中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《利用勾股定理求最短路徑》測(cè)試卷-附帶答案

第頁(yè)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《利用勾股定理求最短路徑》測(cè)試卷-附帶答案學(xué)校:___________班級(jí):___________姓名:___________考號(hào):___________1．如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路徑是km．2．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3cm，寬為2cm，高為1cm的長(zhǎng)方體，螞蟻沿著表面從A爬行到B的最短路程是．3．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，垂足為D，已知BD=1,?AD=CD=2,?BC上方有一動(dòng)點(diǎn)P，且點(diǎn)P到A,D兩點(diǎn)的距離相等，則4．如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為32πm的半圓，其邊緣AB＝CD＝15m，點(diǎn)E在CD上，CE＝3m，一滑板愛(ài)好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離約為m5．如圖，四邊形ABCD，∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，且BD⊥DC，已知AC的最大值是3，則BC＝．6．如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為5m，寬為3m的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱和草地寬AD平行且棱長(zhǎng)大于AD，木塊從正面看是邊長(zhǎng)為1m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程約為7．如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x．請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)為，根據(jù)上述方法，求出x2+4+8．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD=3，AB=4，點(diǎn)E是AD所在直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BF=DE，則AF+BE的最小值是．9．如圖，長(zhǎng)方形BCFG是一塊草地，折線ABCDE是一條人行道，BC＝12米，CD＝5米．為了避免行人穿過(guò)草地（走虛線BD，踐踏綠草，管理部門分別在B、D處各掛了一塊牌子，牌子上寫(xiě)著“少走米，踏之何忍”．10．如圖，BD是RtΔABC的角平分線，點(diǎn)F是BD上的動(dòng)點(diǎn)，已知AC=2，AE=23?2，∠ABC=30°，則（1）BE=；（2）AF+EF的最小值是11．如圖，AB是半圓O的直徑，半圓的半徑為4，點(diǎn)C，D在半圓上，OC⊥AB,BD=2CD，點(diǎn)P是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BP+DP12．如圖，一大樓的外墻面ADEF與地面ABCD垂直，點(diǎn)P在墻面上，若PA＝AB＝5米，點(diǎn)P到AD的距離是4米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是米13．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以點(diǎn)O為圓心，3為半徑的⊙O，與OB交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是邊OA上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為．14．如圖，臺(tái)階階梯每一層高20cm，寬40cm，長(zhǎng)50cm．一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短路程是．15．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=CF，連接AE，AF，則AE+AF的最小值為．16．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，M為AD中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA和PM，則PA+PM的最小值是．17．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有乙滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外幣A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為．18．如圖，直線y＝﹣x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），DE分別是AB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是．19．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD＝120°，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，連接AF'、BF'，則△ABF'的周長(zhǎng)的最小值是．20．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E、F分別為AB、DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF⊥AC，則AF+FE+EC的最小值為．參考答案1．解：如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于小河MN的對(duì)稱點(diǎn)A`，連接A`B交MN于點(diǎn)P，則A`B就是牧童要完成這件事情所走的最短路程長(zhǎng)度．在Rt△A`DB中，由勾股定理求得A`B=則他要完成這件事情所走的最短路程是17km．2．解：如圖1，AB=52如圖2，AB=32如圖3，AB=22故沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)面頂點(diǎn)B處，只有圖2最短，其最短路線長(zhǎng)為：32故答案為：323．解：∵P到AD兩點(diǎn)的距離相同，∴P在線段AD的垂直平分線上，取AD的中點(diǎn)H，作HF//BC，作B關(guān)于HF的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE與直線FH交于P，點(diǎn)P即為所求∴∠BFH=90°，BF=EF，EP=BP∵要使△BCP的周長(zhǎng)最小，∴BP+CP最小，即為CE長(zhǎng)，又∵EF//BC，∠ADC=90°∴∠FHD=∠HDB=90°∴四邊形BDHF是矩形，∴BF=DH=EF=12AD=1，∠∴BE=2∵CE=BC∴CE=13△BCP的周長(zhǎng)最小值=BC+BP+CP=3+故答案為：3+134．解：如圖是其側(cè)面展開(kāi)圖：AD=12π?32AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m），在Rt△ADE中，AE=AD2+D故他滑行的最短距離約為20m．故答案為：20．5．解：如圖，取BC的中點(diǎn)F，以BC為邊在△BCD另一側(cè)作等邊三角形△BCG，連接DG，DF，F(xiàn)G，∵∠ADC＝150°，且BD⊥DC，∴∠ADB＝150°﹣90°＝60°，∵∠BAD＝60°，∴∠ADB＝∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，而△BCG也是等邊三角形，∴AB＝DB，BC＝BG，∠ABD＝∠CBG＝60°，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC，即∠ABC＝∠DBG，在△ABC和△DBG中，AB=DB∠ABC=∠DBG∴△ABC≌△DBG（SAS），∴AC＝DG，∵AC的最大值是3，∴DG的最大值也是3，在△DGF中，DG≤DF+FG，∴當(dāng)DF、FG在同一條直線上時(shí)，DG取最大值3，即DG＝DF+FG＝3，∵BD⊥DC，BC的中點(diǎn)F，∴DF＝BF＝CF＝12BC∵等邊三角形△BCG，BC的中點(diǎn)F，∴GF⊥BC，∠BGF＝∠CGF＝12∠BGC∴BF＝CF＝12BG＝12∴設(shè)DF＝BF＝CF＝x，則BC＝BG＝2x，∴FG＝BG∴DF+FG＝x+3x＝3，解得：x＝33∴BC＝2x＝2×33?32故答案為33﹣3．6．解：由題意可知，將木塊展開(kāi)，如圖，長(zhǎng)相當(dāng)于是AB+2個(gè)正方形的寬，∴長(zhǎng)為5+2×1＝7m；寬為3m．于是最短路徑為：32故答案為8．7．解：AC+CE=BC2當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小；如右圖所示，作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式x2過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE=AF2即x2故答案為：(8?x)28．解：如圖，延長(zhǎng)BC至G使得BG=BD，連接GF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=90°,AD//∴∠EDB=∠FBC，在△EDB與△FBG中ED=BF∴△EDB≌△FBG，∴BE=GF，∴AF+BE=AF+GF≥AG，在Rt△ABD中，AD=3,AB=4，BD=A∴BG=5，在Rt△ABG中，BG=5,AB=4，AG=A∴AF+BE的最小值是41．故答案為：41．9．解：在Rt△BCD中，BC=12,CD=5∴BD=則BC+CD?BD=12+5?13=4（米）故答案為：410．解：（1）∵AC=2，∠ABC=30°，∠BAC=90°，∴BC=2AC=4，∴AB=B∴BE=AB?AE=23故答案為：2；（2）如圖所示，作E點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG，AG，GF，∵BD是∠ABC的平分線，∴點(diǎn)G在線段BC上，∴根據(jù)對(duì)稱性可得EF=GF，BG=BE=2，∴EF+AF=GF+AF≥AG，∴當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線時(shí)，GF+AF的長(zhǎng)度最短，即EF+AF的最小值為AG的長(zhǎng)度．∴GC=BC-BG=4-2=2，又∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，∴∠C=又∵AC=2，∴△AGC是等邊三角形，∴AG=AC=2．∴AF+EF的最小值是2．故答案為：2．11．解：作點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為D1，連接BD1，OD1由題知，OC⊥AB，BD=2CD，∴BC=3CD，可得又點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為D1∴∠COD1=30°，∠AOD1在RtΔQOD1中，OD在RtΔQD1B中，BQ=OQ+OB=6故填：4312．解：如圖，過(guò)P作PG⊥BF于G，連接PB，∵AG=4，AP=AB=5，∴PG=AP2∴PB=故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是3故答案為：313．解：延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接ED，交AO于點(diǎn)P，則PC+PD的值最小，最小值為線段DE的長(zhǎng)．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO，∴CDAO∴CD∴CD＝2，在Rt△CDE中，DE＝CD∴PC+PD的最小值為210故答案為：210．14．解：如圖所示，∵樓梯的每一級(jí)的高寬長(zhǎng)分別為20cm，寬40cm，長(zhǎng)50cm，∴AB=502+即螞蟻從點(diǎn)A沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程是130cm．故答案為：130cm．15．解：連接DE，∵BE=CF且四邊形ABCD為正方形∴CD-CF=BC-BE，即DF=CE在△ADF和△DCE中AD=DC∴△ADF≌△DCE∴AF=DE；AE+AF=AE+DE以BC為對(duì)稱軸，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'連接DA'，與BC交點(diǎn)即為點(diǎn)E∵點(diǎn)A和點(diǎn)A'關(guān)于BC對(duì)稱，∴AE=A'EAE+DE=A'E+DE=A'D由勾股定理可得：A'D=A∴AE+AF的最小值為5故答案為：516．解：作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)N，連接AN，則AN就是PA+PM的最小值，∵在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，M為AD中點(diǎn)，AC⊥BD，∴∠ADC=60°，DA=DC，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，∴△DAC是等邊三角形，AN⊥CD，∴AC=AD=AB=4，∴AN=故答案為：217．解∶如圖，將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離．根據(jù)勾股定理，得A′故答案為：20cm．18．解：如圖，點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C′（-1，0），點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C∵直線AB的解析式為y=-x+7，∴直線CC″的解析式為y=x由y=?x+7y=x?1，得x=4∴F（4，3），∵F是CC″∴可得C″連接C′C″與AO交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)D，此時(shí)△△DEC的周長(zhǎng)=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C故答案為10．19．解：取AD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)'G，BE，作BH⊥DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD為等邊三角形，又∵DE＝DG，∴△DEG也為等邊三角形．∴DE＝GE，∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，由線段EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，所以EF＝EF'．在△DEF和△GEF'中，DE=GE∠DEF=∠GE∴△DEF≌△GEF'（SAS）．∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，則點(diǎn)F'的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線GF'．觀察圖形，可得A，E關(guān)于GF'對(duì)稱，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴CH=1在Rt△BEH中，BE＝BH2+EH2∴BF'+EF'≥27，∴△ABF'的周長(zhǎng)的最小值為AB+BF'+EF'＝4+27，故答案為：4+27．20．解：過(guò)B作BH∥EF交CD于H，過(guò)A作AG∥EF，且使AG＝EF，連接GE，∴四邊形AG