2018版高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)選修系列第十三章13.5復(fù)數(shù)

§13.5

復(fù)數(shù)根底知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識自主學(xué)習(xí)1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念知識梳理(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的

，b叫做復(fù)數(shù)z的

.(i為虛數(shù)單位)(2)分類：

滿足條件(a，b為實數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實數(shù)?_________a＋bi為虛數(shù)?_________a＋bi為純虛數(shù)?_______________實部虛部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?

(a，b，c，d∈R).(5)模：向量

的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作

或

，即|z|＝|a＋bi|＝

(a，b∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點

及平面向量

＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系.Z(a，b)3.復(fù)數(shù)的運算(1)運算法那么：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法那么進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即.判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解.()(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4)原點是實軸與虛軸的交點.()(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()思考辨析×××√√

考點自測1.(2016·全國乙卷)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，那么a等于A.－3 B.－2 C.2 D.3答案解析∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，應(yīng)選A.

2.(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)復(fù)數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，那么z等于A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i答案解析由(z－1)i＝1＋i，兩邊同乘以－i，那么有z－1＝1－i，所以z＝2－i.

3.(2016·黃山一模)設(shè)i是虛數(shù)單位，假設(shè)z＝cosθ＋isinθ，且其對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的第二象限，那么θ位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限∵z＝cosθ＋isinθ對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(cosθ，sinθ)，且點(cosθ，sinθ)位于第二象限，答案解析

答案解析4.(教材改編)在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i5.i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝________.答案解析1原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.題型分類深度剖析

題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)(2015·福建)假設(shè)(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，那么a，b的值分別等于A.3，－2 B.3,2C.3，－3 D.－1,4∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，答案解析∴a＝3，b＝－2，應(yīng)選A.

(2)假設(shè)z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1”是“z1＝z2”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件.答案解析(3)(2016·天津)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，那么z的實部為_____.1答案解析引申探究1.將本例(1)中方程左邊改為(1＋i)(2－3i)，求a，b的值.

解答(1＋i)(2－3i)＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，所以a＝5，b＝－1.2.將本例(3)中的條件“(1＋i)z＝2”改為“(1＋i)3z＝2”，求z的實部.

解答解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及本卷須知(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.思維升華

跟蹤訓(xùn)練1(1)a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，假設(shè)為純虛數(shù)，那么復(fù)數(shù)的虛部為答案解析(2)復(fù)數(shù)z滿足z2＝－4，假設(shè)z的虛部大于0，那么z＝________.答案解析2i設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，那么z2＝a2－b2＋2abi＝－4，因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，又b>0，∴b＝2，∴z＝2i.

題型二復(fù)數(shù)的運算命題點1復(fù)數(shù)的乘法運算例2(1)(2016·四川)設(shè)i為虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)(1＋i)2等于A.0 B.2 C.2i D.2＋2i答案解析(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.

(2)(2016·全國乙卷)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，那么|x＋yi|等于答案解析

(3)(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)假設(shè)a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，那么a等于A.－1 B.0 C.1 D.2答案解析因為a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，應(yīng)選B.

命題點2復(fù)數(shù)的除法運算例3(1)(2016·全國丙卷)假設(shè)z＝1＋2i，那么等于A.1 B.－1 C.i D.－i答案解析

(2)(2016·北京)復(fù)數(shù)

等于A.i B.1＋i C.－i D.1－i答案解析－1＋i答案解析

命題點3復(fù)數(shù)的綜合運算例4(1)(2016·山東)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2z＋＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，那么z等于A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i答案解析

答案解析

(3)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虛部為設(shè)z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，答案解析復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四那么運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法那么化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.思維升華(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法那么化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5)復(fù)數(shù)的綜合運算.分別運用復(fù)數(shù)的乘法、除法法那么進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2015·山東)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，其中i為虛數(shù)單位，那么z等于A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i答案解析i答案解析答案解析

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例5(1)△ABC的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z對應(yīng)的點為△ABC的A.內(nèi)心 B.垂心 C.重心 D.外心答案解析由幾何意義知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到△ABC三個頂點距離都相等，z對應(yīng)的點是△ABC的外心.(2)如下圖，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：解答(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.解答即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.解答③B點對應(yīng)的復(fù)數(shù).因為復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.思維升華跟蹤訓(xùn)練3z是復(fù)數(shù)，z＋2i，均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.解答設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2.由題意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，解得2<a<6，∴實數(shù)a的取值范圍是(2,6).典例(12分)x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.

解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想思想與方法系列27標(biāo)準解答(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最根本的思想方法.(2)此題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的根本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解，這是常用的數(shù)學(xué)方法.(3)此題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.思想方法指導(dǎo)設(shè)x＝a＋bi(a，b∈R)，那么y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， [3分]代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，

[5分]

返回課時作業(yè)1.(2016·佛山二檢)a>0，b>0，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虛數(shù)單位)，那么a＋b等于答案解析√由題意得(1＋ai)(b＋i)＝(b－a)＋(1＋ab)i＝5i，1234567891011121314152.(2017·天津質(zhì)檢)i為虛數(shù)單位，a∈R，如果復(fù)數(shù)2i－是實數(shù)，那么a的值為答案解析A.－4 B.2 C.－2 D.4√123456789101112131415答案解析A.E

B.F C.G D.H由題圖知復(fù)數(shù)z＝3＋i，123456789101112131415√數(shù)單位)，那么z等于√A.1＋i B.－1－I C.－1＋i D.1－i答案解析123456789101112131415∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.1234567891011121314155.(2016·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范圍是答案解析√1234567891011121314151234567891011121314156.0<a<2，復(fù)數(shù)z的實部為a，虛部為1，那么|z|的取值范圍是答案解析由于復(fù)數(shù)z的實部為a，虛部為1，且0<a<2，123456789101112131415√A.在圓外

B.在圓上

C.在圓內(nèi)

D.不能確定√∴點(a，b)在圓x2＋y2＝2外.答案解析1234567891011121314158.復(fù)數(shù)(3＋i)m－(2＋i)對應(yīng)的點在第三象限內(nèi)，那么實數(shù)m的取值范圍是________.z＝(3m－2)＋(m－1)i，其對應(yīng)點(3m－2，m－1)在第三象限內(nèi)，故3m－2<0且m－1<0，答案解析1234567891011121314159.集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，假設(shè)M∩N＝{3}，那么實數(shù)m的值為________.答案解析3或6∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1?M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，經(jīng)檢驗符合題意.123456789101112131415∴(x－2)2＋y2＝3.123456789101112131415答案解析－23由根與系數(shù)的關(guān)系知，∴b＝－2，c＝3.123456