2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市 縣溪江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市縣溪江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.參考答案：D【分析】求出函數(shù)的定義域、化簡不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，從而可得的范圍，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，即，即，兩邊除以，可得，又由直線恒過定點(diǎn)，若不等式恰有兩個整數(shù)解，即函數(shù)圖象有2個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)落在直線的上方，由圖象可知，這2個點(diǎn)為，可得，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中解答中把不等式的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的關(guān)系，合理得出不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．2.關(guān)于直線a,b,c以及平面M，N，給出下面命題：

①若a//M，b//M,則a//b

②若a//M,b⊥M，則b⊥a

③若aM，bM,且c⊥a，c⊥b,則c⊥M

④若a⊥M,a//N，則M⊥N，其中正確命題的個數(shù)為

（

）A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：C3.如圖,將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,則不同的染色方法總數(shù)為()(A)60

(B)480

(C)420

(D)70參考答案：C4.已知正實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值（

）A.2 B.3 C.4 D.參考答案：B【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時的最小值為3.故選B點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.5.若=，a是第一象限的角，則= （A）-

（B）

（C）

（D）參考答案：B6.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（

）A

6

B

4

C

5

D

1

參考答案：B7.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式值的一個實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（）A．35 B．20 C．18 D．9參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量v的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案．【解答】解：∵輸入的x=2，n=3，故v=1，i=2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，v=4，i=1，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，v=9，i=0，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，v=18，i=﹣1不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的v值為：故選：C8.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知身高在[120，130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（

）

A．20

B．25

C．30

D．35莖葉7984464793

參考答案：C略9.函數(shù)的大致圖象是參考答案：B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

（

）A．

B．C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域是________________.參考答案：12.不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的充要條件是．參考答案：x∈（﹣1，3）【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用一元二次不等式的解法與充要條件的意義即可得出．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0?（x﹣3）（x+1）＜0?﹣1＜x＜3．∴不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的充要條件是x∈（﹣1，3）．故答案為：x∈（﹣1，3）．13.若不等式≤對于任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______

參考答案：略14.在曲線的切線中斜率最小的切線方程是___________。

參考答案：15.在拋物線y2=﹣4x上求一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到A（﹣2，1）的距離之和最小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是．參考答案：（﹣，1）【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)為F（﹣1，0）、準(zhǔn)線為x=1．設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為Q，根據(jù)拋物線的定義得|PQ|+|PA|=|PF|+|PA|，利用平面幾何知識得當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時，這個距離之和達(dá)到最小值，此時P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，利用拋物線方程求出P的橫坐標(biāo)，從而可得答案．【解答】解：由拋物線方程為y2=﹣4x，可得2p=4，=1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（﹣1，0），準(zhǔn)線方程為x=1．設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為Q，連結(jié)PQ，則根據(jù)拋物線的定義得|PF|=|PQ|，由平面幾何知識，可知當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時，|PQ|+|PA|達(dá)到最小值，此時|PF|+|PA|也達(dá)到最小值．∴|PF|+|PA|取最小值，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，將P（x，1）代入拋物線方程，得12=﹣4x，解得x=﹣，∴使P到A、F距離之和最小的點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，1）．故答案為：（﹣，1）16.直線經(jīng)過,且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍的直線方程為

．參考答案：或

17.（圓）以點(diǎn)（2，-1）為圓心，以3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____________________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)．求證：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）如圖所示取AB的中點(diǎn)E，連接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需證明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）證明：如圖所示取AB的中點(diǎn)E，連接CE，EB1，∵F為A1B1的中點(diǎn)，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C?B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F?面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，∵AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F?面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【點(diǎn)評】本題考查了線面平行、面面垂直的判定，關(guān)鍵是空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．19.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)K的直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn).（1）求拋物線C的方程及的值；（2）若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，證明：存在實(shí)數(shù)，使得.參考答案：（1），4；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線上點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，求出，即可得到拋物線方程；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理，即可求出；（2）先由（1）得，由點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，得到，根據(jù)題意，證明直線恒過定點(diǎn)，再令，由，即可推出結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，所以，解得.所以拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，其中，即.故.（2）證明：由（1）知，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，所以，則直線的方程為，得，得，得，即.令，得，得，所以直線恒過定點(diǎn).所以點(diǎn)在線段上，所以不妨令.因?yàn)椋?，所以，所?所以存在實(shí)數(shù)，使得，命題得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的應(yīng)用，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.20.（本小題滿分12分）某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．（1）若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；（2）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為（元）．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C．則．（Ⅰ）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域． 即消費(fèi)128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是．（Ⅱ）由題意得該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次．隨機(jī)變量的可能值為0，30，60，90，120．

所以，隨機(jī)變量的分布列為：

0306090120

其數(shù)學(xué)期望．21.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列，，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：(2)由得