選修二第二單元《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》檢測題(包含答案解析)

一、選擇題1．已知函數(shù)，函數(shù)的兩個極值點分別在區(qū)間與內(nèi)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的極大值點為B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在上有3個零點D．函數(shù)在原點處的切線方程為4．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點，則的取值范圍為（）A． B．C． D．5．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題是“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．“在處有極值”是“”的充要條件D．命題“若函數(shù)有零點，則“或”的逆否命題為真命題6．已知定義在上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，有，且.設(shè)，，，則（）.A． B． C． D．7．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B．C． D．或10．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)且當(dāng)時，．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．上的函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明參考答案二、填空題13．定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．當(dāng)時，，則不等式的解集為________14．設(shè)函數(shù)，其中，若僅存在兩個整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.15．已知拋物線過點，且在點處與直線相切，則__________，____________，_________________.16．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍是________．17．已知是定義在上的奇函數(shù)，，且對任意都有成立，則不等式的解集是______.18．已知函數(shù)fx=ex-ax(a≤0)，函數(shù)gx=-19．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為_______.20．設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+∞）可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（lnx）=x2﹣1nx，則f′（1）=_____三、解答題21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，記為，求證：.22．設(shè)函數(shù)其中（1）若曲線在點處切線的斜率為1，求的值;（2）已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明:當(dāng)時，.23．已知為實數(shù)，函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍；（2）若，對任意，，不等式恒成立，求的最小值．24．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：對任意的.25．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.26．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的最小值為，證明：；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，證明：.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【分析】求得，根據(jù)題意可得出，利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由，求導(dǎo)，因為函數(shù)的兩個極值點分別在區(qū)間與內(nèi)，即方程的兩個根分別在區(qū)間與內(nèi)，即，則，所以，.綜上所述，的取值范圍是.故選：B.【點睛】方法點睛：本題考查利用二次函數(shù)的零點分布求參數(shù)，一般要分析以下幾個要素：（1）二次項系數(shù)的符號；（2）判別式；（3）對稱軸的位置；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的符號.結(jié)合圖象得出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解.2．B解析：B【分析】函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個根，設(shè)，求出，研究出函數(shù)的單調(diào)性，由的圖象與有兩個交點，得出參數(shù)的范圍，即得結(jié)果.【詳解】函數(shù)有兩個零點，由題意得方程有兩個根，設(shè)，則與有兩個不同的交點，又，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減，又當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時，，則，即在上單調(diào)遞減，但恒正.作出函數(shù)的大致圖象如下：要使的圖象與有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3．D解析：D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性求極值點以及零點個數(shù)等.【詳解】A選項：由，得，令，得，故，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以是函數(shù)的極小值點，無極大值點，故A錯；B選項:當(dāng)，為減函數(shù)，故B錯；C選項：由函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個零點，故C錯；D選項：切線斜率，所以切線方程為，D正確.故選：D【點睛】求切線方程的步驟：①確定切點；②確定斜率；③點斜式寫切線方程.4．B解析：B【詳解】,,,由得，,若,由,得,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增；時,,此時單調(diào)遞減；所以是的極大值點．若,則由,得或．時的極大值點,,解得．綜上：,的取值范圍時．故選B．【點晴】本題是一道關(guān)于函數(shù)極值的題目,考慮運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．對求導(dǎo),得,由得,將代入到導(dǎo)函數(shù)中,可得,接下來分和兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分別求出的極大值點,從而建立的不等式求解即可．5．D解析：D【分析】選項A，否命題，條件否定，結(jié)論也要否定；選項B，命題的否定，只對結(jié)論否定；選項C，在處有極值，既要滿足，也要滿足函數(shù)在兩邊的單調(diào)性要相反；選項D，若函數(shù)有零點，等價于，原命題與逆否命題同真假．【詳解】選項A，命題“若，則”的否命題是“若，則”，錯誤；選項B，命題“，”的否定是“，”，錯誤；選項C，不能得到在處有極值，例如在時，導(dǎo)數(shù)為0，但不是函數(shù)極值點，錯誤；選項D，若函數(shù)有零點，即方程有解，所以，解得或，所以原命題為真命題，又因為原命題與逆否命題同真假，所以逆否命題也是真命題，正確．或【點睛】本題主要考查命題真假性的判斷，涉及到四個命題、充要條件以及特稱命題的否定．6．D解析：D【分析】首先設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，和奇偶性，利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】設(shè)，，即，所以函數(shù)是偶函數(shù)，并且，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，，，，因為，所以，即.故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，重點考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，屬于中檔題型.7．C解析：C【分析】利用確定正確選項.【詳解】，由此排除BD選項.當(dāng)時，，，，由此排除A選項.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖象識別，考查導(dǎo)數(shù)的運用.8．D解析：D【分析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知直線介于與軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點的直線，當(dāng)直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導(dǎo)數(shù)可得，因為，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D【點睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.9．C解析：C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，求導(dǎo)分析可得，即函數(shù)在上為減函數(shù)，則原不等式可以轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，又由，即，則，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又由（3），則（3）（3），，又由函數(shù)為減函數(shù)，則有，則不等式的解集為；故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10．C解析：C【分析】可判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可證明在為增函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可得三個函數(shù)值之間的大小關(guān)系.【詳解】因為，故為偶函數(shù)，當(dāng)時，因為（不恒為零），故在為增函數(shù)，又，因為，所以，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和指數(shù)、對數(shù)的大小比較，注意兩個增函數(shù)的乘積不一定是增函數(shù)，另外函數(shù)值的大小比較一般要利用函數(shù)的單調(diào)性來處理，本題屬于中檔題.11．D解析：D【分析】構(gòu)造函數(shù)，則由題意可證得在上單調(diào)遞增，又，，故可轉(zhuǎn)化為，解得.【詳解】令，則，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以故當(dāng)時，有，即，由的單調(diào)性可知.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，難度一般.12．A解析：A【分析】求導(dǎo)，將代入即可求出..【詳解】已知函數(shù)則故選A.【點睛】本題考查函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的求法，屬基礎(chǔ)題.二、填空題13．【分析】引入新函數(shù)它是偶函數(shù)由導(dǎo)數(shù)可確定它的單調(diào)性通過解不等式或求得的解【詳解】設(shè)是奇函數(shù)則是偶函數(shù)時單調(diào)遞增∴時單調(diào)遞減又時則時則綜上原不等式的解集為【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解析：【分析】引入新函數(shù)，它是偶函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可確定它的單調(diào)性，通過解不等式或求得的解．【詳解】設(shè)，是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)，時，單調(diào)遞增，∴時，單調(diào)遞減，又，，時，，則，時，，則，綜上，原不等式的解集為．【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知不等式引入函數(shù)，首先確定它的奇偶性，然后用導(dǎo)數(shù)確定它在上的單調(diào)性，從而可得它在上的單調(diào)性，然后通過的單調(diào)性解相應(yīng)的不等式得原不等式的解．14．【分析】設(shè)則存在兩個整數(shù)使得利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值作出函數(shù)的圖象可得出關(guān)于的不等式組進(jìn)而可求得實數(shù)的取值范圍【詳解】設(shè)由題意可知存在兩個整數(shù)使得當(dāng)時；當(dāng)時函數(shù)的最小值為而直線恒過定點如下圖所解析：【分析】設(shè)，，則存在兩個整數(shù)、，使得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，可得出關(guān)于的不等式組，進(jìn)而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意可知，存在兩個整數(shù)、使得，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.函數(shù)的最小值為，，，而直線恒過定點，如下圖所示：則滿足不等式的兩個整數(shù)解應(yīng)分別為，，所以，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式的整數(shù)解問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.15．3-119【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)再由題意知函數(shù)過點且在點處的切線的斜率為1即分別將三個條件代入函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)解方程即可【詳解】解：由于拋物線過點則又因為點處與直線相切即切線的斜率為1即又因為切點為把解析：3-119【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由題意知，函數(shù)過點，，且在點處的切線的斜率為1，即，分別將三個條件代入函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)，解方程即可.【詳解】解：由于拋物線過點，則，，又，因為點處與直線相切，即切線的斜率為1，即，．又因為切點為，．把①②③聯(lián)立得方程組，解得：，即，，．故答案為：3，-11，9.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，利用方程的思想求參數(shù)的值，考查計算能力.16．【分析】由題意得出對任意的恒成立利用參變量分離法得出求出二次函數(shù)在區(qū)間上的值域即可得出實數(shù)的取值范圍【詳解】由于函數(shù)在上是減函數(shù)則對任意的恒成立即得二次函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)則因此實數(shù)的取值范圍是故答解析：【分析】由題意得出對任意的恒成立，利用參變量分離法得出，求出二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，，由于函數(shù)在上是減函數(shù)，則對任意的恒成立，即，得，二次函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式在區(qū)間上恒成立，利用參變量分離法求解是一種常用的方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.17．【分析】令可證為偶函數(shù)且為上的增函數(shù)考慮當(dāng)時的解及當(dāng)時的解它們的并是所求不等式的解集【詳解】等價于令則當(dāng)時有故為上的增函數(shù)而故當(dāng)時的解為故當(dāng)時的解為因故為偶函數(shù)當(dāng)時等價于因為偶函數(shù)故當(dāng)時的解為即當(dāng)時解析：【分析】令，可證為偶函數(shù)且為上的增函數(shù)，考慮當(dāng)時，的解及當(dāng)時，的解，它們的并是所求不等式的解集.【詳解】等價于，令，則，當(dāng)時，有，故為上的增函數(shù)，而，故當(dāng)時，的解為，故當(dāng)時，的解為，因，故為偶函數(shù)，當(dāng)時，等價于，因為偶函數(shù)，故當(dāng)時，的解為即當(dāng)時，的解為，綜上，的解集是，填.【點睛】如果題設(shè)中有關(guān)于函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的不等式，我們應(yīng)具體該式的形式構(gòu)建新函數(shù)并且新函數(shù)的單調(diào)性可根據(jù)題設(shè)中的不等式得到，構(gòu)建新函數(shù)時可借鑒導(dǎo)數(shù)的運算規(guī)則.18．-10【解析】【分析】先求導(dǎo)分別求出導(dǎo)函數(shù)的最值再根據(jù)不存在x1x2∈R使得f′（x1）＝g′（x2）得到關(guān)于a的不等式解得即可【詳解】∵函數(shù)f（x）＝ex﹣ax函數(shù)g（x）＝﹣x3﹣ax2∴f′（解析：[-1,0]【解析】【分析】先求導(dǎo)，分別求出導(dǎo)函數(shù)的最值，再根據(jù)不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），得到關(guān)于a的不等式解得即可．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝ex﹣ax，函數(shù)g（x）＝﹣x3﹣ax2，∴f′（x）＝ex﹣a＞﹣a，g′（x）＝﹣x2﹣2ax＝﹣（x+a）2+a∵不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），∴-a≥a解得-1≤a≤0，故答案為-1,0．【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則和函數(shù)的最值問題，以及不等式的解法，屬于中檔題．19．【分析】由于函數(shù)在上遞減利用導(dǎo)函數(shù)恒小于或等于零由此求得實數(shù)的值【詳解】依題意在上恒成立則需恒成立有兩個相等的實數(shù)根故【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考查除法的導(dǎo)數(shù)考查一元二次不等式恒解析：【分析】由于函數(shù)在上遞減，利用導(dǎo)函數(shù)恒小于或等于零，由此求得實數(shù)的值.【詳解】依題意，在上恒成立，則需恒成立，有兩個相等的實數(shù)根，故.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查除法的導(dǎo)數(shù)，考查一元二次不等式恒成立問題，屬于中檔題.20．【分析】先利用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式再求導(dǎo)代值計算即可【詳解】設(shè)lnx=t則x=et∵f（lnx）=x2-1nx∴f（t）=e2t-t∴f（x）=e2x-x∴f′（x）=2e2x-1∴f′（解析：【分析】先利用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式，再求導(dǎo)，代值計算即可．【詳解】設(shè)lnx=t，則x=et，∵f（lnx）=x2-1nx，∴f（t）=e2t-t，∴f（x）=e2x-x，∴f′（x）=2e2x-1，∴f′（1）=2e2-1，故答案為2e2-1．【點睛】本題考查了函數(shù)解析式的求法和導(dǎo)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題21．（1）0；（2）證明見解析.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）求導(dǎo)得出，討論的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)有最小值時的取值范圍，再令，由（1）得出的單調(diào)性，進(jìn)而證明該不等式.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，則因為，所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減所以區(qū)間上最大值為.（2）由題可知.①當(dāng)時，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減所以函數(shù)無最小值，此時不符合題意；②當(dāng)時，因為，所以.此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以函數(shù)無最小值，此時亦不符合題意；③當(dāng)時，此時.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以即.要證，只需證當(dāng)時，成立.即證設(shè)，由（1）知即成立.所以.【點睛】在證明不等式的恒成立問題時，可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，進(jìn)而證明不等式.22．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義運算即可得解；（2）結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點可得，再由函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化條件為，設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)證明即可得證.【詳解】（1）因為，所以，所以，解得；（2）證明：由題意，，因為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，設(shè)零點為，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故單調(diào)遞減，所以，故當(dāng)時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)函數(shù)的零點即函數(shù)的極值點轉(zhuǎn)化條件為證明.23．（1）；（2）.【分析】（1）函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，即有實數(shù)解，利用判別式大于等于零解出的取值范圍；（2）由可得值，令解出方程根，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，代入不等式可得的取值范圍，進(jìn)而得出的最小值．【詳解】（1）．由題意知有實數(shù)解．，即或．故（2），，即．，令得，．則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，，．故，時，所以，即的最小值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，解決本題的關(guān)鍵點是將恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值，即求，代入不等式可得參數(shù)的最小值，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．24．（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)，得增減區(qū)間；（2）不等式變形為，令，由的單調(diào)確定其有唯一零點，得出為極小值點，也是最小值點，證明最小值即得．【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為由已知得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)