高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練38空間幾何體的表面積與體積含解析新人教A版文

考點(diǎn)規(guī)范練38空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)鞏固1.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.(2020湖北黃岡模擬)陀螺是中國(guó)民間較早的體育活動(dòng)工具之一,但陀螺這個(gè)名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).下圖網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,粗線畫出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的體積為()A.40π3 B.52π3 C.44答案:B解析:由三視圖知該幾何體是上部為圓錐、中部為圓柱、下部為圓錐的簡(jiǎn)單組合體,其中,上部圓錐的底面半徑為2、高為2,中部圓柱的底面半徑為2、高為1,下部的圓錐的底面半徑為4、高為2,所以該陀螺模型的體積為13π·22·2+π·22·1+13π·42·2=523.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上,AB=AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為()A.22 B.C.2 D.3答案:C解析:由題意知,球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上,BC為△ABC所在圓面的直徑,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn),同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn).設(shè)正方形BCC1B1的邊長(zhǎng)為x,在Rt△OMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R為球的半徑),所以x22+x22所以側(cè)面ABB1A1的面積S=2×1=2.4.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是32,則正視圖中的x是(A.2 B.4.5 C.1.5 D.3答案:C解析:由三視圖可知,幾何體為四棱錐,其底面為直角梯形,面積S=12×(1+2)×2=3由該幾何體的體積V=13×3x=32,解得x=1.5.5.點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上,AB=BC=6,∠ABC=90°.若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個(gè)球的表面積為()A.2π B.4π C.8π D.16π答案:D解析:由題意,知S△ABC=3,設(shè)△ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點(diǎn),當(dāng)DQ與面ABC垂直時(shí),四面體ABCD的最大體積為13S△ABC·DQ=∴DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,∴R=2,則這個(gè)球的表面積為S=4π×22=16π.故選D.6.(2020馬鞍山三模)某幾何體的三視圖均為如圖所示的五個(gè)小正方形構(gòu)成,則該幾何體與其外接球的表面積之比為()A.153π BC.3011π D答案:C解析:由三視圖還原原幾何體如圖,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,可知該幾何體的表面積為S1=1×1×5×6=30,其外接球的半徑為R滿足2R=1+1+9=11,所以該幾何體外接球的表面積為S2=4π×1122因此該幾何體與其外接球的表面積之比為30117.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.

答案:4解析:由題意知,多面體是棱長(zhǎng)均為2的八面體,它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的,正四棱錐的高為1,所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐=2×13×(2)2×1=48.(2020浙江寧波模擬)棱長(zhǎng)為2的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體,其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為,表面積為.

答案:412+26解析:由三視圖,可得棱長(zhǎng)為2的正方體被平面AJGI截成兩個(gè)幾何體,且J,I分別為BF,DH的中點(diǎn),如圖,兩個(gè)幾何體的體積各占正方體的一半,則該幾何體的體積是12×23=4四邊形AJGI為菱形,所以該幾何體的表面積S=3×2×2+12IJ·AG=12+12×22×23=12+29.已知三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O,PA=PB=PC=2,當(dāng)三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大時(shí),球O的表面積為.

答案:12π解析:由題意三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直,三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大,三棱錐P-ABC的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球,求出正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為23,所以球O的直徑是23,半徑為3,球O的表面積為4π×(3)2=12π.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是.

答案:1解析:由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如圖所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M(jìn),N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),∴MN=12,NP=1∴S△MNP=12×12×∵點(diǎn)A1到平面MNP的距離為AM=12∴VP11.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在以O(shè)為球心的球面上,若球O的表面積為148π3,則三棱錐O-ABC的體積為答案:33解析:設(shè)球的半徑為R,則4πR2=148π3,解得R2=設(shè)△ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r,則r=23故球心到△ABC所在平面的距離為d=R2-r所以VO-ABC=13S△ABC·d=112.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為3、寬為1的矩形,俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖),其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,高為3,所以V=1×1×3=(2)由三視圖可知,該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,側(cè)面ABB1A1,CDD1C1均為矩形.S=2×(1×1+1×3+1×2)=6+23.能力提升13.芻薨,中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體,《九章算術(shù)》中記載“芻薨者,下有褒有廣,而上有褒無廣.芻,草也.薨,屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱,芻薨字面意思為茅草屋頂”.一芻薨的三視圖如圖所示,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它,則覆蓋的面積至少為()A.65 B.75 C.85 D.95答案:C解析:由題意,得茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積.由題意可知,該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為22+12=5;等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2,高為22+12=5.故側(cè)面積為S=2×12×(2+4)×即需要茅草覆蓋的面積至少為85,故選C.14.設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A.123 B.183 C.243 D.543答案:B解析:由△ABC為等邊三角形且面積為93,設(shè)△ABC邊長(zhǎng)為a,則S=12a·32a=9∴a=6,則△ABC的外接圓半徑r=32×23a=2設(shè)球的半徑為R,如圖,OO1=R2-r當(dāng)D在O的正上方時(shí),VD-ABC=13S△ABC·(R+|OO1|)=13×93×6=183,最大.15.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.答案:118.8

解析:由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4×6-4×12×2×3=12(cm2),點(diǎn)O到平面BB1C1C的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=13×12×3=12(cm3又長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9×132=118.8(g).16.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱