專題04 平方根與立方根（解析版）

人教版七年級數(shù)學(xué)下冊《第六章實數(shù)》復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練專題訓(xùn)練四：平方根與立方根知識回顧★★算術(shù)平方根的知識回顧★★算術(shù)平方根的定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為a．★★平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．★★立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：3a類型一：算術(shù)平方根的定義及性質(zhì)類型一：算術(shù)平方根的定義及性質(zhì)◎【典例一】◎下列有關(guān)說法正確的是（）A．0.16的算術(shù)平方根是±0.4; B．（﹣6）2的算術(shù)平方根是﹣6; C．81的算術(shù)平方根是±9;D．4916的算術(shù)平方根是7【答案】D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出每個數(shù)的算術(shù)平方根，再判斷即可．【解答】解：A、0.16的算術(shù)平方根是0.4，故本選項錯誤；B、（﹣6）2的算術(shù)平方根是6，故本選項錯誤；C、81=9即81的算術(shù)平方根是3，故本選項錯誤；D、4916的算術(shù)平方根是7故選：D．■【變式1】一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，則下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是（）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)2+1 C．﹣a+1 D．【答案】B．【分析】根據(jù)乘方運算，可得被開方數(shù)，再根據(jù)開方運算，可得答案．【解答】解：一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，則下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是a2故選：B．■【變式2】已知|a|＝5，b2=7，且|a+b|＝a+b，則a﹣b的值為（A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12【答案】D．【分析】首先分別根據(jù)絕對值的和算術(shù)平方根的定義可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最終確定a，b的值，然后求解．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵b2=∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以當(dāng)a＝5時，b＝7時，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，當(dāng)a＝﹣5時，b＝7時，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值為﹣2或﹣12．故選：D．●●方法歸納●1.非負數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負數(shù)．2求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運算來尋找．類型二：平方根的定義及性質(zhì)類型二：平方根的定義及性質(zhì)◎【典例二】◎（2021秋??？谄谀ī?）2的平方根是（）A．﹣6 B．36 C．±6 D．±6【答案】C．【分析】首先根據(jù)平方的定義求出（﹣6）2的結(jié)果，然后利用平方根的定義即可解決問題．【解答】解：∵（﹣6）2＝36，∴±36=±6∴（﹣6）2的平方根是±6．故選：C．■【變式3】（2021秋?灌陽縣期末）一個正數(shù)的兩個平方根分別為a+3和4﹣2a，則這個正數(shù)為（）A．7 B．10 C．﹣10 D．100【答案】D．【分析】利用平方根的定義得出a+3+4﹣2a＝0，求出a，進而求出答案．【解答】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別為a+3和4﹣2a，∴a+3+4﹣2a＝0，解得：a＝7，則a+3＝10，4﹣2a＝﹣10，故這個正數(shù)是100．故選：D．■【變式4】（2022春?滑縣月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算術(shù)平方根是4．（1）求a、b的值；（2）求ab+5的平方根．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的定義可得到2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，進而求出a、b的值；（2）將a、b的值代入ab+5求出其值，再利用平方根的定義求出結(jié)果即可．【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算術(shù)平方根是4．∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，解得a＝5，b＝4；（2）當(dāng)a＝5，b＝4時，ab+5＝25，而25的平方根為±25=±5即ab+5的平方根是±5．●方法歸納●方法歸納●1.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“-a”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a2.平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．類型三：立方根的定義及性質(zhì)類型三：立方根的定義及性質(zhì)◎【典例三】◎（2021?銅仁市校級模擬）計算3-A．±33 B．33 C．±3 D【答案】D．【分析】3-27代表﹣【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴3-故選：D．■【變式5】（2021秋?炎陵縣期末）已知：y的立方根是2，2x﹣y是16的算術(shù)平方根，求：（1）x、y的值；（2）x2+y2的平方根．【分析】（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義求出x、y的值；（2）根據(jù)x、y的值求出x2+y2的值，最后求其算術(shù)平方根；【解答】解：（1）由于y的立方根是2，2x﹣y是16的算術(shù)平方根，所以有y＝23＝8，2x﹣y＝4，解得x＝6，y＝8，（2）當(dāng)x＝6，y＝8，x2+y2＝100，所以x2+y2的平方根為±100=±10■【變式6】若a2＝16，3-b=-2，則aA．12 B．12或4 C．12或±4 D．﹣12或4【答案】B．【分析】根據(jù)a2＝16，3-b=-2，可得：a＝±16，﹣b＝（﹣2）3，據(jù)此分別求出a、b的值各是多少，再把它們相加，求出a【解答】解：∵a2＝16，3-b∴a＝±16=±4，﹣b＝（﹣2）3＝﹣8∴a＝±4，b＝8，∴a+b＝4+8＝12或a+b＝﹣4+8＝4．故選：B．●●方法歸納●1.求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號a3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根．2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．類型四：運用類型四：運用的雙重非負性解題◎【典例四】◎若a2-1+（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b、c的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得，a2﹣1＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0，解得a＝±1，b＝3，c＝2，當(dāng)a＝﹣1，b＝3，c＝2時，原式＝（﹣1﹣3+2）3＝﹣8；當(dāng)a＝1，b＝3，c＝2時，原式＝（1﹣3+2）3＝0．■【變式7】已知x+1與y-2互為相反數(shù)，求（x﹣y【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0列出方程，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出x、y的值，然后求出（x﹣y）2的值，再根據(jù)平方根的定義解答．【解答】解：∵x+1與y∴x+1+∴x+1＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣1，y＝2，所以，（x﹣y）2＝（﹣1﹣2）2＝9，所以，（x﹣y）2的平方根是±3．■【變式8】已知a，b為實數(shù)，且1+a-(b-1)1-【分析】由已知條件得到1+a+（1﹣b）1-b=0，利用二次根式有意義的條件得到1﹣b≥0，再根據(jù)幾個非負數(shù)和的性質(zhì)得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根據(jù)乘方的意義計算a2020【解答】解：∵1+a∴1+a+（1﹣b）1-∵1﹣b≥0，1+a≥0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．●●方法歸納●非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（1）非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有雙重非負性，被開方數(shù)a是非負數(shù)，也具有非負性．（2）利用算術(shù)平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結(jié)果也是非負數(shù)列出不等式求解．非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．復(fù)復(fù)習(xí)專題突破練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)練1．（2021秋?濱江區(qū)期末）已知某數(shù)的一個平方根為6，則該數(shù)是，它的另一個平方根是．【答案】6，-6【分析】根據(jù)平方根的平方等于被開方數(shù)，可得答案，根據(jù)一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：某數(shù)的一個平方根是6，那么這個數(shù)是6，它的另一個平方根是-6故答案為：6，-62．（2021?威海模擬）81的算術(shù)平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．9【答案】B．【分析】首先根據(jù)算術(shù)平方根的含義和求法，求出81的值是9；然后求出9的算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵81=9∴81的算術(shù)平方根是：9=3故選：B．3．下列各式中，計算正確的是（）A．±16=4 B．16=±4 C．-16=-4 D【答案】C．【分析】依據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義和性質(zhì)求解即可．【解答】解：A、±16=±4B、16=4C、-16=-D、±16=±4故選：C．4．（2022春?滑縣月考）下列說法不正確的是（）A．4是16的算術(shù)平方根 B．53是259C．（﹣6）2的平方根﹣6 D．（﹣3）2的平方根是±3【答案】C．【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義逐項進行判斷即可．【解答】解：A．4是16的算術(shù)平方根，是正確的，因此選項A不符合題意；B．由于259的平方根是±53，因此53是25C．（﹣6）2＝36，而36的平方根是±6，因此選項C是錯誤的，所以選項C符合題意；D．（﹣3）2＝9，而9的平方根是±3，因此選項D是正確的，所以選項D不符合題意；故選：C．5．已知，2=1.414，20=A．0.2=0.1414B．200=14.14 C．0.2=0.04472D【答案】B．【分析】由2變?yōu)?00，小數(shù)點向右邊移動了2位，得到結(jié)果向左移動1位，即可得到近似結(jié)果．【解答】解：∵2=1.414∴200=14.14故選：B．6．（2021秋?海陽市期末）若x+3是9的一個平方根，則x的值為.【答案】0或﹣6．【分析】依據(jù)平方根的定義得到x+3＝3或x+3＝﹣3，從而可求得x的值．【解答】解：∵x+3是9的一個平方根，∴x+3＝3或x+3＝﹣3，解得：x＝0或x＝﹣6．故選：0或﹣6．7．（2021春?天心區(qū)期中）已知a-b+4+A．0 B．1 C．4 D．﹣4【答案】C．【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵a-∴a-解得：a∴a2的值為：22＝4．故選：C．8．（2021秋?淮安期末）求下列各式中的x．（1）4x2﹣25＝0；（2）（x+3）2＝16；（3）（x﹣1）3＝27．（4）2(x【分析】（1）利用平方根的概念解方程；（2）利用平方根的概念解方程；（3）利用立方根的概念解方程．【解答】解：（1）（1）4x2﹣25＝0，∴x2=254，∴x（2）（x+3）2＝16，x+3＝±4，x＝﹣3±4，x＝1或x＝﹣7；（3）（x﹣1）3＝27，x﹣1＝3，x＝4．（4）等式兩邊都除以2得：（x﹣1）3=278，∴x﹣1=32提升練提升練9．（2021?翔安區(qū)模擬）如圖，矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別是x2（x＞0）和4，那么陰影部分的面積為（）A．2x+4 B．2x﹣4 C．x2﹣4 D．2x﹣2【答案】B．【分析】根據(jù)兩正方形面積，利用算術(shù)平方根定義求出各自的邊長，表示出陰影部分面積即可．【解答】∵兩個相鄰的正方形，面積分別是x2（x＞0）和4，∴它們的邊長分別為x和2，∴陰影部分是一個長為2，寬為（x﹣2）的矩形，∴陰影部分的面積為2（x﹣2）＝2x﹣4，故選：B．10．（2021春?饒平縣校級月考）若2m﹣4與3m﹣11是同一個數(shù)的平方根，則m的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1 D．3或7【答案】D．【分析】依據(jù)平方根的性質(zhì)列方程求解即可．【解答】解：由題意知，2m﹣4+3m﹣11＝0或2m﹣4＝3m﹣11，解得m＝3或m＝7．故選：D．11．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖，當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y是（）A．2 B．8 C．8 D．18【答案】C．【分析】利用數(shù)值轉(zhuǎn)換器中的程序，算術(shù)平方根的意義和無理數(shù)的意義解答即可．【解答】解：∵64的算術(shù)平方根為8，8為有理數(shù)，∴依據(jù)程序，8要再次輸入運算．∵8的算術(shù)平方根為8，8為無理數(shù)，∴依據(jù)程序，8輸出．∴輸出的y=8故選：C．12．（2021秋?文山市期末）已知：2a+1的算術(shù)平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，求320【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義求出a，b的值，代入求值即可．【解答】解：∵2a+1的算術(shù)平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，∴a＝4，b＝3，∴原式=320×3+413．（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖，有一個面積為400cm2的正方形．（1）正方形的邊長是多少？（2）若沿此正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為5：4，且面積為360cm2？若能，試求出剪出的長方形紙片的長與寬；若不能，試說明．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積等于邊長乘以邊長．利用算術(shù)平方根的意義進行計算．（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可．【解答】解：（1）∵正方形的面積為400cm2，∴正方形的邊長是400=20（cm（2）設(shè)長方形紙片的長為5xcm，寬為4xcm，則5x?4x＝360，解得：x＝32，則5x＝152＞20所以沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為5：4，且面積為360cm2．培優(yōu)練培優(yōu)練14．觀察例題：∵4＜7∴7的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為7-請你觀察上述規(guī)律后解決下面的問題：（1）規(guī)定用符號[m]表示實數(shù)m的整數(shù)部分例如：[2