第5講 函數(shù)的表示法-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一講義（解析版）

第五講函數(shù)的表示法法第五講函數(shù)的表示法法 教材要點學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向1.函數(shù)的三種表示法數(shù)學(xué)建模水平1水平11.了解函數(shù)的不同表示法，并能在具體環(huán)境中作出選擇。2.理解分段函數(shù)的意義，能正確描繪圖像和求函數(shù)值。3.理解映射的概念，能判斷一個對應(yīng)是否為映射?！究疾閮?nèi)容】求函數(shù)的解析式、求分段函數(shù)的函數(shù)值、函數(shù)的圖像都是?？伎键c?！究疾轭}型】選擇題、填空題【分值情況】5分2.分段函數(shù)數(shù)學(xué)運算水平1水平23.映射的概念數(shù)學(xué)抽象水平1水平14.函數(shù)的圖像直觀想象水平1水平2知識通關(guān)知識通關(guān)知識點函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系題型一作函數(shù)的圖象規(guī)律方法作函數(shù)圖象的步驟及注意點(1(1)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點、連線．作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖象．(2)函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關(guān)鍵點，如圖象與坐標(biāo)軸的交點、區(qū)間端點，二次函數(shù)的頂點等等，還要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點．例1、作出下列函數(shù)的圖象：(1);(2)．解析：（1）圖像如圖（1）所示（2）圖像如圖（2）所示【變式訓(xùn)練1】畫出下列函數(shù)的圖象：（1）（2）（3）（4）解析：（1）圖象如圖(1)所示．（2）圖像如圖(2)所示．（3）圖像如圖（3）所示.（4）圖像如圖（4）所示.題型二函數(shù)求值問題（一）給定函數(shù)解析式取值規(guī)律方法由內(nèi)到外，逐層代入，逐層求解。由內(nèi)到外，逐層代入，逐層求解。例2、已知函數(shù)（1）.求（2）求解析：（1）由題意可知，，，（2）由題意可知，答案（1）（2）【變式訓(xùn)練2-1】設(shè)則，，。解析：由題意，將自變量代入相應(yīng)的段求解得，答案【變式訓(xùn)練2-2】（1）已知且，則（2）已知函數(shù)若則的值是解析：（1）（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，∴∴又∵∴答案（1）8（2）（二）列表法表示函數(shù)取值解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個表格表示的函數(shù)，對于這類函數(shù)值的求解，應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解，而求解不等式，則可分類討論或列表解決．解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個表格表示的函數(shù)，對于這類函數(shù)值的求解，應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解，而求解不等式，則可分類討論或列表解決．例3、已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出123131123321則的值為________；滿足的x的值是________．解析：∵，∴.與與相對應(yīng)的值如下表所示：123131313答案1；2【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)分別由下表給出123211123321(1)__________；(2)若則__________.解析(1)由表知∴(2)由表知又得再由表知答案(1)1(2)1題型三求函數(shù)的解析式（1)代入法（1)代入法適用類型：已知的解析式，例如：，求(2)換元法適用類型：已知的解析式，求例如：(3)配湊法適用類型：已知的解析式，求例如：，求（4）先換元再代入法（4）先換元再代入法適用類型：已知的解析式，求例如：求（5）待定系數(shù)法適用類型：已知函數(shù)模型例如：為一次函數(shù)，且求的解析式（6）賦值法適用類型：函數(shù)方程含有兩個變量，且這兩個變量能夠交替代入例如：求例4、求下列函數(shù)的解析式(1)已知求(2)已知求（3）已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝16x－25，則函數(shù)f(x)的解析式為．（4）已知函數(shù)滿足求的解析式解析：（1）由題意，把代入的表達式里，得（2）令，則原表達式可化為：整理得再代入得(3)設(shè)則所以解得所以（4）∵①令得②②得①+③得∴答案（1）（2）（3）（4）【變式訓(xùn)練4】（1）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式；（2）已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式；（3）已知求函數(shù)的解析式；（4）已知是二次函數(shù)，且滿足，，則函數(shù)f(x)的解析式。解析：（1）法一(換元法)：令t＝eq\r(x)＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配湊法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因為eq\r(x)＋1≥1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．（2）∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.（3）令∴整理得即（4）設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，則f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.故得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0))解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.答案（1）（2）（3）(4)x2－x＋1思維拓展思維拓展考向一分段函數(shù)的綜合問題（1）在求分段函數(shù)值時，分清所在的取值范圍是關(guān)鍵，然后選擇相應(yīng)的解析式代入即可。反之由（1）在求分段函數(shù)值時，分清所在的取值范圍是關(guān)鍵，然后選擇相應(yīng)的解析式代入即可。反之由的值求可通過圖像得出所在的范圍，再選擇相應(yīng)解析式列方程求解。(2)由于分段函數(shù)在自變量的不同取值范圍內(nèi)有不同的對應(yīng)關(guān)系，因此我們在解決有關(guān)分段函數(shù)的問題時，要討論自變量的取值，確定自變量的數(shù)值屬于哪一個區(qū)間范圍，從而選擇相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系。例5、已知函數(shù)，求使時的值的集合解析：由題意得由由綜上所述，滿足時的值的集合為答案【變式訓(xùn)練5】已知實數(shù)函數(shù)若求的值。解析：當(dāng)時，則∴同理，∴不合題意，舍去；當(dāng)時，則有符合題意綜上所述，答案考向二映射的概念以及映射個數(shù)的確定（1）映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)只是一個特殊的映射，函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射。（2）判斷一個對應(yīng)是不是映射，只要檢驗對（1）映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)只是一個特殊的映射，函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射。（2）判斷一個對應(yīng)是不是映射，只要檢驗對于A中的任意一個元素，按對應(yīng)關(guān)系f，在B于A中的任意一個元素，按對應(yīng)關(guān)系f，在B中是否有唯一確定的元素與之對應(yīng)。映射中，集合A中每一個元素在集合B中必有唯一的元素和它對應(yīng)（有且唯一），但允許B中元素沒有A中元素與之對應(yīng)，因此A中元素與B中元素對應(yīng)，可以是“一對一”、“多對一”，但不能是“一對多”。（3）確定從集合A到集合B的映射個數(shù)，與集合A、B中元素的個數(shù)有關(guān)。若集合A中有m個元素集合B中有n個元素，則從集合A到集合B的映射有個；反之則有個。例6、給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的映射是（）解析：A選項，M集合中時，在N中沒有元素和它對應(yīng)，因此不是映射；C選項，當(dāng)x=1時，對應(yīng)的元素為2，而，因此也不是映射；D選項，對于中的每一個x，在N中有兩個元素與之對應(yīng)，因此它也不是映射；再看B選項，對于M中的每一個元素，在N中都有唯一元素與之對應(yīng)，因此它是的一個映射，故選B。答案B【變式訓(xùn)練6-1】已知集合則下列對應(yīng)不是從A到B的映射的是（）解析：A,B,D均滿足映射定義，C不滿足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素與之對應(yīng)，且集合A中元素b在集合B中無元素與之對應(yīng)。故選C。答案C【變式訓(xùn)練6-2】下列對應(yīng)中，f是集合M到N的映射的是（）A.B.C.D.解析：選項A中3沒有對應(yīng)的象，選項B中當(dāng)時沒有對應(yīng)的象，選項D中2沒有象，故選C。答案C例6-3、設(shè)若從M到N的映射f滿足：，求這樣的映射f的個數(shù)。解析：要確定映射f，只需要確定M中的每個元素對應(yīng)的象即可，即確定f(a),f(b),f(c)的值。而還滿足因此要確定這樣的映射f的個數(shù)，只需要確定由-1,0,1組成多少個等式（）+（）=（）。注意到映射不要求N中元素一定要取完，因而可通過列表把f(a),f(b),f(c)的取值情況表示出來。故由上表可知，所求的映射有7個。答案7【變式訓(xùn)練6-3】集合，從A到B的映射f滿足f(3)=3，則這樣的映射共有（）A.B.C.D.解析：∵f(3)=3∴共有如下4個映射。故選B。答案B考向三求應(yīng)用問題的函數(shù)解析式規(guī)律方法函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)關(guān)系，在確函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)關(guān)系，在確定函數(shù)關(guān)系式時必須注意確定函數(shù)的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤的。另外，在實際問題的應(yīng)用中，函數(shù)式中的自變量x除式子中的限制條件外，還要注意考慮問題的實際意義。規(guī)律方法例7、如圖所示，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是。解析：如圖可知，長方體的高為x，底是邊長為a-2x的一個正方形，因此長方體的體積又由x得實際意義，必須有所以體積V與x的關(guān)系式為答案【變式訓(xùn)練7】甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家。如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達乙家為止經(jīng)過的路程y(km)與時間x（分）的關(guān)系。試寫出y=f(x)的函數(shù)解析式。解析：由圖中可以看出甲在去乙同學(xué)家的途中在公園停留了10分鐘，故的函數(shù)解析式為：考向四函數(shù)圖像與方程根思想的綜合問題（1）有根圖像與（1）有根圖像與軸有交點圖像有交點（其中裂項而成）(2)（3）二次函數(shù)對一切實數(shù)都成立（4）二次函數(shù)對一切實數(shù)都成立例8、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，是否存在常數(shù)使得不等式對一切實數(shù)都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解析：∵的圖像經(jīng)過點∴∴①令得即②∴由①②解得∴∵對一切實數(shù)都成立，即對一切實數(shù)都成立∴①同理，對一切實數(shù)都成立，即②由①②解得∴故存在常數(shù)使得不等式對一切實數(shù)都成立。答案【變式訓(xùn)練8】已知函滿足方程有唯一解，求函數(shù)的解析式，并求的值解析：由題意，∵∴∴即∴∴。答案綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練A組基礎(chǔ)演練一、選擇題1．設(shè)f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，則g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7解析：∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，答案B.2．如圖所示的四個容器高度都相同．將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應(yīng)的圖象顯示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系，其中不正確的是()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：對于第一幅圖，水面的高度h的增加應(yīng)是均勻的，因此不正確，其他均正確。答案A3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)≠0)的圖象與x＝1的交點個數(shù)是()A．1B．2C．0或1D．1或2解析：結(jié)合函數(shù)的定義可知，如果f：A→B成立，則任意x∈A，則有唯一確定的B與之對應(yīng)，由于x＝1不一定是定義域中的數(shù)，故x＝1可能與函數(shù)y＝f(x)沒有交點，故函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1至多有一個交點．答案C4．下列圖形是函數(shù)y＝－|x|(x∈[－2,2])的圖像的是()．解析：y＝－|x|＝注意端點的取舍．答案B5．函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝()．A．B．3C．D．解析：f(3)＝，f(f(3))＝.答案D6．已知f(x3－1)＝x＋1，則f(7)的值為()．A．B．C．3D．2解析：令x3－1＝7，得x3＝8，∴x＝2，∴f(7)＝2＋1＝3.答案D7．已知x≠0，函數(shù)f(x)滿足f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(x)的表達式為()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x)B．f(x)＝x2＋2C．f(x)＝x2D．f(x)＝解析：∵＝x2＋eq\f(1,x2)＝＋2，∴f(x)＝x2＋2.答案B8．已知函數(shù)f(x)滿足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(12)＝()A．p＋qB．2p＋qC．p＋2qD．p2＋q解析：由f(ab)＝f(a)＋f(b)，∴f(12)＝f(4)＋f(3)＝2f(2)＋f(3)＝2p＋q.答案B9．若，則當(dāng)x≠0且x≠1時，f(x)＝()．A．B．C．D．解析：令＝t，則，∴f(t)＝.∴f(x)＝.答案B10．已知函數(shù)f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，則()．A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)解析：∵f(x)＝2x＋1的定義域為[1,3]，∴f(x－1)＝2(x－1)＋1＝2x－1，且其定義域為[2,4]．答案B11．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于()．A．－3B．－1C．1D．3解析：f(a)＋f(1)＝f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2.結(jié)合函數(shù)表達式可知a＜0，∴f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3答案A二、填空題12．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(m,x)，且此函數(shù)圖象過點(5,4)，則實數(shù)m的值為________．解析：將點(5,4)代入f(x)＝x－eq\f(m,x)，得m＝5.答案513．若f(x)－eq\f(1,2)f(－x)＝2x(x∈R)，則f(2)＝______.解析：由得相加得eq\f(3,2)f(2)＝4，f(2)＝eq\f(8,3).答案eq\f(8,3)14．某航空公司規(guī)定，乘客所攜帶行李的重量(kg)與其運費(元)由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費攜帶行李的最大重量為________(kg)．解析：設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝ax＋b(a≠0)，代入點(30,330)與點(40,630)得解得即y＝30x－570，若要免費，則y≤0，∴x≤19.答案1915．已知函數(shù)f(x)＝若f(x)＝10，則x＝______.解析：分兩種情況：當(dāng)x≤0時，由f(x)＝x2＋1＝10得x＝－3或x＝3(舍去)；當(dāng)x＞0時，由f(x)＝－2x＝10得x＝－5(舍去)，綜上可知x＝－3.答案16．已知函數(shù)f(x)在[－1,2]上的圖像如圖所示，則f(x)的解析式為________．解析：設(shè)y軸左側(cè)函數(shù)的解析式為y＝kx＋b(k＞0，－1≤x≤0)，把點(－1,0)，(0,1)的坐標(biāo)代入上式得∴∴y＝x＋1(－1≤x≤0)．同理可得y軸右側(cè)函數(shù)的解析式為y＝－x(0＜x≤2)．[來源:學(xué)+科+網(wǎng)][來源:Z_xx_k.Com]答案f(x)＝17．設(shè)f(x)＝若f(x)＞－1，則實數(shù)x的取值范圍為________．解析：畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖中實線部分所示，再作出直線y＝－1.若f(x)＞－1，則x＜－1，或x＞0.答案三、解答題18.如圖所示，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出此盒子的體積V以x為自變量的函數(shù)式，并指明這個函數(shù)的定義域．解析：由題意可知該盒子的底面是邊長為(a－2x)的正方形，高為x，∴此盒子的體積V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，其中自變量x應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x>0，,x>0，))即0<x<eq\f(a,2).∴此盒子的體積V以x為自變量的函數(shù)式為V＝x(a－2x)2，定義域為(0，eq\f(a,2))．答案V＝x(a－2x)2，定義域為(0，eq\f(a,2))．19．某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品時的能耗y與產(chǎn)品件數(shù)x之間的關(guān)系式為：y＝ax＋eq\f(b,x).且當(dāng)x＝2時，y＝100；當(dāng)x＝7時，y＝35.且此產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)不超過20件．寫出函數(shù)y關(guān)于x的解析式。解析：將代入y＝ax＋eq\f(b,x)中，得?所以所求函數(shù)解析式為y＝x＋eq\f(196,x)(x∈N,0<x≤20)．答案y＝x＋eq\f(196,x)(x∈N,0<x≤20)20、求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f(eq\f(1＋x,x))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，求f(x)；（2）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)．解析：（1）令t＝eq\f(1＋x,x)＝eq\f(1,x)＋1，得x＝eq\f(1,t－1)，則t≠1.把x＝eq\f(1,t－1)代入f(eq\f(1＋x,x))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，得f(t)＝eq\f(1＋\f(1,t－1)2,\f(1,t－1)2)＋eq\f(1,\f(1,t－1))＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．（2）∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1.又∵eq\r(x)＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．答案（1）（2）B組提升突破B組提升突破一、選擇題1．已知f(x)＝則f[f(1)]的值為()．A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(1)＝f(－1)＝(－1)2－1＝0，∴f[f(1)]＝f(0)＝02－1＝－1.答案A2．函數(shù)的圖象是（）A． B．C． D．解析：由題意，函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的圖象為選項C.答案C3．已知函數(shù)，則的解析式為A． B．C． D．解析：令,則，所以即.答案B4．已知，則的解析式為（）A． B． C． D．解析：令，得，∴，∴，故選A．答案A5．已知f(x)＝kx＋b(k＜0)，且f[f(x)]＝4x＋1，則f(x)＝()．A．－2x－1B．－2x＋1C．－x＋1D．解析：∵f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋1，∴∴答案A6．設(shè)函數(shù)，若f（x0）＞1，則x0的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）解析：當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，，有或，則，綜上可知：x0的取值范圍是或.答案B7．對a，b∈R，記max{a，b}＝函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是()．A．0B．C．D．3解析：函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的圖像如圖所示(實線部分)