函數(shù)模型的應(yīng)用課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

函數(shù)模型的應(yīng)用

我們學(xué)過的基本初等函數(shù)有一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù).它們都與現(xiàn)實(shí)世界有著緊密的聯(lián)系,有著廣泛的應(yīng)用.

下面我們通過一些實(shí)例,來感受它們的廣泛應(yīng)用,體會解決實(shí)際問題建立函數(shù)模型的過程.1.一次函數(shù)的解析式為____________,其圖像是一條____線，當(dāng)_______時，一次函數(shù)在

上為增函數(shù)，當(dāng)_____時，一次函數(shù)在

上為減函數(shù)。直2.二次函數(shù)的解析式為____________,其圖像是一條____線，當(dāng)______時，函數(shù)有最小值為_______，當(dāng)__

_時,函數(shù)有最大值為________。拋物復(fù)習(xí)引入例1、一輛汽車在某段路程的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示。(1)、求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；(2)、假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象。908070605040302010v/(km/h)t/h12345典型例題這個函數(shù)的圖像如右圖所示：解(1)陰影部分的面積為陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km(2)根據(jù)圖形可得：點(diǎn)評:分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型.908070605040302010vt典型例題1.下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖象寫出一件事。①小明離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)忘在家里，于是返回家里找到作業(yè)再上學(xué)②小明騎車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間③小明出發(fā)后，心情輕松，緩慢行進(jìn)，后來為了趕時間開始加速(D)(A)(B)c對應(yīng)的參考事件：小明出發(fā)后感到時間較緊，所以加速前進(jìn)，后來發(fā)現(xiàn)時間還很充裕，于是放慢了速度。ABC0離家距離時間0時間0時間0時間D離家距離離家距離離家距離鞏固練習(xí)2.在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量為yt，與單價X元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系如果購買1000t，每噸為800元，如果購買2000t，每噸為700元，一客戶購買400t，單價應(yīng)該為（）元元元元c鞏固練習(xí)

例2、人口問題是當(dāng)世界各國普遍關(guān)注的問題。認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)。早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y=y0ert，其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年增長率。(1)、如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；(2)、如果按表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億？典型例題典型例題典型例題

例3某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價是5元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價/元日均銷售量/桶6789101112480440400360320280240請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？由表中信息可知銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶。思考：銷售利潤怎樣計(jì)算較好？思考:問題所提供的數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)?典型例題

例3:某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價是5元.銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表所示:銷售單價(元)6789101112日均銷售量(桶)480440400360320280240

請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤?解:由表可知:銷售單價每增加1元,日均銷售量就減少40桶.設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加x元,日均銷售利潤為y元,而在此情況下的日均銷售量就為:480-40(x-1)=520-40x(桶).∵x>0,且520-40x>0∴0<x<13.從而y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0<x<13.∴當(dāng)時,y有最大值.∴經(jīng)營部只要將銷售單價定為元,就能獲得最大利潤.注意變量的變化范圍,并以此檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.典型例題互動交流,探求新知例4、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：回報(bào)的累積值方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多 回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)元，以后每天的回報(bào)比前 一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？1.考慮回報(bào)量,除了要考慮每天的回報(bào)量之外,還得考慮什么?想一想：方案一：每天回報(bào)40元；我來說①例4涉及哪些數(shù)量關(guān)系？②如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？思考下面的問題：投資天數(shù)回報(bào)金額③三個函數(shù)模型的增減性如何？④要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析，如何分析？每天的回報(bào)數(shù)、增加量、累計(jì)回報(bào)數(shù)想一想：2.本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系?如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系?我來說設(shè)第x天所得回報(bào)是y元,則方案一可用函數(shù)y=40(x∈N*)進(jìn)行描述;方案二可以用函數(shù)y=10x(x∈N*)進(jìn)行描述;方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述。想一想：3.怎樣去研究這三個函數(shù),才能找到最佳的方案呢?要對三個方案作出選擇,就要對它們的增長情況進(jìn)行分析,用計(jì)算器計(jì)算出三種方案所得回報(bào)的增長情況,列表如下：我來說x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8000000000…01010101010101010…10…我想問根據(jù)所列的表格中提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長差異有什么認(rèn)識?我來說方案一每天的回報(bào)不變;方案二、三每天的回報(bào)都在增加,且方案三隨x的增加每天的回報(bào)越來越大,比方案二要大得多。我想問作出三個方案的圖象看看?oxy2040608010012014042681012我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多。指數(shù)爆炸根據(jù)以上分析,你認(rèn)為該作出何種選擇?從問題1可知,考慮回報(bào)量,除了要考慮每天的回報(bào)量之外,還得考慮回報(bào)的累積值.你能把前11天回報(bào)的累積值算出來嗎?累計(jì)回報(bào)表

天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8思考投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三。基本步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題

讀懂題中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息。第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型

設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型。第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。

第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答。

方法歸納

實(shí)際問題

數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題的解抽象概括數(shù)學(xué)模型的解還原說明推理演算方法歸納1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天房價住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入達(dá)到最高，每間定價應(yīng)為（）元元元元2.將進(jìn)貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少20個，為了取得最大利潤，每個售價應(yīng)定為()元元元元CA鞏固練習(xí)收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋問題不符合實(shí)際小結(jié)：函數(shù)建模實(shí)際情境提出問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)結(jié)果檢驗(yàn)可用結(jié)果合乎實(shí)際不合乎實(shí)際收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇數(shù)學(xué)模型求函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題符合實(shí)際不符合實(shí)際一次函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)①例6涉及了哪幾類函數(shù)模型？用3分鐘時間認(rèn)真閱讀課本152頁例6，邊閱讀邊思考下面的問題：②你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎勵方案的條件嗎?[例6]

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%。現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x,其中哪個模型能符合公司的要求？1、銷售利潤達(dá)到10萬元時進(jìn)行獎勵；2、獎金總數(shù)不超過5萬元；3、獎金不超過利潤的25%；4、公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元。從1和4知道只需在區(qū)間[10，1000]上檢驗(yàn)三個模型是否符合公司的要求（即2和3兩條）即可。3.依據(jù)這個模型進(jìn)行獎勵時，獎金不超過利潤的25%，所以獎金y可用不等式表示為______________.2.依據(jù)這個模型進(jìn)行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，所以獎金y可用不等式表示為__________.0≤y≤50≤y≤25%x依據(jù)這兩個約束條件對獎勵模型進(jìn)行選擇的實(shí)質(zhì)是要怎么樣呢？比較三個函數(shù)的增長情況！嘗試作函數(shù):y=0.25x,y=log7x+1,

x，及y=5的圖象.并思考:不妨試一試！1.如何利用它們的圖象作出選擇呢？2.這三種增長有什么不同呢？▲借助計(jì)算機(jī)作出它們的圖象。通過觀察圖象，你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？2004006008001000234567810①對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,當(dāng)x>20時,y>5,因此該模型不符合要求;②對于模型x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計(jì)算可知,當(dāng)x>806時,y>5,因此該模型不符合要求;③對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計(jì)算可知,當(dāng)x=1000時,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求。對數(shù)增長模型比較適合于