第五章分式與分式方程易錯(cuò)六大題型2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

分式與分式方程易錯(cuò)六大題型分式方程的題型中，有很多陷阱。可以先熟悉常見(jiàn)的六類(lèi)易錯(cuò)題型，做題過(guò)程中，盡量避免錯(cuò)誤.題型一．分式值為0時(shí)求值，忽略分母不為01．若分式的值為0，則x的值為（）A．-1 B．0 C．1 D．±12．若eq\f(|x|－1,x－1)的值為0，則x的值為()A．1B．0C．±1D．－13.若分式﹣1的值是正數(shù)、負(fù)數(shù)、0時(shí)，求x的取值范圍．題型二．確定自變量取值范圍時(shí)忽略分母不能為04.在函數(shù)y=1x+3+4?xx<4 B.x≥4且x≠?3 C.x>4 5.函數(shù)y=x+2x?1中自變量xA.x≥?2且x≠1 B.x≥?2 C.x≠1 D.?2≤x<16.當(dāng)x取何值時(shí)，式子有意義？當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，該式子值為零？題型三．求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值7．若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x值有（）A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)8.使分式的值為整數(shù)的整數(shù)x的值是_____________．9.若關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，m的值是___________．10.先化簡(jiǎn)分式，然后請(qǐng)你從-2、-1、0、1、2、3選取一個(gè)合適的x的值，使分式的值為一個(gè)整數(shù)．題型四．自主取值再求值時(shí)，忽略分母或除式不能為0先化簡(jiǎn)，再求值：（x2?2x+1x2?x+x2?412.先化簡(jiǎn)（1+2x?3）÷x2?1x2?6x+9，再?gòu)牟坏仁浇M?2x<43x<2x+4的整數(shù)解中選一個(gè)合適的x的值代入求值．

13.先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)＋\f(4,x2－4x＋4)))÷eq\f(x,x－2)，其中－1＜x≤2且x為整數(shù)．請(qǐng)你選一個(gè)合適的x題型五．解分式方程不驗(yàn)根導(dǎo)致易錯(cuò)14.解方程．①15.解方程．16.當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？題型六．分式方程無(wú)解與增根混淆不清17.當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解？18．已知關(guān)于x的方程x?4mx2?4A．m=12，m=?2 B．m=?12，m=219．關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則字母a的值是（）A．a(chǎn)≠5且a≠0 B．a(chǎn)＝0 C．a(chǎn)＝5 D．a(chǎn)＝5或a＝0題型七、已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時(shí)參數(shù)的值20．若關(guān)于x的方程m?3x?1=1的解為正數(shù)，則A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＞4 D．m＞4且m≠521．已知關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C．且 D．且22．若二次根式有意義，且關(guān)于x的分式方程+2＝有正數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣423．已知，關(guān)于x的分式方程＝1．（1）當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，求分式方程的解；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程＝1無(wú)解；（3）若a＝3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程＝1解為整數(shù)時(shí)，求b的值．24.當(dāng)k的值為_(kāi)________（填出一個(gè)值即可）時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。題型八.未能準(zhǔn)確確定不等式組的解集導(dǎo)致錯(cuò)誤25．若關(guān)于x的不等式組至少有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程4﹣有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）A．16 B．10 C．8 D．326．若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3（x－2）>－2，,\f(a＋x,2)<x))有解，關(guān)于y的分式方程eq\f(ay－1,4－y)＋eq\f(3,y－4)＝－2有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為()A．0B．1C．2D．527．若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)≤\f(11＋x,3)，,4x－a>x＋1))有且只有45個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程eq\f(2y＋a＋2,y＋1)＋eq\f(60,1＋y)＝1的解為非正數(shù)，求整數(shù)a的值．參考答案：題型一．分式值為0時(shí)求值，忽略分母不為01．若分式的值為0，則x的值為（）A．-1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【解答】由題意得：|x|?1＝0，∴x=1或-1，又∵x2?3x+2≠0，∴x≠1所以x＝-1，故答案為：A.2．若eq\f(|x|－1,x－1)的值為0，則x的值為()A．1B．0C．±1D．－1解：由題意得：|x|?1＝0，∴x=1或-1，又因?yàn)榉帜竫-1≠0，所以∴x≠1所以x＝-1，故選D3.若分式﹣1的值是正數(shù)、負(fù)數(shù)、0時(shí)，求x的取值范圍．解：當(dāng)x＞2或x＜﹣2時(shí)，分式的值為正數(shù)；當(dāng)﹣2＜x＜2時(shí)，分式的值為負(fù)數(shù)；當(dāng)x=2時(shí)，分式的值為0．題型二．確定自變量取值范圍時(shí)忽略分母不能為04.在函數(shù)y=1x+3+4?x中，自變量x<4 B.x≥4且x≠?3 C.x>4 【答案】D.解：由題意得4?x≥0且x+3≠0，∴x≤4且x≠?3，5.函數(shù)y=x+2x?1中自變量x的取值范圍是（）A.x≥?2且x≠1 B.x≥?2 C.x≠1 D.?2≤x<1【答案】A解：由題意得x+2≥0且x-1≠0，∴x≥?2且x≠1，故選A

6.當(dāng)x取何值時(shí)，式子有意義？當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，該式子值為零？解：由得或所以，當(dāng)和時(shí)，原分式有意義由分子得當(dāng)時(shí)，分母當(dāng)時(shí)，分母，原分式無(wú)意義。所以當(dāng)時(shí)，式子的值為零題型三．求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值7．若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x值有（）A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)解：==3+當(dāng)2x﹣1=±6或±3或±2或±1時(shí)，是整數(shù)，即原式是整數(shù)．當(dāng)2x﹣1=±6或±2時(shí)，x的值不是整數(shù)，當(dāng)?shù)扔凇?或±1是滿(mǎn)足條件．故使分式的值為整數(shù)的x值有4個(gè)，是2，0和±1．故選B．8.使分式的值為整數(shù)的整數(shù)x的值是_____________．解：若使分式表示一個(gè)整數(shù)，則x﹣1一定是2的約數(shù)，2的約數(shù)有±2，±1共4個(gè)，當(dāng)x﹣1=±2時(shí)，x=﹣1或3；當(dāng)x﹣1=±1時(shí)，x=0或2；經(jīng)檢驗(yàn)，x=2、0、3、﹣1均可使分式有意義；故答案為：2或0或3或﹣1．9.若關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，m的值是___________．解：，∴mx﹣1﹣1=2（x﹣2），∴x=﹣，而分式方程有整數(shù)解，∴m﹣2=1，m﹣2=﹣1，m﹣2=2，m﹣2=﹣2，但是m﹣2=﹣1時(shí)，x=2，是方式方程的增根，不合題意，舍去∴m﹣2=1，m﹣2=2，m﹣2=﹣2，∴m=4，m=3，m=0．故答案為：m=4，m=3，m=0．10.先化簡(jiǎn)分式，然后請(qǐng)你從-2、-1、0、1、2、3選取一個(gè)合適的x的值，使分式的值為一個(gè)整數(shù)．解：==∵x不能等于-1、1、0∴x=3時(shí)，分式=1．題型四．自主取值再求值時(shí)，忽略分母或除式不能為011.先化簡(jiǎn)，再求值：（x2?2x+1x2?x+x2?4x2+2x）÷1x，且x為滿(mǎn)足-3＜x＜2的整數(shù)．

【答案】解：原式=[(x?1)2x(x?1)+(x?2)(x+2)x(x+2)]÷1x

=（x?1x+x?2x）?x

=x-1+x-2

=2x-3，

由于x為滿(mǎn)足-3＜x＜2的整數(shù)．x≠0且x≠1且x≠-2，

所以x=-1，

原式=-2-3=-5.

12.先化簡(jiǎn)（1+2x?3）÷x2?1x2?6x+9，再?gòu)牟坏仁浇M?2x<43x<2x+4的整數(shù)解中選一個(gè)合適的x的值代入求值．

解：原式=x?3+2x?3×(x?3)2(x+1)(x?1)=x?3x+1，

解不等式組?2x<43x<2x+4得-2＜x＜4，

∴其整數(shù)解為-1，0，1，2，3，

∵要使原分式有意義，

∴x≠3且x≠±1，

∴x可取0，2．

∴當(dāng)x=0

時(shí)，原式=-3，

（或當(dāng)x=2

時(shí)，原式=-13）．

13.先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)＋\f解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)＋\f(4,x2－4x＋4)))÷eq\f(x,x－2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（x＋2）（x－2）,（x－2）2)＋\f(4,（x－2）2)))·eq\f(x－2,x)＝eq\f(x2,（x－2）2)·eq\f(x－2,x)＝eq\f(x,x－2).∵－1＜x≤2且x為整數(shù)，∴x＝0，1，2，∵當(dāng)x≠0且x≠2時(shí)，分式有意義．∴當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝eq\f(1,1－2)＝－1.題型五．解分式方程不驗(yàn)根導(dǎo)致易錯(cuò)14.解方程．①解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解這個(gè)方程，得x=2．經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，原方程無(wú)意義，所以x=２是原方程的增根．所以原方程無(wú)解．15.解方程．解：去分母后化為x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解，所以原分式方程無(wú)解．16.當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10若原分式方程有增根，則x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．題型六．分式方程無(wú)解與增根混淆不清17.當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解？解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10若原方程無(wú)解，則有兩種情形：（1）當(dāng)a－1＝0（即a＝1）時(shí)，方程②為0x＝－10，此方程無(wú)解，所以原方程無(wú)解。（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無(wú)解．原方程若有增根，增根為x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．綜上所述，a＝1或a＝一４或a＝6時(shí)，原分式方程無(wú)解．18．已知關(guān)于x的方程x?4mx2?4A．m=12，m=?2 B．m=?12，m=2解：關(guān)于x的方程x?4mxx﹣4m+m（x+2）＝x﹣2，整理得，mx＝2m﹣2，由于關(guān)于x的方程x?4mx所以m＝0，或產(chǎn)生增根x＝±2，當(dāng)x＝2時(shí)，m的值不存在，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，m=1因此m＝0或m=1故選：D．19．關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則字母a的值是（）A．a(chǎn)≠5且a≠0 B．a(chǎn)＝0 C．a(chǎn)＝5 D．a(chǎn)＝5或a＝0解：，去分母得：5（x?2）＝ax，∴（5?a）x＝10，∵關(guān)于x的分式方程程無(wú)解，∴5?a＝0，x＝0或x＝2，即a＝5，2（5﹣a）＝10，解得a＝0，∴a的值為5或0．故選：D．題型七、已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時(shí)參數(shù)的值20．若關(guān)于x的方程m?3x?1=1的解為正數(shù)，則A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＞4 D．m＞4且m≠5解：解關(guān)于x的方程m?3x?1=1得，x＝又因?yàn)殛P(guān)于x的方程m?3x?1所以m﹣2＞0，即m＞2，而x＝1是分式方程的增根，因此m﹣2≠1，即m≠3，因此m的取值范圍為m＞2且m≠3，故選：B．21．已知關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C．且 D．且【答案】C解：∵

解得：

∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

∴

解得：故答案為：C.22．若二次根式有意義，且關(guān)于x的分式方程+2＝有正數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4【答案】D解：將分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝，∵關(guān)于x的分式方程+2＝有正數(shù)解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，當(dāng)x＝1時(shí)，＝1，即m＝﹣3∴m≠﹣3，∵有意義，∴2﹣m≥0，∴m≤2，因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，∵m為整數(shù)，∴m可以為﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和為﹣4，故答案為：D．23．已知，關(guān)于x的分式方程＝1．（1）當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，求分式方程的解；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程＝1無(wú)解；（3）若a＝3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程＝1解為整數(shù)時(shí)，求b的值．解：（1）把a(bǔ)＝2，b＝1代入分式方程中，得，方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，檢驗(yàn)：把x＝代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．答：分式方程的解是x＝．（2）把a(bǔ)＝1代入分式方程得，方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，①當(dāng)11﹣2b＝0時(shí)，即，方程無(wú)解；②當(dāng)11﹣2b≠0時(shí)，，時(shí)，分式方程無(wú)解，即，b不存在；x＝5時(shí)，分式方程無(wú)解，即，b＝5．綜上所述，或b＝5時(shí)，分式方程無(wú)解．（3）把a(bǔ)＝3b代入分式方程中，得：方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，∵，且b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合題意，故10+b可以取13、15、39、65、195這五個(gè)數(shù)．對(duì)應(yīng)地，方程的解x為3、5、13、15、17，由于x＝5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去．對(duì)應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，所以滿(mǎn)足條件的b可取3、29、55、185這四個(gè)數(shù)．24.當(dāng)k的值為_(kāi)________（填出一個(gè)值即可）時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。解：原方程可化為：要原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，有下面兩種情況：（1）當(dāng)方程<1>有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且不為原方程的增根，所以由得k=－1。當(dāng)k=－1時(shí)，方程<1>的根為，符合題意。（2）方程<1>有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中有一個(gè)是原方程的增根，所以由，得k>－1。又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入<1>得k=0，或k=3，均符合題意。綜上所述：可填“－1、0、3”中的任何一個(gè)即可。題型八.未能準(zhǔn)確確定不等式組的解集導(dǎo)致錯(cuò)誤25．若關(guān)于x的不等式組至少有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程4﹣有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）A．16 B．10 C．8 D．3解：不等式組整理得：，解得：﹣2≤x＜a﹣1，∵不等式組至少有4個(gè)整數(shù)解，∴a﹣1＞1，解得：a＞2，分式方程去分母得：4（y﹣1）﹣ay＝﹣6，解得：y＝，∵分式方程有整數(shù)解，∴a﹣4＝±1，a﹣4＝﹣2，解得：a＝5或a＝3或a＝2（舍去），則符合條件的所有整數(shù)a的和為5+3＝8．故選：C．26．若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3（x－2）