函數(shù)方程專題之函數(shù)方程思想（2）-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機(jī)構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)函數(shù)方程專題之函數(shù)與方程思想②教學(xué)目標(biāo)理解函數(shù)思想與方程思想的含義，以及它們之間的聯(lián)系，能熟練利用函數(shù)與方程的思想解題．知識梳理1．函數(shù)與方程思想的含義函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，它們之間有著密切的練習(xí)。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，主要依據(jù)題意構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)或建立相應(yīng)的方程來解決問題，是歷來高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．（1）函數(shù)思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題，即善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題．（2）方程思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察、處理問題．（3）方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程的解就是函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（零點(diǎn)）；函數(shù)也可以看作二元方程；通過方程進(jìn)行研究，方程有解，當(dāng)且僅當(dāng)屬于函數(shù)的值域；與的圖像的交點(diǎn)問題，就是研究方程的實(shí)數(shù)解的問題，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要．2．函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用（1）函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就化為不等式，借助于函數(shù)的圖像和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式；（2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要；（3）解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；（4）立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切．典例精講例1．（★★）關(guān)于的方程恒有解，求的取值范圍．解析：（法一）設(shè)原方程有解即方程有正根，即，解得（方法二）設(shè)①當(dāng)；②.綜上可得，。點(diǎn)評：對于多元方程（含參數(shù)）通常有兩類辦法：一是換元，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系或判別式，或者利用三角函數(shù)的有界性加以解決；二是分離變量構(gòu)造函數(shù)，把方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決。例2．（★★★）已知對任意都有意義，則的范圍是（）．；．；．；．．答案：．例3．（★★★）關(guān)于的不等式的解集是，求實(shí)數(shù)的值。答案：，．例4．（★★★）設(shè)集合.（1）若A中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值集合B；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．答案：（1）（2）例5．（★★★）對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為?！緦τ诤袃蓚€(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍?！坷?．（★★★★）已知定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，其中（），．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍．解：（1）由，得（2），當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增（證明略），故．由題設(shè)，得，故或解得為所求的范圍．14分課堂檢測1．（★★）方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，則k的取值范圍為（）．－1≤k≤eq\f(5,4)； ．－eq\f(5,4)≤k≤0；．0≤k≤eq\f(5,4) ．－eq\f(5,4)≤k≤1．解析由方程sin2x＋cosx＋k＝0，得k＝－sin2x－cosx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，令t＝cosx，則t∈[－1,1]，∴k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，求得－eq\f(5,4)≤k≤1.答案．2．（★★★）函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．答案：．3．（★★★）已知關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是________．答案：．4．（★★★★）已知函數(shù)f(x)＝cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3π))，若方程f(x)＝a有三個(gè)不同的根，且從小到大依次成等比數(shù)列，則a＝________．解析設(shè)方程的3個(gè)根分別是x1、x2、x3，如圖．因?yàn)閥＝cosx的圖象是軸對稱圖形，所以x1＋x2＝2π，x2＋x3＝4π，又因?yàn)閤1、x2、x3成等比數(shù)列，解得x1＝eq\f(2π,3)，故a＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)．5．（★★★）已知，對于值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍．解：∵，∴f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，從而m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，原題可轉(zhuǎn)化為m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．當(dāng)x＝2時(shí)，不等式不成立．∴x≠2，令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2為m的一次函數(shù)．問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上恒大于0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,g(3)>0.))解得x>2或x<－1.故x的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．（★★★★）設(shè)（），試找出最大的實(shí)數(shù)，使得恒成立．7．（★★★★）已知函數(shù)，（），若任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．答案：．8．（★★★★）是定義在上的以為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間，已知當(dāng)時(shí)，．（1）.求在上的解析式；（2）對自然數(shù)，求集合={|使方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根}．答案：（1）（）．（2）．9．（★★★★）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，，有恒成立．（1）判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式；（3）若對所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)，且．由于，，有；又是奇函數(shù)，故，推得，即．所以在上是增函數(shù)．（2）利用在上是增函數(shù)，要研究的不等式轉(zhuǎn)化為，另外須滿足限制條件以及．不等式可表示為，即．上式左端三個(gè)因子的零點(diǎn)按從小到大順序?yàn)椋蛇@三個(gè)點(diǎn)劃分出四個(gè)區(qū)間：，三因子在四個(gè)區(qū)間中的正負(fù)號情況分別為“---”，“+--”，“++-”和“+++”，故滿足不等式的．又第一個(gè)限制條件相當(dāng)于，此時(shí)，第二個(gè)限制條件只要考慮左半部分，即，所以，合并兩限制條件相當(dāng)于，綜合和得到．（3）利用在上是增函數(shù)，對所有恒成立等價(jià)于，注意到問題轉(zhuǎn)化為對所有恒成立．；或所有恒成立，；或所有恒成立，；綜上，．回顧總結(jié)1．借助有關(guān)函數(shù)的