上海市普陀區(qū)2024屆高三下學期4月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷

普陀區(qū)2023學年第二學期高三數(shù)學質(zhì)量調(diào)研2024.4考生注意:1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.2.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.3.務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙相應位置正面清楚地填寫姓名、準考證號，并將核對后的條碼貼在指定位置上.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，每個空格填對前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為.2.已知，設集合，集合，若，則.3.若，則________.4.已知，若，則.5.若實數(shù)，滿足，則的最小值為_______.6.設（），若，且，則_.7.為了提高學生參加體育鍛煉的積極性，某校本學期依據(jù)學生特點針對性的組建了五個特色運動社團，學校為了了解學生參與運動的情況，對每個特色運動社團的參與人數(shù)進行了統(tǒng)計，其中一個特色運動社團開學第周至第周參與運動的人數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.周次參與運動的人數(shù)若表中數(shù)據(jù)可用回歸方程（，）來預測，則本學期第周參與該特色運動社團的人數(shù)約為_______.（精確到整數(shù)）8.設等比數(shù)列的公比為（），則“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是________.9.若向量在向量上的投影為，且，則________.10.已知拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，過點的直線的法向量，與軸以及的左支分別相交，兩點，若，則雙曲線的實軸長為_______.11.設，，是正整數(shù)，是數(shù)列的前項和，，，若，且，記，則________.12.已知，若關于的不等式的解集中有且僅有一個負整數(shù)，則的取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，否則一律得零分.13.從放有兩個紅球、一個白球的袋子中一次任意取出兩個球，兩個紅球分別標記為、，白球標記為，則它的一個樣本空間可以是…………（）14.若一個圓錐的體積為，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的頂角為，則該圓錐的側(cè)面積為…………（）15.直線經(jīng)過定點，且與軸正半軸、軸正半軸分別相交于，兩點，為坐標原點，動圓在△的外部，且與直線及兩坐標軸的正半軸均相切，則△周長的最小值是…（）16.設是數(shù)列的前項和（），若數(shù)列滿足：對任意的，存在大于的整數(shù)，使得成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.現(xiàn)給出如下兩個結論：①存在等差數(shù)列是“數(shù)列”；②任意等比數(shù)列都不是“數(shù)列”.則…………（）①成立②成立①成立②不成立①不成立②成立①不成立②不成立三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，、分別是、的中點.（1）求證：∥平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.第第17題18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分設函數(shù)，，，它的最小正周期為.（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，求的值.19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分張先生每周有5個工作日，工作日出行采用自駕方式，必經(jīng)之路上有一個十字路口，直行車道有三條，直行車輛可以隨機選擇一條車道通行，記事件為“張先生駕車從左側(cè)直行車道通行”.（1）某日張先生駕車上班接近路口時，看到自己車前是一輛大貨車，遂選擇不與大貨車從同一車道通行.記事件為“大貨車從中間直行車道通行”，求；（2）用表示張先生每周工作日出行事件發(fā)生的次數(shù)，求的分布及期望.20.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.設橢圓（），的離心率是短軸長的倍，直線交于、兩點，是上異于、的一點，是坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點，且，，求的值；（3）設直線的方程為（），且，求的取值范圍.21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.對于函數(shù)，和，，設，若，且，皆有（）成立，則稱函數(shù)與“具有性質(zhì)”.（1）判斷函數(shù)與是否“具有性質(zhì)”，并說明理由；（2）若函數(shù)與“具有性質(zhì)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與“具有性質(zhì)”，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點，，求證.

評分標準（參考）一、填空題123456789101112（或）二、選擇題13141516三、解答題17.（1）證明：取線段、的中點分別為、，連接、、，則，，………2分又底面是正方形，即，則，即四邊形為平行四邊形，則，………4分又在平面外，平面，則平面.………6分備注：連接，利用的中位線性質(zhì)，證明結論，仿以上步驟，相應評分.（2）取線段的中點為點，連接、，又，底面是邊長為的正方形，則，且，，………4分又二面角的大小為，即平面平面，又平面，平面平面，則平面，則是直線與平面所成角，………6分在中，，即，則直線與平面所成角的大小為.………8分備注：用空間向量求解，仿以上步驟相應評分.18.（1）因為函數(shù)的最小正周期為，且，所以，即，………2分則，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，，………4分即，又，則.………6分（2）由得，，又，，則，即，………4分由余弦定理得，，………6分即，則.………8分19.（1）方法一：依題意得，兩輛車從直行車道通行這個樣本空間中的基本事件共有個，事件只有個基本事件，………4分則.………6分方法二：依題意得，事件的概率為，事件基于條件的概率為，…4分則.………6分（2）依題意得，事件發(fā)生的次數(shù)可?。?，則的分布為：即，………4分則，………6分則所求的的期望.………8分20.（1）由的離心率是短軸的長的倍，得，即，………2分又，則，故橢圓的方程為.………4分（2）設的左焦點為，連接，因為，所以點、關于點對稱，又，則，由橢圓的對稱性可得，，且三角形與三角形全等，………2分則，………4分又，化簡整理得，，則.………6分（3）設，，，又，則，，由得，，，由韋達定理得，，，………2分又，則，，因為點在橢圓上，所以，化簡整理得，，………4分此時，，則，………6分令，即，則，則的取值范圍是.………8分21.解：（1）（1）由，且，得，即，………2分則，即，即，則函數(shù)與“具有性質(zhì)”.………4分（2）由函數(shù)與“具有性質(zhì)”，得，，且，即，整理得，則對恒成立，………2分又，，則，，即，………4分則，即所求的的取值范圍為.………6分（3）由函數(shù)在有兩個零點，得，又函數(shù)與“具有性質(zhì)”，則，即，