初中三角函數(shù)知識點總結(jié)及中考真題講解

PAGEPAGE1銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)1、勾股定理：直角三角形兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方。2、如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)：定義表達式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)(倒數(shù))余切(∠A為銳角)對邊鄰邊斜邊A對邊鄰邊斜邊ACB4、5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)0°30°45°60°90°011001--106、正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當(dāng)0°<<90°時，tan隨的增大而增大，cot隨的增大而減小。8、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。依據(jù)：①邊的關(guān)系：；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)9、應(yīng)用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。3、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向），南偏東45°（東南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。要點一：銳角三角函數(shù)的基本概念一、選擇題1.（2009·漳州中考）三角形在方格紙中的位置如圖所示，則的值是（）A． B．C． D．【解析】選C..2.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則sinB＝（）A．B．C． D．【解析】選D.,設(shè)BC=k,則AC=3k,由勾股定理得3.（2009·齊齊哈爾中考）如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為，，則的值是（）A．B．C．D．【解析】選A.連接CD,由的半徑為.得AD=3.=4.（2009·湖州中考）如圖，在中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【解析】選D在直角三角形ABC中，，，所以AC＝；所以，，；，，；5.（2008·溫州中考）如圖，在中，是斜邊上的中線，已知，，則的值是（）A． B． C． D．【解析】選C.由是斜邊上的中線，得AB=2CD=4.∴6.（2007·泰安中考）如圖，在中，，于，若，，則的值為（）AACBD（A）（B）（C） （D）答案：B二、填空題7.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，，則AB的長是cm．【解析】解得AB=10cm答案：108.（2009·孝感中考）如圖，角的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點P（3，4），則．【解析】因為P（3，4），所以O(shè)P＝5，所以；答案：；9.（2009·慶陽中考）如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，，則這個菱形的面積=cm2．【解析】解得DE=6cm.∴cm2.答案：60三、解答題10.(2009·河北中考)如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于點E．已測得sin∠DOE=

．AAOBECD（1）求半徑OD；（2）根據(jù)需要，水面要以每小時0.5m的速度下降，則經(jīng)過多長時間才能將水排干？【解析】（1）∵OE⊥CD于點E，CD=24（m），∴ED==12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE

=

=，∴OD=13（m）．（2）OE==（m）∴將水排干需：5÷0.5=10（小時）．11.（2009·綦江中考）如圖，在矩形中，是邊上的點，，，垂足為，連接．（1）求證：；（2）如果，求的值．DDABCEF【解析】（1）在矩形中，．（2）由（1）知在直角中，在直角中，．12.（2008·寧夏中考）如圖，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周長和tan的值．【解析】在中,∠=90°,=15==,∴∴周長為36,13.（2008·肇慶中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值.【解析】在Rt△ABC中，c=5，a=3．∴∴．14.（2007·蕪湖中考）如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，，(1)求證：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的長．【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵=，=又已知∴=．∴AC=BD．(2)在Rt△ADC中，，故可設(shè)AD=12k，AC=13k．要點二、特殊角的三角函數(shù)值一、選擇題1.（2009·欽州中考）sin30°的值為（）A． B． C． D．答案：C2.（2009·長春中考）．菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險，那么梯子的長至少為（）A．8米 B．米 C．米 D．米答案：C4.（2008·宿遷中考）已知為銳角，且，則等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ5.（2008·畢節(jié)中考）A（cos60°，－tan30°）關(guān)于原點對稱的點A1的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．答案：A6.（2007·襄樊中考）計算：等于（）（A） （B） （C） （D）答案：C二、填空題7.（2009·荊門中考）=______．【解析】答案：8.（2009·百色中考）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動中，測得電線桿底部B與鋼纜固定點C的距離為4米，鋼纜與地面的夾角為60o，則這條鋼纜在電線桿上的固定點A到地面的距離AB是米．（結(jié)果保留根號）．答案：9.（2008·江西中考）計算：（1）．【解析】答案：10.（2007·濟寧中考）計算的值是。答案：0三、解答題11.（2009·黃石中考）計算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°【解析】3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°12.（2009·崇左中考）計算：．【解析】原式==0．13.（2008·義烏中考）計算：【解析】=2.5要點三、解直角三角形在實際問題中的運用一、選擇題1.（2009·白銀中考）某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險，那么梯子的長至少為（）A．8米B．米C．米 D．米【解析】選C.梯子的長至少為（米）.2.（2009·衢州中考）為測量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測得圖中所示的數(shù)據(jù)(單位：米)，則該坡道傾斜角α的正切值是（）A． B．4C． D．答案：A3.（2009·益陽中考）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A.B.C.D.αα5米AB答案：B4.（2009·蘭州中考）如圖，在平地上種植樹木時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）A．5mB．6mC．7mD．8m【解析】選A由坡度為0.75知，相鄰兩樹間的水平距離為4m，相鄰兩樹間的垂直距離為h，則，則h＝3m，所以坡面距離為5m；5.(2009·濰坊中考)如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路l的距離，在A點測得，在C點測得，又測得米，則小島B到公路l的距離為（）米．A．25 B． C． D．【解析】選B過點B作BE⊥AD于點E，在直角三角形BAE中，則在直角三角形BCE中，則。所以AE-CE=AC=50,即解得BE＝；二、填空題6.（2009·沈陽中考）如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高AB＝6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為EQ\F(3,5)，則坡面AC的長度為m．【解析】因為sin∠ACB=,所以AC=10答案：10.7.（2009·衡陽中考）某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水平地面的垂直距離為米，則這個坡面的坡度為_________.答案：1:28.（2009·南寧中考）如圖，一艘海輪位于燈塔的東北方向，距離燈塔海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東方向上的處，則海輪行駛的路程為_____________海里（結(jié)果保留根號）．【解析】∵,∴答案：9(2009·安徽中考)長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了m．【解析】當(dāng)梯子與地面夾角為時，梯子頂端高為；當(dāng)梯子與地面夾角為時，梯子頂端高為，所以梯子頂端升高了答案：；10.(2008·慶陽中考)如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離=3米，，則梯子長AB=米.答案：411.（2007·湖州中考）小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15°的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響了同學(xué)們的行走安全。他自覺地將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75°，如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了行路通道_______________m．（結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈26，cos15°≈0.97）答案：1.28三、解答題12.（2009·慶陽中考）如圖（1），一扇窗戶打開后用窗鉤AB可將其固定．如（2）是如圖（1）中窗子開到一定位置時的平面圖，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求點B到OA邊的距離．（，結(jié)果精確到整數(shù)）【解析】如圖，過點B作BC⊥OA于點C∵∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC．設(shè)BC=OC=x，∵∠OAB=30°，∴AC=BC×tan60°=x．∵OC+CA=OA，∴x+x=60，∴x=≈22（cm）．即點B到OA邊的距離是22cm．13.（2009·郴州中考）如圖，數(shù)學(xué)活動小組來到校園內(nèi)的一盞路燈下測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角為，點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，結(jié)果保留兩位小數(shù)）【解析】在直角三角形中，，米MP=10·tan300=10×≈5.773米因為米所以MN=1.5+5.77=7.27米答：路燈的高度為7.27米14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離?！窘馕觥咳鐖D，過B點作BD⊥AC于D∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°設(shè)BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝tan30°＝在Rt△BDC中，BD＝DC＝xBC＝又AC＝5×2＝10∴，得，∴（海里）答：燈塔B距C處海里15.（2009·常德中考）如圖，某人在D處測得山頂C的仰角為30o，向前走200米來到山腳A處，