圓一般方程教學設計

圓一般方程教學設計

第1篇：圓的一般方程教學設計

一、學習目標

學問與技能：在嫻熟記憶圓的標準方程的基礎上，能通過配方法

將方程

配方，從而得出此方程表示圓的條件，記住此條件，并會求圓心

和半徑；嫻熟進行標準方程和一般方程之間的互化；通過比較得出求

圓方程的兩種方法（待定系數法和幾何性質法）。

過程與方法：通過對方程

表示圓的條件的探究，培

圓的一般方程教學設計

養(yǎng)學生探究發(fā)覺和解決問題的實力，通過比較例題，感悟歸納和

總結的學習方法。

情感看法與價值觀：通過對數學思想和方法的滲透，讓學生感受

解決問題的不同思索角度和過程，激勵學生樂觀思索，勇于探究的精

神。

二、重點難點：探究方程的兩種方法（待定系數法和幾何性質法）。

三、學法提示：探究式；比較歸納式

四、學習過程：包括相關預習、學習探究、反饋和展示、啟發(fā)點

撥、歸納小結、釋疑答難、訓練鞏固、點撥校正、作業(yè)等。

1、自主預習（用10分鐘時間閱讀教材內容，勾畫自己的懷疑,

查閱相關的資料協(xié)助解決懷疑，記錄自己一些獨特的見解，完成學業(yè)

質量模塊測評的環(huán)節(jié)1,包括基礎學問的記憶、思維提升的推斷及A、

B、C不同層級的練習）

2、思索探究（引入）：

問題L圓的標準方程是什么？你能正確綻開嗎？

此時重點視察和發(fā)覺后進生的練習過程，剛好地予以真誠的語言

鼓舞或者一個確定的眼神、一個手勢，讓這些學生從一起先投入到我

能學會的自信念當中來。

問題2：方程方程

表示圓的條件；求圓方程在解決這兩個問題之前老師緊接著問：

由問題1你能想到解決這兩個問題的方法嗎？或者由這兩個方程的

形式特點你想到了什么方法來處理這兩個方程？這樣培育學生擅長

發(fā)覺問題之間的內在聯系的意識，也培育學生視察分析問題的實力。

這樣學生自然接受配方法處理，第一個表示一個圓，其次個不表

示任何圖形。

問題3：將問題2一般化，方程

都表示圓嗎？在什么條件下表示圓？

3、小組展示

先給學生5分鐘自主探究（因為涉及到分狀況探討，可能有一半

學生會出錯），而后各個小組在小組長的展示下相互完善，達成共識。

4、點撥，滲透分類探討思想的時機和標準。

5、自主解答，訓練感悟。

求過三點0(0,0),M(l,1),N(4,2)的圓的方程，并求這個圓的圓

心和半徑。要求：8分鐘之內完成；依據已有學問多聯系解決，方

法不限。

8分鐘之后提問一名完成的學生來展示方法和過程，之后再調動

學生的樂觀性來充分展示自己的過程。

6、歸納總結

圓的一般方程是什么？條件是什么？求圓的方程的方法有哪些?

對比例

2、例

3、例4回答

對于待定系數法的應用，你還想到了哪些學問？請總結用待定系

數法解題的步驟。

7、學生提問，答疑解惑

8、鞏固練習。(1)推斷方程(2)已知圓C的圓心在直線圓C

的標準方程。

五、作業(yè)布置：L正式作業(yè)課本P124：1,2；2.筆記整理

=0表示什么圖形(配方法，分類探討思想)

并且經過原點和A(2,1),求

第2篇：圓的一般方程

圓的一般方程

教學目標(一)學問教學點

使學生駕馭圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標

準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數法，由已知條件導

出圓的方程.

（二）實力訓練點

使學生駕馭通過配方求圓心和半徑的方法，嫻熟地用待定系數法

由已知條件導出圓的方法，嫻熟地用待定系數法由已知條件導出圓的

方程，培育學生用配方法和待定系數法解決實際問題的實力.

（三）學科滲透點

通過對待定系數法的學習為進一步學習數學和其他相關學科的

基礎學問和基本方法打下堅固的基礎.

教學重點：⑴能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑;

（2）能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程.

教學難點：圓的一般方程的特點.

教學疑點：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F>0.活動設

計

講授、提問、歸納、演板、小結、再講授、再演板.教學過程

（一）復習引入新課

前面，我們已探討了圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2,現將綻開可

得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可見，任何一個圓的方程都可以寫成

x2+y2+Dx+Ey+F=0.請大家思索一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的

曲線是不是圓？下面我們來深化探討這一方面的問題.復習引出課題

為“圓的一般方程”.

（二）圓的一般方程的定義

1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)

⑴當D2+E2-4F>0時，方程⑴與標準方程比較，可以看出方程

半徑的圓；

⑶當D2+E2-4FV0時一，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數解，因而

它不表示任何圖形.

這時，老師引導學生小結方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、

法.

2.圓的一般方程的定義

團當D2+E2-4F>0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程.

(三)圓的一般方程的特點請同學們分析下列問題：

問題：比較二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.

(2)

與圓的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0).

(3)

的系數可得出什么結論？啟發(fā)學生歸納結論.

當二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有條件：⑴x2和y2

的系數相同，不等于零，即A=CwO；(2)沒有xy項，即B=0；

(3)D2+E2-4AF>0.

它才表示圓.條件⑶通過將方程同除以A或C配方不難得出.老

師還要強調指出：

⑴條件(1)、⑵是二元二次方程⑵表示圓的必要條件，但不是充

分條件；(2)條件(1)、(2)和(3)合起來是二元二次方程⑵表示圓的充要

條件.(四)應用與舉例

同圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2r2一樣，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也

含有三個系數D、E、F,因此必具備三個獨立的條件，才能確定一個

圓.下面看一看它們的應用.

例

1求下列圓的半徑和圓心坐標：(l)x2+y2-8x+6y=0,

(2)x2+y2+2by=0.

此例由學生演板，老師糾錯，并給出正確答案：⑴圓心為(4,-3),

半徑為5；(2)圓心為(0,-b),半徑為|b|,留意半徑不為b.

同時強調：由圓的一般方程求圓心坐標和半徑，一般用配方法,

這要嫻熟駕馭.例

2求過三點0(0,0)、A(L1)、B(4,2)的圓的方程.解:設所求

圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由0、A、B在圓上，則有

解得：D=-8,E=6,F=0,故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0.例

2小結:

1.用待定系數法求圓的方程的步驟：

⑴依據題意設所求圓的方程為標準式或一般式；(2)依據條件列

出關于a、b、r或D、E、F的方程；

⑶解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設方程，就

得要求的方程.

2.關于何時設圓的標準方程，何時設圓的一般方程：一般說來，

假如由已知條件簡潔求圓心的坐標、半徑或須要用圓心的坐標、半徑

列方程的問題，往往設圓的標準方程；假如已知條件和圓心坐標或半

徑都無干脆關系，往往設圓的一般方程.再看下例：

例

3求圓心在直線I：x+y=O上,且過兩圓C10x2+y2-2x+lOy-24=O

和C2回x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.

(0,2).

設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為兩點在所求圓上，且圓

心在直線I上所以得方程組為

故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10.

這時，老師指出：

(1)由已知條件簡潔求圓心坐標、半徑或須要用圓心的坐標、半徑

列方程的問題，往往設圓的標準方程.

⑵此題也可以用圓系方程來解：設所求圓的方程為：

x2+y2-2x+10y-24+入(x2+y2+2x+2y-8)=0(入A1)整理并配方得：

由圓心在直線I上得入=-2.

將入=-2代入所假設的方程便可得所求圓的方程為

x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圓與圓的位置關系中再介紹，此處為學生留

下懸念.

的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線.此例請兩位學生演

板，老師巡察，并提示學生:

⑴由于曲線表示的圖形未知，所以只能用軌跡法求曲線方程，設

曲線上任一點M(x,y),由求曲線方程的一般步驟可求得；

⑵應將圓的一般方程配方成標準方程，進而得出圓心坐標、半徑,

畫出圖形.(五)小結

1.圓的一般方程的定義及特點；2.用配方法求出圓的圓心坐

標和半徑；3.用待定系數法，導出圓的方程.

五、布置作業(yè)

1.求下列各圓的一般方程：

⑴過點A(5,1),圓心在點C(8,-3)；(2)過三點A(-l,5)、B(5,

5)、C(6,-2).

2.求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓

心在直線x-y-4=0上的圓的方程.

3.等腰三角形的頂點是A(4,2),底邊一個端點是B(3,5),求

另一個端點的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么.

4.A、B、C為已知直線上的三個定點，動點P不在此直線上，

且使回APB/BPC,求動點P的軌跡.

作業(yè)答案：

1.(l)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02.x2+y2-x+7y-32=0

3.所求的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+10=0(xw3,xw5),軌跡是以

4.以B為原點，直線ABC為x軸建立直角坐標系，令A(-a,0),

C(c,0)(a>0,c>0),P(x,y),可得方程為:

(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0.

當a=c時，則得x=O(ywO),即y軸去掉原點；當arc時,則得(x-

與x軸的兩個交點.

第3篇：數學教案(圓的一般方程)

教學簡案

圓的一般方程

1、學問目標：(工)在駕馭圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓

的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心和半徑，駕馭

方程x22iy2[?.Dx2)Ey3FB0表示圓的條件；

(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程，

能用待定系數法求圓的方程。

(3)利用圓的方程解決與圓有關的實際問題。

2、實力目標：通過對方程x2.?iy2，!Dx團EyZFM)表示圓的條件的探

究，培育學生探究、發(fā)覺及分析解決問題的實際實力。

3、情感目標：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提

高學生的整體素養(yǎng)，激勵學生創(chuàng)新，勇于探究。

圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間互化，依據已

知條件確定方程中的系數D、E、Fo

對圓的一般方程的相識、駕馭和應用。講授法，分析法。多媒

體協(xié)助教學

一、情景創(chuàng)設問題1：

在平面直角坐標系中，以C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的方程是

什么？

1問題2：

將圓的標準方程綻開整理后，能發(fā)覺哪些特征？（找尋新學問的

生長點）

結論：（多媒體顯示）

將（x0a）2圉（丫曲）2就2綻開得x2By232axB2byHa2Hb2Hr2l?|0,我們發(fā)

覺任何圓都能表示為一個具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2項的系數同為1；

（2）不出現交叉乘積的二次項xy。

問題3：

x2團y202x34y06團0是圓的方程？若是，寫出圓心坐標和半徑；若

不是，則說明理由

二、探究探討

二元二次方程x2By2aDx3Ey3FaO表示圓的條件是什么？

（創(chuàng)設一種鼓舞的寬松的氛圍，讓學生充分發(fā)表自己的觀點，老

師適當引導。）

二元二次方程x2ay22jDx3Ey3FB0,通過配方后可以化為

D2E2D2HE234F（xffl）0（yta）0

224（1）當D2GJE2H4FE0時,方程表示以＞為半徑的圓;

DE1冠）為圓心，D20E2EJ4F222（2）當D20E2H4咫0時，方程表示

一個點佃DE,C3）；22（3）當D2配224F加時，方程沒有實數解，因而

方程不表示任何圖形。板書：圓的一般方程：x2[2y2?Dx伽EyB甩0

(D23E234F0O)

2指出：(1)圓心佃DEI,0),半徑D2QJE2MF；222(2)圓的標

準方程的優(yōu)點在于它明確指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程

形式上的特點；

(3)給出圓的一般方程，會寫出它的圓心和半徑；若給出相關

條件，則能求出圓的方程。

三、應用舉例

例

1、推斷下列方程是否表示圓，假如是，并求出各圓的半徑和圓

心坐標：

(1)x2[3y2H6xQ|0；

(2)2x2B2y2B4x|38yai20O；

(3)2x2>2y2>]4x[?]8y[2jlOaO；(4)x2Hy2216x01000；

(5)x2H2y2l?)4xa8yai0o

(解略)

例

2、求以0(0,0),A(1,1),B(4,2)為頂點的三角形的外接圓方程，并求

出它的圓心和半徑。

(分析：應用圓的一般方程x2[3y2出DxSIEyaFBO,將已知三點的坐

標代

入這個方程，得到一個三元一次方程組，解這個三元一次方程組,

即可求得

圓的一般方程，對圓的一般方程配方即可求半徑長和圓心坐標。

同時，將這

種求圓的一般方程的方法稱為"待定系數法〃。)

四、課內練習

1、判定下列方程中，哪些是圓的方程？假如是，求出它們的圓

心和半徑：

(1)2x2出2y2a4x515210；

(2)x2；加2[33xH4陽12?0；

3(3)x2B2y204xB2y053O；

(4)Hx2t?j2y2a4xH2yal；

(5)3x2?：4xy3(x02y)2>4

2、求過三點A(2,2),B(5,3),C(3,-1)的圓的方程。

五、課內拓展

若圓x2Ky2aDxaEy3FaO與y軸相切于原點，則D,E,F應滿意什

么條件？若圓與y軸相切呢？

學生探討，各抒已見，相互補充，完善結論。

我們還可以接著探究：如當圓與x軸相切；過原點；原點在圓內；

等等狀況時，系數D、E、F應滿意的條件。

八、歸納小結

(老師引導，由學生總結一節(jié)課的收獲，然后顯示幻燈片同時老

師總結。)

五、布置作業(yè)

(1)課堂作業(yè)：《數學指導用書》第25頁課外習題1(1)(2)

(3)(4)、

2、4o(2)課外作業(yè)：《數學指導用書》第26頁課外習題

5、

6、7o

第4篇：圓的一般方程教案初中

圓的一般方程教案初中

數學基礎模塊下冊8.3.2圓的一般方程

1.駕馭圓的一般方程，能推斷一個二元二次方程是否是圓的方

程.2.能依據圓的一般方程求出圓心坐標和半徑，會用待定系

數法求圓的方程.3.進一步培育學生數形結合的實力，綜合應用學

問解決問題的實力.圓的一般方程.

二元二次方程與圓的一般方程的關系.

這節(jié)課主要接受講練結合的方法.首先由圓的標準方程綻開得到

圓的一般方程，然后探討一個二元二次方程滿意什么樣的條件才能表

示圓.最終通過例題，讓學生初步感悟待定系數法和求曲線方程的一

般步驟.

1

第八章直線和圓的方程2

數學基礎模塊下冊3

第八章直線和圓的方程4

圓的一般方程

一、教學目標

1.探討并駕馭圓的一般方程的特點，并能將圓的一般方程化為

圓的標準方程，從而求出圓心的坐標和半徑.

2.能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題，解題

過程中能分析和運用圓的幾何性質.

二、教學重點與難點

圓的一般方程的探求過程及其特點是教學重點；依據詳細條件選

用圓的方程為教學難點.

三、教學過程（一）復習并引入新課

師：請大家說出圓心在點（a,b）,且半徑是r的圓的方程.生:

（X—a）2+（y—b）2=r2.

師：以前學習過直線，直線方程有哪幾種？

生：直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式.師：

直線方程的一般式是ax+by+c=O嗎？

生a：是的.

生b：缺少條件a2+b2Ho.

師：好！那么圓的方程有沒有類似“直線方程的一般式〃那樣的“一

般方程”呢？

（書寫課題：“圓的一般方程”的探求）（二）探究新知

師：圓是否有一般方程？這是個未解決的問題，我們來探求一

下.大家知道，我們相識一般的東西，總是從特殊入手.如探求直線

方程的一般形式就是通過把特殊的公式（點斜式，兩點式……）綻開整理

而得到的.想求圓的一般方程，怎么辦？生：可仿照直線方程試一

試！把標準形式綻開，整理得

x2+y2—2ax—2by+a2+b2—r2=0.令d=-2a,e=-2b,f=a2+b2—

r2,有：x2+y2+dx+ey+f=0（*）

師：從（*）式的得來過程可知，只要是圓的方程就可以寫成（*）的

形式.那么能否下結論：x2+y2+dx+ey+f=0就是圓的方程？生a：不

確定.還得考慮：x2+y2+dx+ey+f=0能否寫成標準形式.

生b：也可以像直線方程一樣，要有確定條件.

師：那么考慮考慮怎樣去找尋條件？

生：配方.

師；請大家動手做，看看能否配成標準形式？

（放手讓同學探討，老師適當指導，然后由同學說，老師板書.）

22

將（*）式配方得:？d??e?d2+e2-4f?x+2??+?y+2??=4.（?）

1.當d2+e2—4f>0時，比較（回）式和圓的標準方程知：（*）式表示

以

?del?-2,-?

2??2d2+e2-4f為半徑的圓；

2.當d2+e2-4f=0時，（*）式只有實數解x=-d2,y=-e2,

即（*）式表示一個點？d?-2,-e?

2??（有時也叫點圓）

3.當d2+e2-4f<0時，（*）式沒有實數解，因而它不表示任何圖

形.

老師總結：當d2+e2-4f>0時，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫圓的一

般方程.

師：圓的一般方程有什么特點？

生a：是關于x、y的二元二次方程.

師：剛才生a的說法對嗎？

生b：不全對.它是關于x、y的特殊的二元二次方程.師：特

殊在什么地方？

（通過爭辯與舉反例后，由老師總結）

師：1.x2,y2系數相同，且不等于零.2.沒有xy這樣的

二次項.

（追問）：這兩個條件是"方程ax2+by2+dx+ey+f=0表示圓"的什么條

件？

生：必要條件.

師：還缺什么？

生：d2+e2-4f>0.

練習：推斷以下方程是否是圓的方程：

①x2+y2—2x+4y—4=0②2x2+2y2—12x+4y=0

③x2+2y2—6x+4y—1=0

④x2+y2-12x+6y+50=0

三、應用舉例

師：先請大家比較一下圓的標準方程(x—a)2+(y—b)2=r2與~*般

方程x2+y2+dx+ey+f=0在應用上各有什么優(yōu)點？

生：標準方程的幾何特征明顯一一能看出圓心、半徑；一般方程

的優(yōu)點是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程.

師：怎樣推斷用“一般方程〃表示的圓的圓心、半徑.de?l生：

圓心？-?,r=d2+e2-4f.-,?22?

2生b：不用死記，配方即可.

師：兩種形式的方程各有特點，我們應對詳細狀況作詳細分析、

選擇.四?例題講解

例1.求過三點o(0,0),ml(l,l),m2(4,2)的圓的方程;

分析：由于o(0,0),ml(：L,l),m2(4,2)不在同一條直線上，因此經過

o,ml,m2三點有唯一的圓.

解：法一：設圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,

回o,ml,m2三點都在圓上，

回o,ml,m2三點坐標都滿意所設方程，把o(0,0),ml(L：L),m2(4,2)

代入所設方程，

?f=0?得：？d+e+f+2=0?4d+2e+f+20=0??d=-8?解之

得：？e=6?f=0?

所以，所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0.

法二：也可以求oml和0m2中垂線的交點即為圓心，圓心到o

的距離就是半徑也可以求的圓的方程：x2+y2-8x+6y=0.

法三：也可以設圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=己將點的坐標代入

后解方程組也可以解得(x-4)2+(y+3)2=2

5五、小結

六、作業(yè)：

1.求下列各圓的圓心坐標和半徑：

①x2+y2—2x—5=0

②x2+y2+2x—4y-4=0

③x2+y2+2ax=0

④x2+y2—2by—2b2=0

七、教學反思

4.1.2圓的一般方程

教材分析

本節(jié)內容是必修其次冊第四章第一節(jié)圓的方程的其次課時內容.

圓的一般方程屬于解析幾何學的基礎學問，是探討二次曲線的起先,

對后續(xù)直線與圓的位置關系、圓錐曲線等內容的學習，無論在學問上

還是思想方法上都起著承前啟后的作用.課時安排

本節(jié)內容用1課時的時間完成，主要探討圓的一般方程的特征和

待定系數法求法，以及對.教學目標

重點：圓的一般方程及待定系數法求圓的方程.

難點：待定系數法求圓的方程及對坐標法思想的理解.學問點:

圓的一般方程及一般方程的特點，待定系數法.

實力點：用代數方法探討幾何問題的實力、數形結合思想的理解

和待定系數法的運用.

教化點：培育學生勇于思索、主動探究學問、合作溝通意識、在

體驗數學美的過程中激發(fā)學生的學習愛好.拓展點：利用坐標法思想

求解動點的軌跡方程.

教具打算多媒體課件、三角板、圓規(guī)

課堂模式學案導學、自主探究

一、復習引入

老師提問，學生回答.

問題L怎么求過點o(0,0),m(l,l)n(4,2)的圓的方程,并求這個圓

的半徑長和圓心坐標？

生：待定系數法設圓的標準方程或求圓的圓心坐標和半徑.圓的

方程是(x-4)+(y+3)=25,圓心坐標是(4,-3),半徑是5.復習鞏固加強記憶.

問題2:將上面求得的方程綻開，我們得到的是一個什么樣的

方程？圓的方程都是這樣的嗎？22

x+y-2ax-2by+a+b-r=0,生：綻開得到的是x+y-8x+6y=0.圓的標準方

程綻開式是：

是二元二次方程.

由詳細到一般，引導學生找到分析問題的方法和結論.

師：圓的方程總能表示成x+y+dx+ey+f=O這樣的方程，那么方程

x+y+dx+ey+f=O表示的是圓嗎？我們這節(jié)課就來探究這個問題.

使新學問建立在學生已有的學問之上，是舊學問的應用與延

長.2222222222

2二、探究新知

老師給出問題，引導學生分析，師生共同完成探討.問題L方程

x+y-2x+4y+l=0,x+y-2x-4y+6=0,x+y-2x+4y+5=0分別表示什么圖形？

利用詳細問題探討，降低探究問題的難度，按部就班地引導學生

完成探究，形成分類探討、等價轉化等數學思想.

老師提示配方法，配方和綻開由學生完成，老師最終展示結果,

再探討得到的方程.

生：方程x+y-2x+4y+l=0可化為：(x」)+(y+2)=4,表示以(1,萬為

圓心，2為半徑長的圓；

方程x+y-2x-4y+6=0可化為：(x-l)+(y-2)=-l,不表示圓；

方程x+y-2x+4y+5=0?可化為：(x-l)+(y+2)=0,不表示圓.師：滿意

方程、?的點的坐標是什么？

生：沒有滿意方程的點，滿意方程?的點的坐標是(1,-2).師：那

么方程、?表示什么圖形？

生：方程不能表示任何圖形，方程?表示點

相識到方程x+y+dx+ey+f=O可能表示圓，但不確定，促使學生進

一步探究在什么條件下，確定表示圓；接受從特殊到一般，由詳細到

抽象的認知方式.

問題2：方程x+y+dx+ey+f=O在什么條件下表示圓？

突破教學難點.

在問題1的探討基礎上，這個問題由學生分組探討，獨立完成,

老師賜予適當的指導.2222222222222222222222

d2e2d2+e2-4f生：把x+y+dx+ey+f=O配方得：(x+)+(y+)=2242

2師：方程是否表示圓與什么有關？

使問題化難為易，突破難點，也讓學生充分了解分類思想在數學

中的重要地位，強化學生的視察、思索實力，之后得到圓的一般方程

的完整表述.

生：與d+e-4f的取值正負有關.22de,)

為半徑的圓.22

dede22團當d+e-4f=0時一，方程只有實數解x=-,y=-,即只表示一個

點(-,-).2222回當d+e-4f>0時，方程表示以(-22

回當d+e-4f<0時一，方程沒有實數解，因此它不表示任何圖形.

22師：當d+e-4f>0時.，方程x+y+dx+ey+f=0叫做圓的一般方

程.2222

三、理解新知

思索1：圓的一般方程與一般的二元二次方程

ax+bxy+cy+dx+ey+f=O有什么關系？

接受類比法加深在探討問題中由簡潔到困難，由特殊到一般的化

歸思想的相識.加深對圓的二次方程的結構相識.

生：二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=O中a,c相等，b=0時就是

圓的一般方程.師：圓的一般方程的特點是：(1)x和y的系數相等,

且等于1；(2)沒有xy項.歸納學問，.強調的概念的本質，深化學生

對圓的一般方程的理解.有利于學生理清學問脈絡，讓學生理解記憶

圓的一般方程的代數特征.

思索2：圓的一般方程與圓的標準方程各有什么特點？

通過讓學生比較體會，，強化學生的視察、思索實力，提高學生

分析問題和解決問題的實力.生：圓的標準方程中能體現圓的圓心坐

標和半徑長，圓的一般方程表明圓的方程是個特殊的二元二次方程.

師：圓的標準方程的幾何特征明顯，圓的一般方程的代數特征明顯.

可以進一步加深學生用代數方法探討幾何問題的相識222222

四、運用新知

例1推斷下列二元一次方程是否表示圓的方程？假如是，懇求

出圓的圓心及半徑。

(1)x+y-6x=0(2)x+y-2ax-2ay+3a=0

(3)x+y+2ax-b=0(4)4x+4y-4x+12y+ll=0

進一步熟識圓的一般方程的特征和配方法轉化為標準方程和標

準方程的幾何特征.加深對所學學問的理解應用，使學生駕馭基礎學

問.

本題由學生自己完成.2222222222

(x-3)+y=9,表示圓心坐標是(3,0),半徑長是3的圓.解：(1)

方程可以變?yōu)椋?/p>

(x-a)+(y-3a)=a.a=0時，方程表示點。0)；awOH寸，方程表示圓

心(2)方程可以變?yōu)椋?/p>

坐標是(a,a),半徑長是|a|的圓.22222

(x+a)+y=a+b.a+b=O時，方程表不點(0,0)；a+bwO時,方程表(3)

方程可以變?yōu)椋?/p>

示圓心坐標是(-a,0),半徑長是a+b的圓.(4)方程可以變?yōu)椋?/p>

x+y-x+3y+

鞏固練習：課本pl241

例2求過點oO0),m(l,l)n(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半徑

長和圓心坐標.

進一步熟識圓的一般方程，通過本題的練習，使學生駕馭待定系

數法求解圓的一般方程的步驟.讓學生畫出圖象，結合引例的方法,

探討確定用待定系數法求圓的一般方程.學生板書，教

222222222222111231=0,即：(x-)+(y+)2=-,方程不表示任何圖形.4224

師訂正.

解：設圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0

包0,0),b(l,l),c(4,2)在圓上,所以它們的坐標是方程的解,代

入方程得到：

?f=0??d+e+f+2=0即d=-8e=6f=o?4d+2e+f+20=0?

團所求圓的方程為x+y-8x+6y=0

團圓心坐標為(4,-3),r=

2222de、-=4、-=-32222師：還可以將x+y+dx+ey+f=O化為圓的標

準方程：(x-4)+(y+3)=25,求圓的圓心坐

標和半徑長.

師：待定系數法求圓的方程確定設圓的一般方程嗎？待定系數法

求圓的方程的大致步驟是什么？

強調方法的本質，加深學生對方法的理解應用.

生：團依據條件，選擇是標準方程還是一般方程；回依據條件列出

關于a,b,r或d,e,f的方程組；國解

出a,b,r或d,e,f并將其代入其相關方程。

鞏固練習：課本pl233

例3已知線段ab的端點b的坐標是(4,3),端點a在圓上(x+l)+y=4

運動，求線段ab的中點m的

軌跡方程.22

駕馭運用代入法求解曲線的軌跡方程的步驟，培育學生運用學問

的實力.

老師引導學生分析條件中的關系，老師板書，學生總結解題步驟.

師：求線段ab的中點m的軌跡方程是指引m的坐標(x,y)滿意的

關系式.已知條件中知道哪個點的坐

標？

生：點a的坐標滿意方程(x+l)+y=4.師：點a和點m有什么關系？

生:點m是線段ab的中點?師:可以利用中點坐標公式表示m,a,b

坐標之間的關系，利用點a的坐標滿意的方程表示點m的坐標的關

系.

解：設點m的坐標是(x,y),點a的坐標是(xO,yO),由于點b的坐

標是(4,3),且m是線段ab的中點，22

所以有：x=x0+4y+4，y=0,即：x0=2x-4，y0=2y-3①22

2222因為點a在圓(x+l)+y=4上運動，所以點a的坐標滿意方程

(x+l)+y=4

即：(x0+l)+y0=4@

把①代入②，W：(2x-4+l)+(2y-3)=4整理，得(x-)2+(y-)2=l

所以，點m的軌跡是以(2222323233,)為圓心，半徑長是1的圓.22

師：這個求點的軌跡的方法叫代入法，利用與所求點有關系的點

的坐標所滿意的方程求解軌跡方程.求點的軌跡的一般步驟是：國建立

適當的坐標系，用有序數對(x,y)表示曲線上隨意一點m的坐標；回

寫出適合條件的點m的集合；回列出方程f(x,y)=O；國化方程f(x,y)=O

為最簡形式.

總結歸納，把方法系統(tǒng)化，形成實力.

鞏固練習：課本pl2

43五、課堂小結

師：本節(jié)課學習了圓的一般方程，探討了的哪些問題，用到哪些

思想方法？

生：學習了圓的一般方程x+y+dx+ey+f=O的代數特征.探討了圓的

一般方程和標準方程的互化，待定系數法求解圓的一般方程和代入法

求解曲線的軌跡方程.

啟發(fā)引導學生進行歸納整理，培育學生宏觀駕馭學問的實力，有

利于學生理清本節(jié)課的重難點，深化對圓的一般方程的理解，幫助學

生從感性相識上升為理性相識，把學問轉化為實力，形成數學方法和

數學思維.2

2六、布置作業(yè)

1,5,81.必做作業(yè)：課本pl44a

,3選作作業(yè)：課本pl24bl

鞏固基礎學問，設置分層作業(yè)，滿意每一位學生，增加學生學習

數學的愿望和信念.2.課后練習自主學習叢書4.1.

2七、教后反思本節(jié)課通過學生的主體參與，使學生深切體

會到本節(jié)課的主要內容和思想方法，從而實現對圓的一般方程相識的

再次深化，歸納總結用待定系數法解題的基本步驟，提煉分類探討,

化歸轉化，數形結合等數學思想.但是，對于點的軌跡方程的求解未

能講解透徹，使得學生有些一知半解，應當在直線的方程和圓的方程

的教學中加強學生對坐標法的相識.

第5篇：直線的一般方程教學設計

“直線方程的一般式”教學設計

無錫市堰橋中學周志峰

一、教材分析

1、教材的地位和作用

直線的一般方程是蘇教版必修2其次章2.L2的內容，在這之前

學生已經學習了直線方程的四種特殊形式，初步相識到這四種形式運

用的限制性，這為直線的一般方程的提出供應了必要條件，同時也反

映了直線一般方程在刻畫直線時所起到的一般性意義。從另一個角度

講，本節(jié)課的學習是對初中二元一次方程學問的系統(tǒng)性的探討，通過

構建平面上的直線與x,y的二元一次方程一一對應關系，意識到方程

與圖形的關系，這也為學習圓錐曲線方程等學問打基礎.具有承上啟

下的作用.

2、教學目標

（1）駕馭直線方程一般式Ax?ByKBO（A,B不同時為0）的特征,

特殊表示斜率不存在與斜率為0時與A、B間的對應關系

（2）理解直線方程五種形式之間的內在聯系及所能代表直線的

區(qū)分，從整體上把握直線方程

（3）會從方程的角度探討直線，探究直線和二元一次方程關系,

形成代數與幾何相結合的數學思想方法

3、教學重點、難點

（1）教學重點：駕馭直線的一般式方程，能從一般式中得到直

線的相關性質；充分理解直線一般式方程的優(yōu)越性。（2）教學難

點：直線一般式方程的引入

二、學情分析

學生已經學習了直線方程的四種形式，對各種形式有了一個初步

的相識，但在解題實力特殊是抽象思維實力方面比較欠缺，本節(jié)課的

學習須要學生有較強的探究實力與分類探討的思想意識，學生學起來

有一點困難，須要老師的有力引導。

三、教法與學法

（一）教法：

本節(jié)課以問題鏈為思索索引，對提出的問題進行分析、探討、歸

納，在整個活動中體現以老師為主導，以學生為主體的教學理念，培

育學生視察、分析、歸納、應用的實力

（二）學法：

通過本節(jié)課的學習，讓學生感受到自主探究學習的學習方式對于

駕馭學問點，形成系統(tǒng)學問的重要性，逐步駕馭自主獲得學問的學習

方法。

四、教學過程

（一）創(chuàng)設問題情境

問題L已知直線I上的兩點A?a?l,3瓦B（2a,4）（a為常數，求直

線I的方程）學生回答：

工、兩點式：但3xB（ag）B4田32a0（am1）1僅加21）ag問題2：以上兩

種形式形式上能統(tǒng)一嗎？有沒有限制范圍？

2、點斜式:y03W學生回答：x0Ba01Hyta2aB4BO,限制范圍為a團1,

即直線X02不包括在內

問題3：直線x[32是否符合方程x30a[?ll?y田2aM00,說明什么問

題？學生回答：符合，說明方程x擊a伽1出窕2a團430包含了斜率不存

在的直線，更具普遍性，彌補了其它形式的缺陷。

問題4：直線的四種形式是否都可以化成類似于

的形式，能突破全部的限制范圍嗎？

學生回答：可以化為AxZByBSlO的形式，能突破斜率不存在，截

距不存在的限制

（二）新知歸納

學問點1：平面內的每一條直線都可以用關于x,y的二元一次方

程來表示？學問點2：每一個關于x,y的二元一次方程都表示一條直

線嗎？老師給出二元一次方程的一個例子，如2x[33y2）坨0,將其轉化

成直線方程的其它四種形式，利用適當的形式得到相關性質，并從二

元一次方程中得到直線相關性質的一些結論和公式，再拓展到

（不同時為）的更加一般化的情形，求斜率、截距等相

Ax3ByHQ?]0A/B0

關性質，從而產生對相關系數的探討，得到學問點：

（不同時為）

AxBByHC30A/B0

當BZ0時-，表示斜率為一AC,在y軸上的截距為伍的直線；特殊

地，當BBA0O時、表示垂直于y軸的直線

當呢0且A加時一，表示垂直于x軸的直線疝團

（三）新知應用

CA例

1、求直線I:3x?5yai5加的斜率以及它在x軸、y軸上的截距，并

作圖

例

2、設直線I的方程為x?my32mz6國0,依據下列條件分別確定m

的值（1）直線I在x軸上的截距為俗3；（2）直線I的斜率為1

練習：蘇教版必修2課本p.87.的練習1-5

（四）課堂小結

（1）直線方程的五種形式及其特點.（2）直線的一般式方程

的形式特征。（3）本節(jié)課學習了哪些數學思想方法

（五）作業(yè)：蘇教版必修2課本p.87—88.的感受理解

2、

3、

4、

5、

10、11

第6篇：圓的標準方程獲獎教學設計

圓的標準方程教學設計

教材分析

本節(jié)內容位于曲線的方程和方程之后，是求詳細曲線的方程。同

時，本節(jié)課的探討方法為以后學習橢圓、雙曲線、拋物線供應了一個

基本模式，因此，可以把圓看作是圓錐曲線的前奏曲。學情分析

圓的方程是學生在初中學習了圓的概念和基本性質后，又駕馭了

求曲線方程的一般方法的基礎上進行探討的.但由于學生學習解析幾

何的時間還不長、學習程度較淺，且對坐標法的運用還不夠嫻熟，在

學習過程中難免會出現困難.另外學生在探究問題的實力，合作溝通的

意識等方面有待加強.教法分析

為了充分調動學生學習的樂觀性，本節(jié)課接受“問題一探究〃教學

法，用環(huán)環(huán)相扣的問題將探究活動層層深化，使老師總是站在學生思

維的最近進展區(qū)上.學法分析

通過推導圓的標準方程，加深對用坐標法求軌跡方程的理解.通

過求圓的標準方程，理解必需具備三個獨立的條件才可以確定一個圓.

通過應用圓的標準方程，熟識用待定系數法求解的過程.依據上述分

析，考慮到學生已有的認知結構和心理特征，我制定如下教學目標:

教學目標

基礎目標：（1）理解圓的標準方程的推導；

（2）駕馭圓的標準方程。會依據圓的方程，求圓心和半徑；反

之，會依據圓心和半徑寫圓的標準方程；

（3）依據不同條件建立圓的標準方程，以及運用圓的標準方程解

決一些簡潔的實際問題；

（4）進一步熟識求曲線方程的方法。

提高目標：培育學生數形結合，由特殊到一般的數學思想；加深

對待定系數法的理解；促進學生自主的、制造性的學習。

體驗目標：通過利用已學學問學會分析、解決問題，品嘗勝利的

喜悅，增加學生學習數學的愛好，并激發(fā)學生學習數學的自信念。

教學重點與難點

⑴重點：圓的標準方程的求法及其應用.⑵難點：會依據不同的

已知條件求圓的標準方程

教學過程

一、復習引入

1、課前復習填寫學案（學案見附錄）

老師設問：①求曲線方程的一般步驟

②圓的定義

③兩點間的距離公式

學生回答問題，為圓的標準方程的推導作好打算。

2、創(chuàng)設情景引入新課

老師打算一圓拱模型和卡車模型，作卡車穿過拱橋的試驗。

老師設問：裝有貨物的卡車能否穿過拱橋？與那些因素有關？

學生通過視察，找到與圓拱有關，引入新課：探討圓的方程

二、探究學習

(-)圓的標準方程

1、老師預設：讓學生畫圓

學生活動：學生各畫一個圓并比較，讓學生親身感知確定圓的要

素，說明圓心和半徑確定一個圓；

2、老師預設：學生畫出以(2,3)為圓心，2為半徑的圓；圓

確定了，圓的方

程也就確定了。

學生推導該圓的方程

老師在學生基礎上梳理思路，強調建立方程的依據。

3、由特殊到一般，得出以(a,b)為圓心，半徑為r的圓的

標準方程

(x-a)2+(y-b)2=r2

老師引導學生視察方程，分析、歸納出方程的特征。

方程特征：(1)二元二次方程，x,y的系數均為1；

(2)含有a,b,r三個參數；

(3)已知方程可以找出圓心和半徑。

4、隨堂練習

老師預設：練習1找出下列圓的圓心和半徑

(1)x2+(y+l)2=16(2)(2x-2)2+(2y+4)2=4(3)(x+l)2+(y+2)2=m2

學生練習，依據圓的方程找圓心和半徑，完成后，學生作答。老師

據學生狀況點評。

老師預設：練習2寫出下列各圓的方程

(1)、圓心在原點，半徑為r

(2)、經過在點(5,1),圓心在點(8,-3)

學生完成練習并自評，初步體驗求圓的標準方程，關鍵是找到圓

心和半徑。

(二)例題分析

老師預設：在練習2基礎上鞏固提高，依據不同條件求圓的標準

方程

例1寫出圓心在點(1,3),且與x軸相切的圓的方程。

學生先獨立思索，老師在作提示，強調數形結合的思想。

老師口頭作簡潔變式，將X軸改為Y軸。學生說出答案，再由特

殊到一般。變式:求以C(1,3)為圓心，和3x-4y-7=0相切的圓。

學生獨立完成變式，師作簡要點評。

老師預設：已知切線可求圓的方程，反之，已知圓的方程，如何

來求切線的方程呢？

例2已知圓的方程是x2+y2=25,求經過圓上一點M(3,4)的切

線方程。學生活動：學生先獨立思索，再和其他同學探討，看能找

出幾種解法。老師活動：老師巡察，了解學生狀況，參與到學生的

探討中。

老師請學生展示各自解法，并對學生的解法作出評價，從中提煉

出滲透的數學思想和方法，如：數形結合，待定系數等。

老師預設：一題多變，變更點的位置，若點在坐標軸上。

變式1：已知圓的方程是x2+y2=25,求經過圓上一點M(5,0)

的切線方程。

學生活動：作圖干脆寫出切線的方程

老師預設：由特殊到一般，依據以上兩問啟發(fā)學生分類探討。

變式2:已知圓的方程是x2+y2=r2,求經過圓上一點M(x0,y0)

的切線方程。學生活動：寫出切線方程。老師歸納分類探討的依據。

老師預設：若圓上的點改在圓外，切線有幾條？怎樣求？

變式3：已知圓的方程是x2+y2=25,求經過圓外一點M(1,7)

的切線方程。變式4：已知圓的方程是x2+y2=25,求經過圓外一點

M(5,3)的切線方程。學生活動：思索問題

師強調，待定系數時留意斜率存在。課后思索題：解決本節(jié)引

入提出的問題

三、小結：

1、駕馭圓的標準方程

2、運用圓的標準方程解決一些簡潔問題

四、課堂練習

1、圓(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2的圓心為-------------------，半徑

為

2、圓心在x軸上且與y軸相切，半徑為2的圓的標準方程為

3、圓心為(1,2)且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為