數(shù)值計(jì)算課后習(xí)題答案

習(xí)題一解答

1.取3.14,3.15,—,當(dāng)作為n的近似值，求各自的絕對(duì)誤

7113

差，相對(duì)誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。

分析：求絕對(duì)誤差的方法是按定義直接計(jì)算。求相對(duì)誤差的一

般方法是先求出絕對(duì)誤差再按定義式計(jì)算。注意，不應(yīng)先求相對(duì)誤差

再求絕對(duì)誤差。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定義來求，即先由絕對(duì)誤差確

定近似數(shù)的絕對(duì)誤差不超過那一位的半個(gè)單位，再確定有效數(shù)的末位

是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理2后，可以根

據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2,首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)

形式，然后解答。

解：(1)絕對(duì)誤差：

e(x)=Ji-3.14=3.14159265-----3.14=0.00159-^0.0016。

相對(duì)誤差：

生”竺叫051X1M

rx3.14

有效數(shù)字：

因?yàn)閚=3.14159265-=0.314159265-X10,3.14=0.314X

10,m=lo

而n-3.14=3.14159265—3.14=0.00159-

所以|JT-3.14|=0.00159…W0.005=0.5X10-2=

-xlO-2=-xl01-3

22

所以，3.14作為n的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。

(2)絕對(duì)誤差：

e(x)=Ji-3.15=3.14159265-----3.14=—0.008407…=一

0.0085o

相對(duì)誤差：

3=^2^-7x10-2

x3.15

有效數(shù)字：

因?yàn)閚=3.14159265…=0.314159265-X10,3.15=0.315X

10,m=lo

而n-3.15=3.14159265—3.15=-0.008407-

所以|JI-3.15|=0.008407……W0.05=0.5X10~'=

IxlO-1=-xl01-2

22

所以，3.15作為Ji的近似值有2個(gè)有效數(shù)字。

(3)絕對(duì)誤差：

22

e(x)=^-y=3.14159265??--3.142857143=-0.001264493?-??-0.0013

相對(duì)誤差：

/、e(x)-0.0013_

6,(了)=、^=———?-0.41x110A3

xy

T

有效數(shù)字：

因?yàn)閚=3.14159265…=0.314159265-X10,

22

—=3.142857143=0.3142857143x10,01=1。

7

22

而萬—二=3.14159265…一3.142857143=—0.001264493…

7

所以

2?

7T--=|3.14159265----3.142857143|=0.001264493---<0.005

0.5xW2=-xl0-2=-xl0'_3

22

所以，弓作為兀的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。

(4)絕對(duì)誤差：

355

e(x)=7r------=3.14159265----3.14159292=-0.0000002705---?-0.000000271

113

相對(duì)誤差：

“(加但=-。.。曙0271f863x10,

x355

H3

有效數(shù)字：

因?yàn)閚=3.14159265…=0.314159265-X10,

355

—=3.14159292=0.314159292x10,m=lo

113

355

而%---=3.14159265??--3.14159292=-0.0000002705???

113

所以

355

7C----|-3-.14159265??--3.14159292|=0.0000002705?-?<0.0000005

113

0.5x10'=_LxlO-6=j_xlO17

22

所以，言作為兀的近似值有7個(gè)有效數(shù)字。

指出：

①實(shí)際上，本題所求得只能是絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，而不

是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。

②為簡(jiǎn)單計(jì)，本題相對(duì)誤差沒有化為百分?jǐn)?shù)。

③在求出絕對(duì)誤差后，按定義求有效數(shù)字是基本功，必須掌握。

絕對(duì)不允許有了定理后就不會(huì)根據(jù)定義討論。因此，本類問題的解答

應(yīng)當(dāng)是兩種方法都熟練掌握的。

實(shí)際上，根據(jù)基本概念分析討論問題始終是最重要的方法，由

于不同的作者會(huì)提出不同的定理系統(tǒng)，因此，掌握根據(jù)最本元的定義

討論問題的方法是非常重要的。

④祖沖之（公元429年一公元500年）是我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，

科學(xué)家。南北朝時(shí)期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，

卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北洙水縣）。在世

界上最早計(jì)算出冗的真值在3.1415926（胭數(shù)）和3.1415927（盈

數(shù)）之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，這一紀(jì)錄直到15世紀(jì)才由

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西打破。祖沖之還給出冗的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式：

—（約率）和空（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位，在西

7113

方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn)，比祖沖之晚了一千

多年，數(shù)學(xué)史學(xué)界主張稱“密率”為“祖率”。

⑤近似數(shù)的有效數(shù)字只能是有限位。

⑥近似數(shù)的誤差分析中采用近似數(shù)x而不是其準(zhǔn)確數(shù)，準(zhǔn)確

數(shù)是未知的O

⑦常出現(xiàn)德錯(cuò)誤是，第一，不進(jìn)行具體計(jì)算，結(jié)果不可靠；

第二，兩個(gè)分?jǐn)?shù)近似值（尤其第二個(gè)）取的數(shù)位不夠，結(jié)果有效

數(shù)位計(jì)算錯(cuò)誤；第三，認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是精確數(shù)，就有無窮多有效數(shù)

字。

2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近

似數(shù)。

346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300

分析：本題實(shí)際上指出，按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字

定義，相關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有效數(shù)字。解答方法簡(jiǎn)單，直接寫

出就可以，不需要也不應(yīng)該做形式轉(zhuǎn)化（化為科學(xué)計(jì)數(shù)法形式）

解：346.7854仁346.79,

7.000009仁7.0000,

0.0001324580^0.00013246,

0.60030040.60030o

指出：

注意0。

只要求寫出不要求變形。

3、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，

試分別指出他們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。

%=0.0315,X2=0.3015,=31.50,x4-5000。

分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對(duì)誤差限根據(jù)四舍

五人規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對(duì)誤差限，再求相對(duì)誤差限，

最后確定有效數(shù)字個(gè)數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。

解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對(duì)誤差限分別是

￡(%)=0.00005,6,(x2)=0.00005,￡(匕)=0.005,￡,(x4)=0.5

由絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的關(guān)系，相對(duì)誤差限分別是

0.00005

%)=3=:-------?0.16%,

玉0.0315

二幽也0.02%,

X20.3015

幺3)二空土二2^x0.002%,

工331.5

的4)=9;=-^-?0.01%.

%5000

有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。

指出:

本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對(duì)誤差，用定義

求出相對(duì)誤差。

4.計(jì)算麗的近似值，使其相對(duì)誤差不超過0.1%°

解：設(shè)取n個(gè)有效數(shù)字可使相對(duì)誤差小于0.1%,則

——X10』<0.1%,

2a1

而34后44,顯然%=3,此時(shí)，

J-xlO1-"=—1―xlO1-"<0.1%，

2a}2x3

即Lx10i<10工

6

也即6x10">1(/

所以，n=4o

此時(shí)，布=3.162。

5、在計(jì)算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77,77)中,對(duì)

%=0.14281x103與々=-0.314159xl(y,試求它們的機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)

[(xJ(i=1,2)及其相對(duì)誤差。

解：

3333

/Z(x1)=0.1428xl0,e(/Z(x,))=x1-/Z(x,)=0.14281xl0-0.1428xl0=0.0000lxlO,

/7(x2)=-0.3142xl0',e(77(x2))=x2-/7(x2)=-0.314159x101-(-0.3142x10')=0.00041x10'

其相對(duì)誤差分別是

0.0000IxlQ30.000041x10'

4~0.007%,e2?-0.013%。

0.1428xl03-0.3142x10'

6、在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)

x=0.23371258xl0T,y=0.33678429xl()2,z=-0.33677811x102,試按

(x+y)+z,x+(y+z)兩種算法計(jì)算x+y+z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果

比較。

解：

#((x+y)+z)=(0.23371258x1(T4+0.33678429x1-0.33677811x1。2

=(0.00000023xl02+0.33678429xlO2)-0.336778HxlO2

=0.33678452xlO2-0.336778HxlO2

=0.0000064IxlO2

/7(x+(y+z))=0.23371258xIO-4+(0.33678429xl02-0.3367781lx102)

=0.23371258x10"+0.00000618xlO2

=0.00000023xlO2+0.00000618xl02

=0.0000064IxlO2

精確計(jì)算得：

x+y+z=0.23371258xlO-4+0.33678429xlO2-0.336778HxlO2

=(0.00000023371258xl02+0.33678429xlO2)-0.336778HxlO2

=0.33678452371258xl02-0.3367781IxlO2

=0.0000641371258x102

第一種算法按從小到大計(jì)算，但出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)量級(jí)相差較大

的數(shù)相加，容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個(gè)相近

的數(shù)相減，容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計(jì)算結(jié)果證明，兩者精度水

平是相同的。

***

在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)

x=0.23371258xl0-4,>=0.33678429x10-2,.-0.33677811x1()2,試按

(x+y)+z,x+(y+z)兩種算法計(jì)算x+y+z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果

比較。

解：

fl((x+y)+z)=(0.23371258xl0-4+0.33678429xlO-2)-0.336778HxlO2

=(0.00233713x10-2+0.33678429x10-2)一03367781lx1(P

=0.33912142x10-2—033677811x102

=0.00003391xl02-0.3367781IxlO2

=-0.3367442xlO2

fl(x+(y+z))=0.23371258xl0-4+(0.33678429xlO^_0.336778HxlO2)

=0.23371258x1(T4+(0.00003368x10?一033677811x1()2)

=0.23371258xKT4-0.33674742x1()2

=0.00000023xlO2-0.33674742x102

=-0.33674719xl02

第一種算法是按從小到大的順序計(jì)算的，防止了大數(shù)吃小

數(shù)，計(jì)算更精確。

精確計(jì)算得：

x+y+Z=0.23371258xl0-4+0.33678429xlO-2-0.3367781lxIO2

=0.000023371258+0.0033678429-33.677811

=0.003391214158-33.677811

=-33.674419785842

=-0.33674419785842x1()2

顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。

7、某計(jì)算機(jī)的機(jī)器數(shù)系為F(10,2,L,U),用浮點(diǎn)運(yùn)算分別從

左到右計(jì)算及從右到左計(jì)算

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

試比較所得結(jié)果。

解：從左到右計(jì)算得

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

=0.1x10+0.04x10+0.03x10+0.02x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10

=0.19x10

=1.9

從右到左計(jì)算得

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

=0.01+0.02+0.03+0.04+0.2+0.3+0.4+1

=0.1xl0-1+0.2X10-'+0.3x10-'+0.4x10-'+0.2+0.3+0.4+1

=0.1+0.2+0.3+0.4+1

=0.1x10+1

=0.1x10+0.1x10

=0.2x10

=2

從右到左計(jì)算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計(jì)算精確。

8、對(duì)于有效數(shù)再=-3.105,%=0.001,4=0100,估計(jì)下列算式的

相對(duì)誤差限

X=玉+々+》3,>2=中2%力=—

分析：求和差的相對(duì)誤差限采取先求出和差的絕對(duì)誤差限再

求相對(duì)誤差限的方法。求積商的相對(duì)誤差限采取先求每一個(gè)數(shù)的

相對(duì)誤差限再求和的方法。

解：因?yàn)?=-3.105,2=0.001,七=0.100都是有效數(shù),

所以￡（%）=0.0005,￡（々）=0.0005,4^）=00005

0.00050.00050.0005

6（石）==0.16%?（々）=50%,t＞（x3）=0.5%

3.1050.0010.100

貝￡（X1+x2+X3）=￡（%］）+￡（X2）+￡（工3）=0.0005+0.0005+0.0005=0.0015

￡區(qū)+12+%3）0.00150.0015

S（X1+x）。4.99x10”=0.05%

2+尤3|-3.105+0.001+0.100|-3.004

卜+X2+X3I

^（XjX2x3）=3（百）+5（々）+5（犬3）=016%+50%+0.5%=50.66%

3戶）=總,）+%）=50%+0.5%=50.5%

七

指出：

如果簡(jiǎn)單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計(jì)算，則不夠精確。

注意是相對(duì)誤差限的討論。符號(hào)要正確，商的誤差限是誤差

限的和而不是差。

9、試改變下列表達(dá)式，使其計(jì)算結(jié)果比較精確（其中|x|1表

示X充分接近0,IM1表示X充分大）。

（1）Inx,-Inx2,x1?x2；

⑵4心?i；

1—X1+X

（3）Jxd----Jx---1；

⑷匕中x=0且W1；

X

(5)L-cotx,xw0且國(guó)1o

分析：根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒有簡(jiǎn)單有效

的方法時(shí)就采用泰勒展開的方法。

解：(1)lnXj-lnx2=ln—;

X2

(2)

1_l-x_l+x-(l-x)2

1-x1+x(l-x)(l+x)

1+x—(1—2x+x2)3x—

(l-x)(l+x)=(l-x)(l+x)

(3)

2

VX(A/X2+1+Vx2-1)

或

-J=Ux1+1+x2—1)

y/X

__________2_________

2

Vx(\/x+1+,尤2_1)

(4)

,,尤2%4

1-(1-----1-------+(1])〃----+…)

1-COSX2!4!(2〃)！

XX

呆土,?,+㈠嚴(yán)氤+

⑸

11展”B"

——cotX=—

XX(2〃)!

11,22"紇20T

+,??

345(2〃)！

(B”是貝努利數(shù))

指出:

①采用等價(jià)無窮小代換的方法一般不可行。近似計(jì)算中的誤

差并不是無窮小量，利用無窮小量等價(jià)代換，兩個(gè)量的差別可能

恰恰是影響精度的因素。采用等價(jià)無窮小代換，可能只會(huì)得到精

度水平比較低的結(jié)論。

例如

2

1-cosx2s嗚2(f)x

-------=-------X.....——

xxx2

11cosxsinx-xcosx

——cotx=----；—=-----；-------

xxsinxxsmx

x---------(x?1,sinxax)

xsinx

1-cosx

sinx

?---(Ixl?1,cosx?l)

sinx

=0

試與上例比較。

有時(shí)候這種方法可以使用，例如

因?yàn)閏os(x+S)=cosxcosS-sinxsin3,

當(dāng)冏<<1時(shí)，cosS?l,sinS?0

cos(x+5)=cosxcosb-sinxsin5-cosx-sinxS

在這個(gè)計(jì)算中，由于x是常數(shù)，x的函數(shù)值實(shí)際上放大了每一

項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問題不很突出。

而利用一階的泰勒展開/(x+Rk/(x)+SrC)(x<J<x+S),當(dāng)

同1時(shí)，就有/(x+m，/(x)+W(x),因此

cos(x+b”cosx-3sinx

和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開的方法具有一般性

并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會(huì)有方法上出錯(cuò)的可能。

②采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實(shí)際上，無論是等價(jià)無窮

小還是洛必達(dá)法則都是極限方法，而因?yàn)榻朴?jì)算中的誤差雖然

可以近似地看作是微分，但本質(zhì)上卻是一個(gè)確定的可能極小的小

數(shù)而不是無窮小(趨于零的變量)，因此近似計(jì)算是不能采用極

限方法的。

③轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡(jiǎn)，比如化繁分式為簡(jiǎn)分式，但不能取極

限。取極限就違背的了數(shù)值計(jì)算的本意。

所以，

1—x1+x1—01+0

是錯(cuò)誤的。

④極小的數(shù)做除數(shù)，實(shí)際上是9型的不定型，要轉(zhuǎn)化為非不定

o

型。

10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證1-COS2。有較高的精

度？

解：根據(jù)1-32。=25d1。，先查表求出sin1。再計(jì)算出要求的結(jié)

果精度較高。

指出：

用度數(shù)就可以。不必化為弧度。

11、利用7^^27.982求方程x2_56x+l=0的兩個(gè)根，使它們至

少具有4位有效數(shù)字。

解：

由方程的求根公式，本方程的根為

56±V^Z=56±2k=28土質(zhì)

1,222

因?yàn)?^5*27.982,則

斗=28+V783?28+27.982=55.982

如果直接根據(jù)求根公式計(jì)算第二個(gè)根，則因?yàn)閮蓚€(gè)相近的數(shù)

相減會(huì)造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此

根據(jù)韋達(dá)定理內(nèi)々=1,在求出x產(chǎn)55.982后這樣計(jì)算々：

x,=—?---=0.01786=0.1786x101

'%,55.982

這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。

12、試給出一種計(jì)算積分

1

Iii=e-'pWx(?=0,l,2,3,...)?

0

近似值的穩(wěn)定算法。

11

解：當(dāng)n=0時(shí)，/0=e?Jx°e'dx=e(^—1)=1—o

o

i?

(^exdx=ex\=°-1)。

oo

bb

對(duì)In運(yùn)用分部積分法（^udv=uv\a-^vdu）得

1I1

]nxlnxx-1n}x

In=e~^xedx=e~(x〃e[)-n^x~edx)=e(e-0-n^x~edx)

000

I

[nAx

=1-ne^xedx-1-nln_}

o

由此得到帶初值的遞推關(guān)系式

/o=T

=1一〃/〃_](〃=1,2,3,…)

由遞推公式L=l—nli解得/”），這是逆向的遞推公

n

式，對(duì)L的值作估計(jì)，有

^x"e'dx<e~'e'^x'dx-1

oort+1

另有

（取e的指數(shù)為最小值0,將e*取作e°=1作為常數(shù)即可簡(jiǎn)化

公式）。

則e-'-L</?<-Lo

〃+1〃+1

那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取

2〃+1

可以看出，n越大，這個(gè)近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。

(n越大，L的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長(zhǎng)度就越短，

近似值和精確值就越接近)

此時(shí)，e—=InT*—LT=—L(L*—L)=_Le,|e|=—|eI,

nnn0n\n

計(jì)算是穩(wěn)定的。

實(shí)際上，如果我們要求L,可以先求出口，這樣求出的L的誤

差是比L的誤差小得多的，而L的誤差本身也并不大。實(shí)際上，這

樣求出的L比直接計(jì)算出來的精確得多。

習(xí)題二解答

1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間［3,4］內(nèi)的根，精確到

10-3,即誤差不超過Lxio。

2

分析：精確到IO”與誤差不超過不同。

解：因?yàn)閒(3)=-10V0,f(4)=9>0,所以，方程在區(qū)間［3,4］

上有根。

由

,*—xK^L=j=U<\io-3

122"2"2"2

有2"】>1000,又為2i°=1024>1000,

所以n=ll,即只需要二分11次即可。

列表討論如下：

nf(Xn)的符號(hào)

anbnXn

1343.500—

23.50043.750+

33.5003.7503.625—

43.6253.7503.688+

53.6253.6883.657+

63.6253.6573.641+

73.6253.6413.633+

83.6253.6333.629—

93.6293.6333.631—

103.6313.6333.632+

113.6313.6323.632—

x=xi1=3.632。

指出：

(1)注意精確度的不同表述。精確到IO"和誤差不超過io-?是不

同的。

(2)在計(jì)算過程中按規(guī)定精度保留小數(shù)，最后兩次計(jì)算結(jié)果相同。

如果計(jì)算過程中取4位小數(shù)，結(jié)果取3位，則如下表:

nbnf(xj的符號(hào)

anXn

1343.5000—

23.500043.7500+

33.50003.75003.6250—

43.62503.75003.6875+

53.62503.68753.6563+

63.62503.65633.6407+

73.62503.64073.6329+

83.62503.63293.6290—

93.62903.63293.6310—

103.63103.63293.6320+

113.63103.63203.6315—

(3)用秦九韶算法計(jì)算f(xj比較簡(jiǎn)單。

1*.求方程x~2x2-4x-7=0的隔根區(qū)間。

解：令y=V—2x2一4x—7,

則y'=3x2-4x-4=(3x+2一2)

當(dāng)y'=3x?-4x-4=(3x+2)L-2)=0時(shí)，有％=-g工=2。

函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下:

_2(2、)

XI,母——22(2,+8)

-33

寸+0—0+

y------.—15

27~~~—>一

因?yàn)?，(二)=_￥2<0'『2)=-15<0,所以方程在區(qū)間「2，2)上無根;

3273

因?yàn)?,(—2)=—好2<0,而函數(shù)在(-8,-2)上單調(diào)增，函數(shù)值不可

3273

能變號(hào)，所以方程在該區(qū)間上無根；

因?yàn)椤?)=-15<0,函數(shù)在(2,+8)上單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間

上最多有一個(gè)根，

而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在區(qū)間(3,4)有一個(gè)根。

所以，該方程有一個(gè)根，隔根區(qū)間是(3.4)。

2.證明l-x-sinx=O在［0,1］內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大

于LxlOY的根，需要迭代多少次？

2

分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，就是證明相應(yīng)的函數(shù)

在指定區(qū)間有至少一個(gè)零點(diǎn)。

解：令/(x)=1-x-sinx,

因?yàn)?(0)=1-0-sinO=1>0,/(1)=1-1-sin1=-sin1<0>

則〃0)〃1)<0,

由零點(diǎn)定理，函數(shù)f(x)在［0,1］區(qū)間有一個(gè)根。

由

4

|x*_Xn|<V^=^￡=lz2=±<lxi0-

I“I22"2"2"2

有2~1>10000,又為21°=1024,213=8192<10000,214=

16384>10000

所以n=15,即需要二分15次。

指出:

要證明的是有一個(gè)解而不是唯一解，因此不必討論單調(diào)性。

3.試用迭代公式.不，/=1，求方程

xk+2演+10

/+2/+10》-20=0的根，要求精確到10，

分析：精確到10-5即誤差不超過,xlO-s

2

解：4>/(X)=X3+2X2+10X-20

列表進(jìn)行迭代如下：

4

01-7

11.538463.75964

21.29502-1.52380

31.401820.70311

41.35421-0.30667

51.375300.13721

61.36593-0.06067

71.370090.02705

81.36824-0.01198

91.369060.00531

101.36870-0.00228

111.368860.00110

121.36879-0.00038

131.368820.00025

141.368813’992x10-5

151.368813992x10-5

指出:

精確到IO-可以從兩個(gè)方面判定。第一，計(jì)算過程中取小數(shù)到10-5

位，最后兩個(gè)計(jì)算結(jié)果相同，終止計(jì)算。第二，計(jì)算過程中取小數(shù)到

10工當(dāng)J也「即終止計(jì)算。

本題采用第一種方法。

4.將一元非線性方程28sx-/=0寫成收斂的迭代公式，并求其

在X0=O,5附近的根，要求精確到10-2。

A—COS,._.cos

解：2x-e"=0改與為2x-ex則

cos

有

(),sin*尸*(sincos)2&a+工)

A)-2xe,-JIxe,2x+xA

gX=1A+---------------=1-------——=1----------

在5=05處，因?yàn)?/p>

l點(diǎn)n（.萬）

（）2V205+工

g'05=1--------——^-=09615<1

（e）cos

所以迭代法g工=汽+在％=05的鄰域內(nèi)收斂。

ek

列表迭代如下：

x1c

00.5

10.71

20.69

30.69

,,.cos..

此時(shí)2069—e°69=000614。

5.為求方程=0在x0=「5附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改為

下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：

(1L=1+、■'迭代公式4+1=1+二，

X%

2X3=1+爐'迭代公式/+]=i+x；3

(3)??=-L-'迭代公式&+I=(1￥

'"12

試分析每種迭代公式的收斂性，并取一種公式求出具有4位有

效數(shù)字的近似值。

解：(1)因?yàn)閤=l+],所以迭代函數(shù)為g2=l+4,則

XX

g'?="'=k)=-2『，5)|=卜2x15-[=a=不|^<1滿足局

XI0JJ/D

部收斂性條件，所以迭代公式也|=1+±具有局部收斂性。

(2)因?yàn)閤J+vT所以迭代函數(shù)為+則

2%

33

|g，；5)|=產(chǎn)J=O456<1滿足局部收斂性條件，所以迭代公式

31+152^

='+具有收斂性。

(3)因?yàn)榱?[^,所以迭代函數(shù)為gLL/y,則

,()i(.1(方

2X=——X-12=——X-129

22

.；5)|=:k5-1注=」二=1414>1不滿足收斂性條件，所以迭

/,—

2x052

代公式

無E=1彳不具有收斂性。

九人-12

用迭代公式加產(chǎn)1+L列表計(jì)算如下：

玉

小

01.5

11.444

21.480

31.457

41.471

51.462

61.468

71.464

81.467

91.465

101.466

111.465

所以，方程的近似根為.465。

6.設(shè)JxLx+c3-3),應(yīng)如何取C才能使迭代公式具

有局部收斂性？

解：設(shè)C為常數(shù)，因?yàn)橄?J=x+c"_3),所以Jl=l+2Cx,要

使迭代公式具有局部收斂性，需|夕(。)|=|1+2d。卜1,此時(shí)即有

-l<l+2Cx0<1,也即

-l<Cx0<Oo即只要C去滿足如上條件的常數(shù)，就可以使得迭代公

式具有局部收斂性。

指出：

下面的討論是不合適的：

因?yàn)?l)=x+Cx?—3,所以x=x+C，-3),所以。(》2-3)=0,所

以*=±6,由此確定方程的準(zhǔn)確值。

要明確的是，方程的準(zhǔn)確值時(shí)不知道并難以獲得的，因此才需

要迭代法。用解析法確定公式解在討論在邏輯上是不通的。同時(shí)，這

里強(qiáng)調(diào)的是一類方程的迭代解法的收斂性，也不應(yīng)局限在具體的求

解，關(guān)鍵是確定c的范圍。

7.用牛頓法求方程x，-3x-1=0在初始值%=2鄰近的一個(gè)正根,

要求上+「“<10-3。

解：因?yàn)閅—3x-1=0

所以有=—3x-l,相應(yīng)的迭代公式為

v—Y_X_：-2_3_x_*—4_1_—__+*1__

k+'k3x1-33x1-3

取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下:

k0123

Xk21.88891.87951.8794

因?yàn)槿?即=0-0。01<；，10-3,符合計(jì)算的精度要求，所以

x*x3=1.8794o

8.用牛頓法解方程工-c=0,導(dǎo)出計(jì)算數(shù)c的倒數(shù)而不用除法的

X

一種簡(jiǎn)單的迭代公式。用此公式求0.324的倒數(shù)，設(shè)初始值4=3,

要求計(jì)算有5位有效數(shù)字。

解：對(duì)于方程工-c=0,有/c,相應(yīng)的迭代公式為

XX

1

——C

2

xLk勺

4+1=4--^-=2xk-CXke

應(yīng)用該迭代公式求0.324的倒數(shù)，列表計(jì)算如下

Xk

03

13.084

23.0864

33.0864

所以」一°3,0864。

0324

指出：

如果將方程L-c=0改寫為等價(jià)的cx-1=0,則有了1)

cx-l,相

X

應(yīng)的迭代公式為

CX,-11

x

=k――"C-=-C

無法展開迭代。

9.設(shè)a為已知數(shù)，試用牛頓法導(dǎo)出求心的迭代公式,并求極限