=4+/T的圖象恒過定點尸，則點尸的坐標(biāo)是

8.函數(shù)y=《下一3’在區(qū)間［—1,1］上的最大值等于.

三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)

12.已知函數(shù)./(x)=3"一質(zhì).

⑴若網(wǎng)=2,求x的值；

(2)判斷x>0時，/(x)的單調(diào)性；

(3)若3欠2/)+切對于fC/1恒成立，求機的取值范圍.

1.函數(shù)y=(分