云南省文山州丘北縣2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷

云南省文山州丘北縣2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷(解析版)一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分）下列是一元二次方程的是（）A．x+y＝1 B．x2+2＝0 C．2x2﹣y＝1 D．2．（3分）下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個等腰直角三角形 C．兩個長方形 D．兩個正方形3．（3分）下列說法中，不正確的是（）A．一組鄰邊相等的矩形是正方形 B．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4．（3分）連續(xù)擲兩枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率為（）A． B． C． D．15．（3分）關于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x﹣2k＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定6．（3分）一個盒子中裝有a個白球和3個紅球（除顏色外完全相同），若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在80%左右，則a的值約為（）A．9 B．12 C．15 D．187．（3分）在一幅比例尺為1：1000000的地圖上，量得某座大橋長5.5厘米，這座大橋的實際長度是（）A．55米 B．10千米 C．55千米8．（3分）如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉一個角度得到AB1C1D1，使得點D1恰好落在BC邊上，若AD＝2AB＝4，則CD1的長為（）A．1 B．2 C． D．9．（3分）若a、b是菱形ABCD的兩條對角線的長，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個根，則菱形ABCD的邊長為（）A．4 B．5 C． D．1010．（3分）如圖，點D在△ABC的邊AC上，添加一個條件，不能判斷△ABC與△BDC相似的是（）A．∠CBD＝∠A B． C．∠CBA＝∠CDB D．11．（3分）要組織一次籃球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要賽一場，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．如果共有x個隊參賽，為了求出x，根據(jù)題意可列方程（）A．x（x+1）＝4×7 B．x（x﹣1）＝4×7 C． D．12．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于點G，連接AG，下列結論中，不正確的是（）A．CE＝DF B．CE⊥DF C． D．△ADG是等邊三角形二、填空題（本大題共4小題，每小題2分共8分）13．（2分）如果，那么＝．14．（2分）如圖，在△ABC中，若∠ACB＝90°，點D是AB的中點，AB＝4，則CD的長度是．15．（2分）若關于x的方程x2+bx+6＝0的一個根是3，則b的值為．16．（2分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為．三、解答題（本大題共8小題，共56分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x＝4；（2）（x+2）（x+1）＝12．18．（6分）如圖，D、E、F分別是△ABC的AB、AC、BC邊上的點，且DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．19．（7分）隨著“共享經(jīng)濟”的概念迅速普及，共享汽車業(yè)進入了人們的視野，某共享汽車租賃公司年初在某地投放了一批共享汽車，全天包車的租金定為每輛120元．據(jù)統(tǒng)計，八月份的全天包車數(shù)為25次，在租金不變的基礎下，九月、十月的全天包車數(shù)持續(xù)走高，十月份的全天包車數(shù)達到64次．若從八月份到十月份的全天包車數(shù)月平均增長率不變，求全天包車數(shù)的月平均增長率．20．（7分）如圖，佳佳同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，水平地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，木板到平面鏡的水平距離BC＝3m，已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，求燈泡到地面的高度AG．21．（7分）在一個不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出一個乒乓球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出一個乒乓球，記下數(shù)字．（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結果；（2）求兩次摸到乒乓球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，對角線AC、BD交于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，且∠ABO＝∠ACE，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD還菱形；（2）若，∠ADC＝120°，求菱形ABCD的面積．23．（8分）已知實數(shù)a、b滿足（2a2+b2+1）（2a2+b2﹣1）＝80，試求2a2+b2的值．解：設2a2+b2＝m，則原方程可化為（m+1）（m﹣1）＝80，即m2＝81，解得：m＝±9，∵2a2+b2≥0，∴2a2+b2＝9，上面的這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料，解決下列問題：（1）已知實數(shù)x、y滿足（2x2+2y2﹣1）（x2+y2）＝3，求3x2+3y2﹣2的值；（2）若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120，求這四個正整數(shù)．24．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，動點P從點A出發(fā)沿著邊AB向點B以1cm/s的速度運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿著邊BC向點C以2cm/s的速度運動，當點P停止運動時，點Q也隨之停止運動，設運動時間為ts．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）是否存在某一時刻，使得以B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分）下列是一元二次方程的是（）A．x+y＝1 B．x2+2＝0 C．2x2﹣y＝1 D．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的整式方程即為一元二次方程．【解答】解：A、含有兩個未知數(shù)，不符合定義，故不符合題意；B、符合定義，故符合題意；C、含有兩個未知數(shù)，不符合定義，故不符合題意；D、含有分式，不符合定義，故不符合題意；故選：B．【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟記定義是解題的關鍵．2．（3分）下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個等腰直角三角形 C．兩個長方形 D．兩個正方形【分析】根據(jù)相似圖形的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、兩個等邊三角形對應邊成比例，對應角相等，一定相似，故本選項錯誤；B、兩個等腰直角三角形，頂角都是直角相等，夾邊成比例，一定相似，故本選項錯誤；C、兩個長方形，四個角都是直角相等，但對應邊不一定成比例，不一定相似，故本選項正確；D、兩個正方形對應邊成比例，對應角相等，一定相似，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查了相似圖形的概念，注意從對應邊成比例，對應角相等兩個方面考慮．3．（3分）下列說法中，不正確的是（）A．一組鄰邊相等的矩形是正方形 B．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)各個選項中的說法，可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：一組鄰邊相等的矩形是正方形，故選項A正確；一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，如圖AD＝BC，∠ABC＝90°，則四邊形ABCD不是矩形，故選項B錯誤；一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項C正確；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項D正確；故選：B．【點評】本題考查正方形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定、矩形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷各個選項中的說法是否正確．4．（3分）連續(xù)擲兩枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率為（）A． B． C． D．1【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有4種等可能結果，其中一枚正面朝上、一枚反面朝上的有2種結果，所以一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率為＝，故選：A．【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．5．（3分）關于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x﹣2k＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【分析】根據(jù)根的判別式進行判斷即可．【解答】解：∵a＝1，b＝k﹣3，c＝﹣2k，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4×1×（﹣2k）＝k2﹣6k+9+8k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．6．（3分）一個盒子中裝有a個白球和3個紅球（除顏色外完全相同），若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在80%左右，則a的值約為（）A．9 B．12 C．15 D．18【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右得到比例關系，列出方程求解即可．【解答】解：由題意可得，×100%＝20%，解得a＝12．經(jīng)檢驗：a＝12是原分式方程的解，所以a的值約為12，故選：B．【點評】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應的等量關系．7．（3分）在一幅比例尺為1：1000000的地圖上，量得某座大橋長5.5厘米，這座大橋的實際長度是（）A．55米 B．10千米 C．55千米【分析】根據(jù)比例尺的定義列式計算，然后再把單位換算為千米即可．【解答】解：5.5×1000000＝5500000（厘米），5500000厘米＝55千米．故大橋的實際長度是55千米．故選：C．【點評】本題考查了比例線段，主要利用了比例尺的定義，難點在于把所求的數(shù)值進行單位換算．8．（3分）如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉一個角度得到AB1C1D1，使得點D1恰好落在BC邊上，若AD＝2AB＝4，則CD1的長為（）A．1 B．2 C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質得到∠B＝90°，BC＝AD＝4，由旋轉得到AD1＝AD＝4，利用勾股定理求出BD1即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝4，∵AD＝2AB＝4，∴AB＝2，由旋轉得AD1＝AD＝4，∴，∴，故選：D．【點評】此題考查了矩形的性質，勾股定理，以及旋轉的性質，綜合掌握各性質定理是解題的關鍵．9．（3分）若a、b是菱形ABCD的兩條對角線的長，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個根，則菱形ABCD的邊長為（）A．4 B．5 C． D．10【分析】先求出方程的解，根據(jù)菱形的性質得出AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3，AB＝BC＝CD＝AD，再根據(jù)勾股定理求出AB即可．【解答】解：解方程x2﹣14x+48＝0，得x＝6或8，所以菱形ABCD的對角線為6和8，設菱形ABCD的對角線AC和BD交于O，所以AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3，由勾股定理得：AB＝BC＝CD＝AD＝＝＝5，即菱形ABCD的邊長是5．故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程，菱形的性質，勾股定理等知識點，能熟記菱形的性質是解此題的關鍵，注意：菱形的對角線互相垂直平分．菱形的四條邊都相等．10．（3分）如圖，點D在△ABC的邊AC上，添加一個條件，不能判斷△ABC與△BDC相似的是（）A．∠CBD＝∠A B． C．∠CBA＝∠CDB D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐個判斷即可．【解答】解：A．∠CBD＝∠A，∠C＝∠C，符合相似三角形的判定定理（有兩角對應相等的兩三角形相似），能推出△ABC與△BDC相似，故本選項不符合題意；B．＝，不符合相似三角形的判定定理，不能推出△ABC與△BDC相似，故本選項符合題意；C．∠CBA＝∠CDB，∠C＝∠C，符合相似三角形的判定定理（有兩角對應相等的兩三角形相似），能推出△ABC與△BDC相似，故本選項不符合題意；D．＝＝，符合相似三角形的判定定理（有三邊對應成比例的兩三角形相似），能推出△ABC與△BDC相似，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理是解此題的關鍵，①有兩角對應相等的兩三角形相似，②有三邊對應成比例的兩三角形相似，③有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似．11．（3分）要組織一次籃球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要賽一場，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．如果共有x個隊參賽，為了求出x，根據(jù)題意可列方程（）A．x（x+1）＝4×7 B．x（x﹣1）＝4×7 C． D．【分析】關系式為：球隊總數(shù)×每支球隊需賽的場數(shù)÷2＝4×7，把相關數(shù)值代入即可．【解答】解：每支球隊都需要與其他球隊賽（x﹣1）場，但2隊之間只有1場比賽，所以可列方程為：x（x﹣1）＝4×7．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關鍵是得到比賽總場數(shù)的等量關系，注意2隊之間的比賽只有1場，最后的總場數(shù)應除以2．12．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于點G，連接AG，下列結論中，不正確的是（）A．CE＝DF B．CE⊥DF C． D．△ADG是等邊三角形【分析】由正方形的性質可得△BCE≌△CDF即可得出CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，進而得出∠DCG+∠CDF＝90°，即CE⊥DF，由H是中點可得GH＝CD＝AD，△CGD是直角三角形，DG≠CD，即DG≠AD，△ADG不是等邊三角形．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCF，∵E，F(xiàn)是中點，∴BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，故A正確；∵∠BCE+∠DCG＝90°，∴∠DCG+∠CDF＝90°，∴∠DGC＝90°，∴CE⊥DF，故B正確；∵H是中點，∴GH＝CD＝AD，故C正確；∵，△CGD是直角三角形，∴DG≠CD，即DG≠AD，∴△ADG不是等邊三角形．故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定，熟練掌握以上知識是解題關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題2分共8分）13．（2分）如果，那么＝．【分析】根據(jù)，得3a＝5b，根據(jù)比例的性質即可得的值．【解答】解：∵，∴3a﹣3b＝2b，即3a＝5b，∴＝．故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵．14．（2分）如圖，在△ABC中，若∠ACB＝90°，點D是AB的中點，AB＝4，則CD的長度是2．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度．【解答】解：∵點D是AB的中點，AB＝4，∴CD＝AB＝×4＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了直角三角形的性質，解題的關鍵是熟知“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．15．（2分）若關于x的方程x2+bx+6＝0的一個根是3，則b的值為﹣5．【分析】將x＝3代入方程求解即可．【解答】解：將x＝3代入方程，得9+3b+6＝0，解得b＝﹣5，故答案為：﹣5．【點評】此題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．16．（2分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為24．【分析】由菱形的性質可得AO＝CO，AB＝BC＝CD＝AD，由三角形中位線定理可得AD＝2OE＝6，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AB＝BC＝CD＝AD，∵點E為CD的中點，∴DE＝CE，∴AD＝2OE＝6，∴菱形ABCD的周長＝4AD＝24，故答案為：24．【點評】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，掌握菱形的四邊相等是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共56分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x＝4；（2）（x+2）（x+1）＝12．【分析】（1）配方法解方程；（2）因式分解法解方程．【解答】（1）解：x2﹣4x＝4，∴x2﹣4x+4＝4+4，∴（x﹣2）2＝8，∴，解得：，；（2）解：（x+2）（x+1）＝12，整理得：x2+3x﹣10＝0，∴（x﹣2）（x+5）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣5．【點評】本題考查解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關鍵．18．（6分）如圖，D、E、F分別是△ABC的AB、AC、BC邊上的點，且DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．【分析】利用一組平行線被第三條直線所截它們的同位角相等，找到符合相似三角形的條件即可．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠ECF，∠CEF＝∠EAD．∴△ADE∽△EFC．【點評】本題考查了相似三角形的判定以及平行線的性質．19．（7分）隨著“共享經(jīng)濟”的概念迅速普及，共享汽車業(yè)進入了人們的視野，某共享汽車租賃公司年初在某地投放了一批共享汽車，全天包車的租金定為每輛120元．據(jù)統(tǒng)計，八月份的全天包車數(shù)為25次，在租金不變的基礎下，九月、十月的全天包車數(shù)持續(xù)走高，十月份的全天包車數(shù)達到64次．若從八月份到十月份的全天包車數(shù)月平均增長率不變，求全天包車數(shù)的月平均增長率．【分析】設全天包車數(shù)的月平均增長率為x，利用十月份的全天包車數(shù)＝八月份的全天包車數(shù)×（1+全天包車數(shù)的月平均增長率）2，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：設全天包車數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：25（x+1）2＝64，解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不符合題意，舍去）．答：全天包車數(shù)的月平均增長率為60%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．20．（7分）如圖，佳佳同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，水平地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，木板到平面鏡的水平距離BC＝3m，已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，求燈泡到地面的高度AG．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解答】解：∵∠FBC＝∠GBA，∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴，即，解得AG＝1.2m，答：燈泡到地面的高度AG為1.2m．【點評】直接利用相似三角形的判定與性質得出BC的長，根據(jù)相似三角形的性質列方程進而求出AG的長．21．（7分）在一個不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出一個乒乓球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出一個乒乓球，記下數(shù)字．（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結果；（2）求兩次摸到乒乓球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率．【分析】（1）列表即可得出所有等可能的結果．（2）由表格可得出所有等可能的結果數(shù)以及兩次摸到乒乓球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）所有可能出現(xiàn)的結果列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）由表格可知，共有9種等可能出現(xiàn)的結果．（2）由（1）可知，兩次摸到乒乓球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的結果有4種，分別為：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），∴兩次摸到乒乓球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率為．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，對角線AC、BD交于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，且∠ABO＝∠ACE，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD還菱形；（2）若，∠ADC＝120°，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）先證AO⊥OB，再證四邊形ABCD是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結論；（2）由菱形的性質和勾股定理得，OB＝3，BD＝6，代入菱形的面積計算公式解答即可．【解答】（1）證明：∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∵∠ABO＝∠ACE，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AO⊥OB，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，∴OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝30°，在Rt△ACE中，，AB＝2OB，∴，在Rt△ABO中，AB2＝OB2+OA2，∴，解得：OB＝3（負值舍去），∴BD＝6，∴．【點評】本題考查了菱形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．23．（8分）已知實數(shù)a、b滿足（2a2+b2+1）（2a2+b2﹣1）＝80，試求2a2+b2的值．解：設2a2+b2＝m，則原方程可化為（m+1）（m﹣1）＝80，即m2＝81，解得：m＝±9，∵2a2+b2≥0，∴2a2+b2＝9，上面的這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，