2023-2024學(xué)年上海格致中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷附答案解析

-2024學(xué)年上海格致中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷（測(cè)試90分鐘內(nèi)完成，總分100分）2024.4一、填空題：（本題共有12個(gè)小題，每小題4分，滿分48分）1．不等式的解集為．2．函數(shù)的最小正周期是，則.3．已知集合，，且．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．已知向量，，則在的方向上的數(shù)量投影為．5．若，則的最小值是．6．已知向量的夾角為，，若，則實(shí)數(shù)x的值為．7．已知α為銳角，且cos(α＋)＝，則sinα＝．8．函數(shù)，R的單調(diào)遞增區(qū)間為9．已知函數(shù)（）是偶函數(shù)，則的最小值是．10．已知方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．11．已知菱形ABCD的邊長為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為．12．設(shè)，函數(shù).若在上單調(diào)遞增，且函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是.二、選擇題：（本題共有4個(gè)小題，每小題4分，滿分16分）13．在中，是為等腰三角形的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度15．已知實(shí)數(shù)，若函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，恒成立，則可取值的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．116．在給出的下列命題中，是假命題的是A．設(shè)是同一平面上的四個(gè)不同的點(diǎn)，若，則點(diǎn)必共線B．若向量是平面上的兩個(gè)不平行的向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C．已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形D．在平面上的所有向量中，不存在這樣的四個(gè)互不相等的非零向量，使得其中任意兩個(gè)向量的和向量與余下兩個(gè)向量的和向量相互垂直三、解答題：（本題共有4大題，滿分36分．解題時(shí)要有必要的解題步驟）17．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，若，，三點(diǎn)共線，且，求實(shí)數(shù)，的值．18．如圖，點(diǎn)是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，（），，四邊形的面積為．(1)求的最大值及此時(shí)的值；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，在（1）的條件下，求的值．19．在中，角所對(duì)的邊分別為，且(1)若成等比數(shù)列，求角的大??；(2)若，且，求的面積．20．已知函數(shù)，其中．(1)若，求的對(duì)稱中心；(2)若，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有8個(gè)零點(diǎn)，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．或【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】由，得，所以或，故不等式得解集為或．故答案為：或．2．2【分析】根據(jù)周期的計(jì)算公式，代入周期即可得到的值.【詳解】因?yàn)椋?故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期公式的運(yùn)用，難度較易.知道其中一個(gè)量即可求解另一個(gè)量.3．【分析】利用建立不等關(guān)系，求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：4．##【分析】利用數(shù)量投影的定義可求答案.【詳解】向量，，在的方向上的數(shù)量投影為.故答案為：5．3【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴時(shí)取得最小值3.故答案為：3．6．3【分析】根據(jù)得到，然后結(jié)合平面向量的數(shù)量積的概念以及運(yùn)算律得到，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，，，解得，故答案為：3.7．【詳解】．點(diǎn)睛：本題考查三角恒等關(guān)系的應(yīng)用．本題中整體思想的應(yīng)用，將轉(zhuǎn)化成，然后正弦的和差展開后，求得，代入計(jì)算即可．本題關(guān)鍵就是考查三角函數(shù)中的整體思想應(yīng)用，遵循角度統(tǒng)一原則．8．，【詳解】因?yàn)?∴單調(diào)遞增區(qū)間為，【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間9．##【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以當(dāng)時(shí)，的最小值是.故答案為：.10．【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)結(jié)合其值域可求答案.【詳解】，因?yàn)?，所以，，，所以，?故答案為：11．【分析】由題意畫出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結(jié)合及基本不等式求得的最小值．【詳解】解：如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），的最小值為．故答案為：．12．.【分析】利用在上單調(diào)遞增可得，函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，又函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以在上函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，解得，當(dāng)時(shí)，令，由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，結(jié)合圖象，所以時(shí)，函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，.故答案為：.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.13．A【詳解】因?yàn)橹校?，則A=B，那么為等腰三角形，反之，不一定成立，故是為等腰三角形的充分不必要條件，選A14．D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以把函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.

15．C【分析】把的取值逐個(gè)代入檢驗(yàn)可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，若恒成立，則，即，由于，所以恒成立，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，若恒成立，則，即，由于，所以恒成立，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，若恒成立，則，即，由于，所以不成立，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，若，則，不滿足，不合題意.故選：C16．D【詳解】由則點(diǎn)必共線，故A正確；由平面向量基本定理可知B正確；由可知為的外心，由可知為的重心，故為的中心，即是等邊三角形，故C正確；存在四個(gè)向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意兩個(gè)向量的和向量與余下兩個(gè)向量的和向量相互垂直,D錯(cuò)誤故選D.17．或【分析】根據(jù)已知條件及向量的線性運(yùn)算，利用向量平行的條件即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以?因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以平行，所以，即，將代入中，得或.18．(1)最大值是，此時(shí).(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積可得，根據(jù)向量加法幾何意義得四邊形為平行四邊形，可得求解析式，根據(jù)配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值以及對(duì)應(yīng)自變量；（2）由三角函數(shù)定義可得的正切值，結(jié)合兩角和的正切公式可得．【詳解】（1）由題意知的坐標(biāo)分別為，．，.由題意可知.，.所以，故時(shí)，的最大值是，此時(shí).（2），，..19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)得到，再由余弦定理得到，結(jié)合，求得，即可求解；（2）由（1）知，根據(jù)題意，利用正弦定理可得，聯(lián)立方程組求得的值，結(jié)合余弦定理求得，得到，利用面積公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)向量的數(shù)量積的定義，可得，由余弦定理可得，整理得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得所以為等邊三角形，所以.（2）解：由（1）知，又由，根據(jù)正弦定理可得，聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，所以，所以的面積為.20．(1)(2)(3)【分析】（1）利用倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由已知確定最小正周期，可得，整體代入法求的對(duì)稱中心；（2）由圖象平移變換得到函數(shù)，結(jié)合和，得，根據(jù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得，要使最小，則恰好為的零點(diǎn)，由此求的最小值；（3）根據(jù)已知，在上，的值域是值域的子集，求出這兩個(gè)值域，由包含關(guān)系構(gòu)造不等式示結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)，若，則與是相鄰的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)，的最小正周期為，由，解得，得，令，解得，此時(shí)，所以的對(duì)稱中心為.（2），，，所以或解得或，又，得，所以，函數(shù)最小正周期，令，即，解得或，若在上