2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試專題04基本不等式及其應用學生版

專題04基本不等式及其應用一、【知識梳理】【考綱要求】1.了解基本不等式的證明過程.2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.3.掌握基本不等式在生活實際中的應用.【考點預測】1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.【常用結論】1.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.2.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).3.應用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.【方法技巧】1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的問題，先將eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.構建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構造目標式的不等式求解.5.當基本不等式與其他知識相結合時，往往是提供一個應用基本不等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值.6.求參數(shù)的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.7.根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.8.解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.9.在應用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.二、【題型歸類】【題型一】用配湊法求基本不等式的最值【典例1】設0<x<eq\f(3,2)，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為()A.eq\f(9,4) B．4C.eq\f(9,2) D．9【典例2】若x<eq\f(2,3)，則f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3【典例3】函數(shù)y＝x+5x+2x+1(【題型二】用常數(shù)代換法求基本不等式的最值【典例1】已知首項與公比相等的等比數(shù)列{an}中，滿足amaeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,4)(m，n∈N＋)，則eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A.1B.eq\f(3,2)C.2D.eq\f(9,2)【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)的最小值是()A．1 B．2C.eq\f(9,4) D.eq\f(9,2)【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．【題型三】用消元法求基本不等式的最值【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_____．【典例2】若實數(shù)x>1，y>eq\f(1,2)且x＋2y＝3，則eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)的最小值為________．【典例3】已知正實數(shù)a，b滿足a2－b＋4≤0，則u＝eq\f(2a＋3b,a＋b)()A.有最大值eq\f(14,5) B.有最小值eq\f(14,5)C.有最小值3 D.有最大值3【題型四】基本不等式的常見變形應用【典例1】《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)【典例2】已知0<a<1，b>1，則下列不等式中成立的是()A．a(chǎn)＋b<eq\f(4ab,a＋b)B.eq\r(ab)<eq\f(2ab,a＋b)C.eq\r(2a2＋2b2)<2eq\r(ab)D．a(chǎn)＋b<eq\r(2a2＋2b2)【典例3】若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2abB．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2【題型五】利用基本不等式求參數(shù)范圍【典例1】已知a>0，b>0，若不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，則m的最大值為()A．4 B．16 C．9 D．3【典例2】已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若關于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．【典例3】已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()A.2B.4C.6D.8【題型六】基本不等式與其他知識交匯的最值問題【典例1】在△ABC中，點P滿足eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，過點P的直線與AB，AC所在直線分別交于點M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，則m＋2n的最小值為()A.3B.4C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)【典例2】如果函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()A．16 B．18 C．25 D.eq\f(81,2)【典例3】在△ABC中，A＝eq\f(π,6)，△ABC的面積為2，則eq\f(2sinC,sinC＋2sinB)＋eq\f(sinB,sinC)的最小值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,3)【題型七】基本不等式的實際應用【典例1】某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場，設計時決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分)，水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，經(jīng)測量得到AE＝10m，EF＝20m，為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設一個保護欄，設計時經(jīng)過點G作一直線分別交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場，設DN＝x(m)．(1)將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；(2)當x為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．【典例2】如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔排出，設箱體的長度為am，高度為bm，已知排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60m2，問a，b各為多少m時，經(jīng)沉淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔面積忽略不計)?【典例3】如圖，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最小？三、【培優(yōu)訓練】【訓練一】(多選)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是()A.a＋b＋c≤eq\r(3) B.(a＋b＋c)2≥3C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D.a2＋b2＋c2≥1【訓練二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值；(2)若a，b∈R，ab>0，求eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值.【訓練三】若x>0，y>0且x＋y＝xy，則eq\f(x,x－1)＋eq\f(2y,y－1)的最小值為________．【訓練四】設a>b>0，則a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值是________．【訓練五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2eq\r(ab)－4a2－b2的最大值．【訓練六】如圖所示，已知樹頂A離地面eq\f(21,2)米，樹上另一點B離地面eq\f(11,2)米，某人在離地面eq\f(3,2)米的C處看此樹，則該人離此樹________米時，看A，B的視角最大．四、【強化測試】【單選題】1.若x>0，y>0，則“x＋2y＝2eq\r(2xy)”的一個充分不必要條件是()A.x＝y(tǒng) B.x＝2yC.x＝2且y＝1 D.x＝y(tǒng)或y＝12.函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋4,|x|)的最小值為()A.3B.4C.6D.83.若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為()A.8B.6C.4D.24.已知正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A.eq\f(5,3)B.3C.5D.95.已知函數(shù)f(x)＝ex在點(0，f(0))處的切線為l，動點(a，b)在直線l上，則2a＋2－b的最小值是()A.4B.2C.2eq\r(2)D.eq\r(2)6.若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]7.設a>0，若關于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為()A．16 B．9C．4 D．28.已知x>0，y>0，且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，則x＋y的最小值為()A．3 B．5C．7 D．9【多選題】9.若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(1,\r(ab))C．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2 D．a(chǎn)2＋b2≥2ab10.給出下面四個推斷，其中正確的為()A．若a，b∈(0，＋∞)，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B．若x，y∈(0，＋∞)，則lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若a∈R，a≠0，則eq\f(4,a)＋a≥4D．若x，y∈R，xy<0，則eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≤－211.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則()A．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)12.設a>0，b>0，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2) B.eq\f(2ab,a＋b)>eq\r(ab)C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4【填空題】13.設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，則4a3＋eq\f(9,a7)的最小值為________.14.設P(x，y)是函數(shù)y＝eq\f(2,x)(x>0)圖象上的點，則x＋y的最小值為________．15.函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值為________．16.若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為________，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為________．【解答題】17.(1)當x<eq\f(3,2)時，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2