解線性方程組的迭代法

解線性方程組的迭代法內容提要引言簡單迭代法賽得爾迭代法迭代解法的收斂性

MATLAB的線性方程組求解函數2小結第2頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

根據給定方程組，設計出一個迭代公式，構造一數組的序列，代入迭代公式，計算出，再代入迭代公式，經過k次迭代運算后得到，若收斂于某一極限數組xi，則xi就是方程組的近似解。迭代過程本質上就是計算極限的過程，一般不能得到精確解。迭代法的優(yōu)點是程序簡單，適合于大型方程組求解，但缺點是要判斷迭代是否收斂和收斂速度問題。雅可比(Jacobi(1804-1851))迭代法（簡單迭代法）賽得爾(Seidel(1821-1896))迭代法迭代解法的基本思想1、引言第3頁,共31頁，2024年2月25日，星期天設線性代數方程組為2、簡單迭代法展開為第4頁,共31頁，2024年2月25日，星期天若對角元素逐一變量分離得方程組第5頁,共31頁，2024年2月25日，星期天即此即為迭代公式簡單迭代解法的過程如下：1

設定一組初值第i個變量第k次迭代2

第一次迭代：得到第6頁,共31頁，2024年2月25日，星期天3

第二次迭代：得到4

同樣做法，得到第k+1次迭代：第7頁,共31頁，2024年2月25日，星期天迭代次數k的取值與精度要求有關，按下式判斷：若滿足則停止迭代為了便于編程，迭代公式可改寫為：第8頁,共31頁，2024年2月25日，星期天function[x,iter,exitflag]=Jacobi_iter(A,b,x0,eps,iter_max)%線性方程組的Jacobi迭代求解(向量形式)%輸入參數：%---A：線性方程組的系數矩陣%---b：線性方程組的右端項%---x0：初始向量，默認值為零向量%---eps：精度要求，默認值為1e-6%---iter_max：最大迭代次數，默認值為100%輸出參數：%---x：線性方程組的近似解%---iter：迭代次數%---exitflag：迭代成功與否的標志：exitflag=1表示迭代成功%exitflag=0表示迭代失敗n=length(b);ifnargin<5|isempty(iter_max);iter_max=100;endifnargin<4|isempty(eps);eps=1e-6;endifnargin<3|isempty(x0);x0=zeros(n,1);enditer=0;exitflag=1;D=diag(diag(A));L=tril(A,-1);U=triu(A,1);J=-inv(D)*(L+U);f=inv(D)*b;whileiter<iter_maxx=J*x0+f;ifnorm(x-x0,inf)<epsbreakendx0=x;iter=iter+1;endifiter==iter_maxexitflag=0;end第9頁,共31頁，2024年2月25日，星期天function[x,iter,exitflag]=Jacobi_iteration(A,b,x0,eps,iter_max)%線性方程組的Jacobi迭代求解(分量形式)%輸入參數：%---A：線性方程組的系數矩陣%---b：線性方程組的右端項%---x0：初始向量，默認值為零向量%---eps：精度要求，默認值為1e-6%---iter_max：最大迭代次數，默認值為100%輸出參數：%---x：線性方程組的近似解%---iter：迭代次數%---exitflag：迭代成功與否的標志：exitflag=1表示迭代成功%exitflag=0表示迭代失敗n=length(b);ifnargin<5;iter_max=100;endifnargin<4;eps=1e-6;endifnargin<3;x0=zeros(n,1);endx=zeros(n,1);iter=0;exitflag=1;whileiter<iter_maxfori=1:nx(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i);endifnorm(x-x0,inf)<epsbreakendx0=x;iter=iter+1;endifiter==iter_maxexitflag=0;end第10頁,共31頁，2024年2月25日，星期天MATLAB程序設計function[x,n]=richason(A,b,x0,eps,M)if(nargin==3)eps=1.0e-6;M=200;elseif(nargin==4)M=200;EndI=eye(size(A));x1=x0;x=(I-A)*x0+b;n=1;。。。。。。while(norm(x-x1)>eps)x1=x;x=(I-A)*x1+b;n=n+1;if(n>=M)disp('Warning:迭代次數太多，現(xiàn)在退出！');return;endend第11頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例：求解方程組clearall;A=[1.0170-0.00920.0095;-0.00920.99030.0136;0.00950.01360.9898];b=[101]';x0=[000]';[x,n]=richason(A,b,x0)x=0.9739-0.00471.0010n=5第12頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

賽得爾迭代法與簡單迭代法類似，只是迭代公式有所改進。3、賽得爾迭代法簡單迭代法賽得爾迭代法第13頁,共31頁，2024年2月25日，星期天MATLAB程序設計function[x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M)ifnargin==3eps=1.0e-6;M=200;elseifnargin==4M=200;elseifnargin<3errorreturn;endD=diag(diag(A));%求A的對角矩陣L=-tril(A,-1);%求A的下三角陣U=-triu(A,1);%求A的上三角陣。。。。。。G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=G*x0+f;n=1;%迭代次數whilenorm(x-x0)>=epsx0=x;x=G*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp('Warning:迭代次數太多，可能不收斂！');return;endend第14頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例：線性代數方程組的迭代解法----賽得爾迭代法clearall;A=[953381;533813017;381301725317];b=[764893547]';x0=zeros(3,1);[x,n]=gauseidel(A,b,x0,1e-4,10)Warning:迭代次數太多，可能不收斂！x=-0.80373.3330-0.2450n=200第15頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

迭代解法的前提條件是迭代解出的近似解序列必須具有收斂性。如果近似解序列是發(fā)散的，迭代法則不能獲得解。4、迭代解法的收斂性第16頁,共31頁，2024年2月25日，星期天以下列初值進行簡單迭代kX1X2X30000111-14-32-6981663-499-374-42944851-7149-2124第17頁,共31頁，2024年2月25日，星期天迭代收斂條件：嚴格對角占優(yōu)矩陣若不滿足收斂條件，適當調整方程次序或作一定的線性組合，就可能滿足收斂條件。第18頁,共31頁，2024年2月25日，星期天格式solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')5、MATLAB的線性方程組求解函數2第19頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共31頁，2024年2月25日，星期天格式X=fsolve(FUN,X0)Matlab非線性方程組求解說明：求解方程形式F(X)=0X、F可以是向量或矩陣

X0初值第21頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共31頁，2024年2月25日，星期天實例：基于Matlab的透鏡中心偏測量光軸擬合光學中心偏測量儀作為精確測定和嚴格校正光學系統(tǒng)中心偏誤差的儀器,它可以指出透鏡組中的各鏡面相對于光軸的中心偏移數值大小和方向。它的測量結果具有兩個方面的意義:其一是通過根據被測光學件各面的中心誤差是否超出,來判定光學件是否合格;其二是根據測量的結果來指導光學系統(tǒng)的裝校。為消除被測件在測量儀器上的安裝定位過程帶來的誤差,必須對直接測量的數據進行修正。光軸擬合就是對測量數據的優(yōu)化和修正的過程。提出一種光軸擬合的數學模型,該數學模型結合了解析方法和數值分析方法,考慮了中心偏測量的實際情況,在嚴格的數學模型基礎上做了合理的簡化,使光軸的擬合問題最終轉化為對線性方程組的求解。第23頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共31頁，2024年2月25日，星期天3)應用最小二乘法得到關于四參數的線性方程組。得到各面球心的位置坐標后,按照一般直線擬合的方法,應使各球心對優(yōu)化軸距離的平方和最小,符合數學上的最小二乘法。N個球心到優(yōu)化軸距離的平方和:第25頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共31頁，2024年2月25日，星期天擴展：基于MATLAB的非線性方程組遺傳解法胡斐，趙治國(同濟大學汽車學院，上海201804)遺傳算法是一種基于自然選擇的用于求解有約束和無約束最優(yōu)問題的方法。遺傳算法反復修改包含若干個體的種群。遺傳算法在每一步中，隨機從當前種群中選擇若干個個體作為父輩，并用它們產生下一代子輩。在若干代之后，種群就朝著最優(yōu)解“進化”。我們可以利用遺傳算法