數(shù)學(xué)知識(shí)一本通2

§6、數(shù)學(xué)解答題詳評(píng)

(復(fù)數(shù)與三角)

1.已知函數(shù)/(x)=4sin勿x+Bcossr(其中A、B、切是實(shí)數(shù)，且0>0)的最小正周

期是2,且當(dāng)％=■!■時(shí)，/(x)取得最大值2；

(1)、求函數(shù)/(x)的表達(dá)式；

(2)、在閉區(qū)間［」,，］上是否存在/(x)的對(duì)稱軸？如果存在，求出其對(duì)稱軸的方程,

44

若不存在，說明理由。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知

f(B)-4sinBsin?(：+g)+cosIB；

(1)、若對(duì)任意的△ABC,有1/(8)—m1<2,求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

(2)、設(shè)Z|=a(cosA+isin4),z2=a(cosB+zsinB),z3=a(cosC+zsinC)>

且

IZ!I+1z3kV3Iz21,當(dāng)工—B)=2時(shí)，求arg4"。

-2z2

(數(shù)列)

1.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之和為S,，且滿足%+2S“任1=0(n22),%=：

(1)、求證：｛l｝是等差數(shù)列；

Sn

(2)、求明的表達(dá)式；

22

(3)、若a=2(1-〃)%(〃22),求證：Z?2+byH---1-bn<1,

2.已知等比數(shù)列｛Xj的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為

3

2

Y?=logx/2a-3a+l),其中l(wèi)<a<］為常數(shù)，對(duì)于k、teN,k#t,滿足匕_1,

Y__!_，y__!—，是否存在自然數(shù)N0使得n>N0時(shí)，X“>1恒成立？若存在求

2/+I'2k+1

出相應(yīng)的No,若不存在，請(qǐng)說明理由。

(立體幾何)

1.如圖，桌上放有兩個(gè)相同的正四面體P-4B。和。-C5O；

(1)、求證：PQ上BD；

(2)、求二面角P—80-。的余弦值；

(3)、若正四面體的棱長為。，求點(diǎn)尸到平面。8。的距離。

2.在平行四邊形A8CD中，AB=AC=CD=a,ZACD=90°,將該平行四邊形

ABCD沿AC折成一個(gè)60°的二面角；

(1)、求8、。間的距離；

(2)、求點(diǎn)。到直線AB的距離。

(折之前(折之后)

(函數(shù)與不等式)

1.對(duì)于任意的xeR,均有/一4ax+2。+30NO(aeR),求關(guān)于x的方程

X

」一=|。一1|+1的根的范圍。

a+3

2丫~+hx+c

2.已知函數(shù)/(x)=:(b<0)的值域?yàn)椋?,3］；

X’+1

(1)、求實(shí)數(shù)。、C的值；

⑵、判斷函數(shù)尸(x)=lg/(x)在上的單調(diào)性，并給出證明;

71113

(3)、若teR,求證：lg-<F(lr--l-lr+-l)<lg—?

5665

3.己知函數(shù)/(x)=ax?+8x+c(a>>>c),點(diǎn)&/，月)、^(/，為)是該函數(shù)圖象上的

兩點(diǎn),且滿足/⑴=0,?+磯%+乃)+%為=°；

(1)、求證：/?>0；

（2）、問是否能夠保證/（占+3）和/（%+3）中至少有一個(gè)為正數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

（解析幾何）

V222

1.橢圓r+vJ=l（a>b>0）的離心率6=—泮、B是橢圓上關(guān)于x、y軸均不對(duì)稱的兩

ab~3

點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P（1,0）.

（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為C（x。，y。），求黑的值；

（2）若F是橢圓的右焦點(diǎn)，且|AF|+|BF|=3,求橢圓的方程.

2.已知直線/是半徑為3的圓C的一條切線，P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，作P。，/,垂足為0,

且IP。1=21PCI；

（1）、試問P點(diǎn)的軌跡是什么樣的曲線C?求出該曲線的方程；

（2）、過圓心作直線交尸點(diǎn)的軌跡于A、8兩點(diǎn)，若IACI=2IBCI,求直線AB的方

程。

（應(yīng)用題）

1.（南京市2002年二模）如圖，建筑工地有一用細(xì)砂堆成的多面體，其上下兩個(gè)底面平行

且都是矩形，上底面矩形的兩邊分別為6米與3米，下底面矩形的長邊為10米，若此多

面體的四個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角都相等，則其下底面的短邊邊長為--------（）

A.7米B.6米C.5米D.4米

型號(hào)小包裝大包裝

幣:量100克300克

包裝費(fèi)0.5克0.7克

售價(jià)3.00克8.40克

2.（南京市2002年三模）已知每生產(chǎn)100克餅干的原料和加工費(fèi)為1.8元，某食品廠對(duì)

餅干采用兩種包裝，其裝費(fèi)及售價(jià)如右上圖表示，則下列說法中:

①買小包裝實(shí)惠；②買大包裝實(shí)惠；

③賣3包小包裝比賣1包大包裝盈利多；④賣1包大包裝比賣3包小包裝盈利

所有正確的說法是------------------------------------（）

A.①②B.①③C.②③D.②④

3.（南京市2002年三模）有一塊長方形的窗臺(tái)，尺寸為1米X0.2米，現(xiàn)有足夠多規(guī)格相

同

的白色壁磚和藍(lán)色壁磚（規(guī)模為0.2米乂0.2米）,用這些整塊壁磚貼滿窗臺(tái)（空隙忽

略不

計(jì)），可以貼成種不同圖案。

4.（南京市2002年三模）如圖所示的幾何體是從一個(gè)圓柱中挖去?個(gè)以圓柱的上底面為

面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的，現(xiàn)用一個(gè)平面去截這個(gè)幾何體，若這個(gè)平面垂

直于圓柱底面所在的平面，那么所截得的圖形可能是圖中的.（把所有可能的

圖

的序號(hào)都填上）。

5.（2002東城區(qū)一模）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們

的速度分別為50千米/小時(shí)，100千米/小時(shí)，500千米/小時(shí)，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為a元、b

元、c元，且b<a<c,又這批海鮮在運(yùn)輸過程中的損耗為500元/小時(shí)，若使用三種運(yùn)輸工

具分別運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（運(yùn)費(fèi)與損耗之和）互不相等，試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用

最省。（題中字母均為正的已知量）

6.（南京市2002年二模）某公司生產(chǎn)的A型商品通過租賃柜臺(tái)進(jìn)入某商場(chǎng)銷售.第一年，

商場(chǎng)為吸引廠家，決定免收該年管理費(fèi)，因此，該年A型商品定價(jià)為每件70元，銷售量為

11.8萬件.第二年，商場(chǎng)開始對(duì)該商品征收比率為p%的管理費(fèi)（即每銷售100元要征收p

元），于是該商品的定價(jià)匕升為每件」70一元，預(yù)計(jì)年銷售量將減少p萬件.

1-p%

（1）將第二年商場(chǎng)對(duì)商品征收的管理費(fèi)y（萬元）表示成P的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的

定義域；

（2）要使第二年商場(chǎng)在此項(xiàng)經(jīng)營中收取的管理費(fèi)不少于14萬元，則商場(chǎng)對(duì)該商品征收管

理費(fèi)的比率舞的范圍是多少？

（3）第二年，商場(chǎng)在所收費(fèi)不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p

應(yīng)為多少？

答案

（復(fù)數(shù)與三角）

2%_

co

7F

1.解:⑴、J*+爐=2貝=2sin(;zxH——)

6

Asin—+Bcos--2

33

（2）、存在/（x）的對(duì)稱軸芯=當(dāng)。

2.解：（1）、經(jīng)化簡得/（3）=l+2sin5,由對(duì)任意的AABC,有1/（8）-向<2得:

nv=>1<A7?<3o

-2</(B)-m<21<<3

(2)、當(dāng)/(5—8)=2時(shí)，=>8=9，4+。=寺，由1號(hào)I+IQl=6lZ2?得:

a+c=6b,=>sinA+sinC=V3sinB=>IA-C1=—,

3

71

7(A>C)

則：arg—=*

5"(A<C)

,T

(數(shù)列)

1.解：(1)、依題意，當(dāng)“22時(shí)，%+2S/S“1=0,即S〃一S“i+2S“?S〃]=0

12,則數(shù)列｛-、｝是等差數(shù)列，求得

-------—=2n=>S=—

S.S〃2〃

(〃=1)

(2)、由⑴2

](?>2)

2n(n-1)

2(1-〃)%='(n>2)

(3)、bn

n

1I1

b；+42+…+22~H—+…H-----

2232/

1i—?—=1--<1

<—+—+???+

1x22x3(n-l)nn

3

2.㈱當(dāng)l<a<一時(shí)，2/—3a+le(0,l)設(shè)等比數(shù)列｛xj的公比為q(q>0且g聲1),

2

f1

2

logtt(2?-3?+l)-------->0

由《2/+,,由于2a2—3。+le(0,1),

log,(2a2-3a+1)-------->0

2k+1

i]

2

得：0<x*,x,<1,xk2t+i=x{2k+i-2a-3〃+1,

iqil2A+I(x〃T)2*，化得：xJJ)=q(Tg+l)

即：xk

不妨設(shè)f〉k,...S

而當(dāng)^>1時(shí)，對(duì)于正項(xiàng)等比數(shù)列｛Xj來說，一定存在自然數(shù)N0使得n>N°時(shí),

nk

Xn>1恒成立。令x“=xkq->1nx/q2(，T)>i=q-(2t+i)q2(,,-k)>1

：.n>k+t+^,令N°=k+t,則有當(dāng)n>N0時(shí)，X〃>1恒成立。

(立體幾何)

1.解：(1)、取BD的中點(diǎn)E,先證明5/XL平面PE。，得PQL5O；

(2)、即求NPE。，計(jì)算出MN=PQ=牛ncos/PEQ=Z：

(3)、應(yīng)用體積法，—'S"OF,BD=h=2屈"。

(2)、點(diǎn)。到直線A8的距離為^—o

2

(函數(shù)與不等式)

1.解：依題意，對(duì)于任意的xwR,均有了?-4ox+2。+3020(awR),

5

則△=(4。)02-4(2〃+30)<0^--<6/<3,

2

原方程化為X=(I?！?I+1)(。+3)

I25

一(。4—)24---,5925

24(——<a<l)=>—<%<—

=\?9244

(a+—)2——(1<^<3)=^>4<x<18

24

9

則」的范圍是人￡匚,18]

2.解：(1)、由于i+i〉。恒成立，.??％ER,

人2x2+Z?x+c/-2,八

令y=-----------=>(y—2)廠-bx-\-y-c=Q,

X+1

則A=/_4(y_2)(y-c)<0的解集是[1,3]，

故1和3是62—4。-2)3-。)=0的二根，應(yīng)用韋達(dá)定理求得6=-2,

c=2；

2r

(2)、由(1)知，/(%)=2--—,應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義去判斷函數(shù)

%■5+1

F(x)=lgf(x)在xe1-1,1J上單調(diào)減;

(3)應(yīng)該注意到—14上—Ll—lf+’K1，則應(yīng)用(2)的結(jié)論，

3663

F(-)<U--I-I/+-I<F(--),BP：lg-<F(lf--l-lz+-l)<lg—o

36635665

3.解：(1)、依題意，有(a+月)(。+乃)=0，則必=一。或?yàn)?一。，

則方程/(%)=ax2++c=—。有實(shí)根，即方程ax2+/?x+a+c=0有實(shí)

根，

△=—4am+c)>0=>ft2>4a(a+c)，

、

又/'(I)=a+b+c=0且a>b〉c,則Q>0c<0>b=-(a+c)f

則b2>-4ab=>b[b+4a)>0=>b(3a-c)>0,

由于3。一。>0,則620；

(2)、依題意，/⑴=0,即1是方程4/+以+。=0的一個(gè)根，則另一個(gè)根為

a

且￡<0,則有/(x)=a(x-l)(x—與，不妨設(shè)弘=一。，

aa

即：。(七一1)(2—)=-a<0,**<—<X]<1,；?2+3〉—F3(?)

aaa

c1

又由b=-(a+c)及。得一2v—<——，

a2

Xj+3>—F3>—2+3=1,

a

而函數(shù)/(x)在(l,+8)上為增函數(shù)，???f(Xi+3)>/(l)>0,

同理,若為=一。，則有/62+3)>0,

(解析幾何)

2.解：(1)、建系如圖，令P(x,y),

1%+31=2汴1藍(lán)，化簡得:

仁D二+21=1,點(diǎn)的軌跡是橢圓。

43

（2）、設(shè)圓心C的直線方程為：y^kx,

由（1="2消去y得：

3（x-l）2+4y2=12-

（3+4/—6%—9=0,

設(shè)A（x，乃）、B（X2,為），由14cl=218cl得X]=-2x2,

66

X1+x,

-3+4小3+4k2

由韋達(dá)定理知：<，把再=_2%代入得，

-92-9

%!-X-2X2

23+4k2-3+4火2

消去”kg,

則直線A8的方程為：y=+—x.

2

（應(yīng)用題）

6.解：（1）依題意，第二年該商品年銷量為（11.8-p）,年銷售收入為7°（118.〃），

1-p%.

則

商場(chǎng)該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)為二2_（U8_〃）P%（萬元）.

1-/7%.

故所求函數(shù)為：）,=—Z_（118-10p）p.…4分由1L8—p>0及p>0

100-p

得定義域?yàn)??！皅

⑵由y"得后⑴……化簡，得

127+2040,即(p—2)(p—10)40,解得2WpK10,故當(dāng)比率在2%，10%]

內(nèi)時(shí)，商場(chǎng)收取的管理費(fèi)將不少于14萬元.

(3)第二年，當(dāng)商場(chǎng)收取的管理費(fèi)不少于14萬元時(shí)，廠家的銷售收入為

70

g(P)=:----(11.8-p)(2</?<10)

1-p%

■：g(p)=—^-(11.8-p)=700(10+-882)為減函數(shù)，

1-p%p-100

；.g(p)』⑵=700(萬元)故當(dāng)比率為2%時(shí)，廠家銷售金額最大，且商場(chǎng)所收管理費(fèi)

又不少于14萬元.

附：

1.已知函數(shù)/'(x)=—/+a/—(a,bQ巾.

3

(1)若片f(x)圖象上的點(diǎn)(1，一口)處的切線斜率為-4,求尸f(x)的極大值;

3

(2)若尸/"(另在區(qū)間［—1,2］上是單調(diào)減函數(shù)，求a+b的最小值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

解：(1),:f'(x)-x-^lax—b,

???由題意可知：f'(1)二-4且F(1)=,

3

1+2。一/?=-4,([

a=-L

[]]1解得：....................3分

-+a-h=---,b=3。

[33i

f(x)=一ff—3x。

3

f‘a(chǎn))=y-2x-3=(戶i)(x—3).

令f'(x)=0,得M=—1,膠=3,

由此可知:

X(一8,—1)-1(—1,3)3(3,+8)

f'(X)+0—0+

f(x)/f(x)極大Xf(X)極/

5/3小

...當(dāng)下一1時(shí)，f(x)取極大值3.....................6分

3

(2)???尸￡(x)在區(qū)間［-1,2］上是單調(diào)減函數(shù)，

f'(x)5W0在區(qū)間［—1,2］上恒成立.

根據(jù)二次函數(shù)圖象可知F'(—l)W0且/*'⑵W0,即:

1-2tz-/?<0,,f2^+/?-1>0,

也即w9分

4+4。-》40,［4a-/?+4<0.

作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖：

當(dāng)直線"經(jīng)過交點(diǎn)P(一,，2)時(shí),

2

13

取得最小值z(mì)=——+2=一，

22

3

:.z=a+b取得最小值為—................12分

2

2.已知函數(shù)f(x)=1+(機(jī)-4)/一3〃?1+(〃一6)(x￡R)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中叫n

為實(shí)常數(shù)。

(1)求m,n的值；

(2)試用單調(diào)性的定義證明：f(x)在區(qū)間［-2,2］上是單調(diào)函數(shù)；

(3)當(dāng)-2Wx《2時(shí)，不等式/(元)2(九一log,.〃)log,"〃恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍。

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

(1)由于f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)是奇函數(shù)，

f(-x)=-f(x)-x3+(/n-4)x2+3mx+(H-6)=-x3-(tn-4)x2+3mx一(〃-6)tH成立,

B|J(m-4)x2+(〃-6)=0恒成立，必有機(jī)=4,〃=6.

3

(2)由⑴可如(x)=x-12x,任取花,x2e［-2,2］且以<x2

-12七)-(石-12X2)

—(X］—X?)(X；+X1%2+X；—12)

由-24X］</42知，%1-x2<0,x；+X/2+q一12<0,

從而/(x1)-/(%2)>。，即/(X|)〉/(x2),

在［-2,2］上是減函數(shù)。

(3)由(2)知f(x)在［-2,2］上是減函數(shù)，貝卜2WxV2時(shí)，/(x)2/(2)=-16.

故-2<x<2時(shí),不等式f(x)>(n-logma)log,”a恒成立，

=>-16>(6-log4a)log4a

=(log4a—8)(log4a+2)>0

8

=log4a<-2或log4a>80<a<工或a>4.

3.已知/、B、C是直線/上的三點(diǎn)，向量應(yīng)，OB,0C,滿足：應(yīng)一［7+2"(1)］宓+ln(x+

1)擊=0.

(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；

9v

(2)若x>0,證明：f(x)>—r；

x+2

(3)若不等式/fw/XV)+/-2&Z,-3時(shí)，—1,1］及be［—1,1］都恒成立，

求實(shí)數(shù)勿的取值范圍.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

(1)???應(yīng)一［y+2f'(1)］應(yīng)+ln(x+l)Ho，?,?應(yīng)=［p+2f(1)］為—ln(x+l)亦

由于4、B、。三點(diǎn)共線即［y+2/>/(l)］+［—ln(x+l)］=l

.」=F(x)=ln(x+l)+l-2f/⑴

11

f(x)=_V7,得f(1)=彳，故/1(x)=ln(x+l)4分

x+12

/c、人/\\2x,“、12(x+2)—2xx

(2)+g(x)-F(x)］適，由g(x)=W(葉2)2=(X+1)(X+2)2

?.3>0,.?./(x)>0,.?.我C在(0,+8)上是增函數(shù)

故g(x)>g(0)=0

即>x+2°I2分

(3)原不等式等價(jià)于%JF(f)W勿-26R—3。

令力(x)=^x—f｛x)=1x2-ln(l+/),由H(A)=丁一］二2=：不：

當(dāng)x￡［—1,1］時(shí),力(x)xx=0,：?R—2bm

令人0(八6)=公22c,加一3c,則rj仁0((l一)=1病)=一序2+必2一.3一230川

解得/23或初W—3。12分

4.已知S”是數(shù)列｛▲｝的前W項(xiàng)和，

n

⑴分別計(jì)算§2-5口S4-S2,S8-S4的值;

(2)證明：當(dāng)〃21時(shí)，并指出等號(hào)成立條件；

⑶利用(2)的結(jié)論，找出一個(gè)適當(dāng)?shù)腡GN,使得S?>2008；

(4)是否存在關(guān)于正整數(shù)〃的函數(shù)/(〃)，便導(dǎo)S,+S2+---+S,1=/(n)(S?-l)對(duì)于大于1

的正整數(shù)〃都成立？證明你的結(jié)論。

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

⑴S2—S1=2>

§2=§+廠運(yùn)

*^8=

11,1,1168+140+120+105533八

5+6+7+8=麗=麗。.......o2分

⑵當(dāng)“力時(shí)，-5,,,.,=昌工7+河匕+…+)(共2…項(xiàng))

””乙I1乙I乙乙

》'_X2'i=',當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)，等號(hào)成立。........

2"2

4分

(3)由于加=1,當(dāng)〃21時(shí)，S?

于是，要使得ST>2008,只需—I---1■…H—>2007。

23n

將_L+_L+...+L按照第一組7項(xiàng)，第二組2?項(xiàng)，……，第〃組2"項(xiàng)的方式分組，……

23n

6分

由⑵可知，每一組的和不小于今且只有〃=1時(shí)等于看

將這樣的分組連續(xù)取2X2007組，加上a“共有2’.項(xiàng)，

這2成項(xiàng)之和一定大于1+2007=2008,故只需取T=2,叱就能使得>

2008：........8分

(注：只要取出的T不小于2”匕并說出相應(yīng)理由，都給滿分)

(4)設(shè)這樣的/(“)存在，

〃=2時(shí)，有1=/(2)(1+1-1)=>/(2)=2,

〃=3時(shí)，有g(shù)=/(3)(l+；+g_l)n/(3)=3,

猜測(cè)/(〃)=〃(〃22).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①〃=2,3時(shí)，上面已證，猜測(cè)正確；

②設(shè)n=左(*22)時(shí)，/(")=左即S]+$2+…+S“_|=MS*—1)成立

則S[+S2----1-Sn_]+=k(S*-1)+S&

=(攵+1電一女

=(女+1)區(qū)+工-1)

k+1

即〃=(上+1)時(shí)，猜測(cè)也正確。

綜上所述，存在/(〃)=〃，使得S1+S2+---+5?_,/(n)(S“—1)對(duì)于大于1的正整

數(shù)n都成

立。

……12分

5.正三棱柱ABC-A1與G的底面邊長為4,側(cè)棱長為4,。為A4A1的中點(diǎn),

(1)求A8與C。所成的角；

(2)求二面角8—CO—4的大小;

(3)求三棱錐G-8CO的體積。

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

作CE〃AB,AE〃BC,CE與AE交于E,

則NDCE是AB與CD所成角，AA|J_平面

ABC,

...△ACD和4AED都是直角三角形，由勾股定理

可求得CD=ED=V20,

由余弦定理可求得cosNECD=、5,

5

則NECD=arccosY^。(4分)

5

(2)面ACGA一面ABC,交線為AC,作BFJ_AC于F,則BFL面ACCA。

作FO_LCD于0,連B0,由三垂線定理知，B0±CD,則NB0F是二面角B-CD-A的平面角。

2

由△C0Fs/\CAD可求得0F=

正三角形ABC中，BF=2A/3,在△BF0中，可求得tan/B0F=后，

ZB0F=arctanVt5。(8分)

(3)可證BC〃平面BCD,取BC中點(diǎn)貝UC、曲與平面BCD距離相等，取BC中點(diǎn)

M,連AM、MM、M,AH可證面AMMAJ?面BCD,作MiH_LMD于H,貝ijMH,而BCD,：可求得

NDMA=30°,.?./MM)=60°,M：H=4sin/MMD=26,丫1加,5旃刷出=史叵。(12分)

33

說明：處理空間角問題的思想和方法是，必須先作出角，一般都要依據(jù)平行、垂直關(guān)系

進(jìn)行轉(zhuǎn)化o

做平行線的方法是“平行移動(dòng)”化為相交直線所成的角；

用三垂線定理也要用垂直關(guān)系做二面角的平面角；

用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化求三棱錐的高，化為線到面的距離再化為特殊點(diǎn)到面的距離，利用面

面垂直的性質(zhì)作點(diǎn)到平面的垂線，都離不開平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用。

本題綜合應(yīng)用平行、垂直關(guān)系及幾何概念解題是高考立幾題的特點(diǎn)，全面考查學(xué)生的

思維品質(zhì)。

6、計(jì)算機(jī)考試分理論考試與上機(jī)操作考試兩部分進(jìn)行，每部分考試成績只記“合格”與“不

合格”，兩部分考試都“合格”則計(jì)算機(jī)考試“合格”并頒發(fā)“合格證書”。甲、乙、丙三

人在理論考試中合格的概率分別為3,---：在上機(jī)操作考試中合格的概率分別為2,

54310

---o所有考試是否合格相互之間沒有影響。

68

（I）甲、乙、丙三人在同一次計(jì)算機(jī)考試中誰獲得“合格證書”可能性最大？

（II）求這三人計(jì)算機(jī)考試都獲得“合格證書”的概率；

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

解：記“甲理論考試合格”為事件4，“乙理論考試合格”為事件42，“丙理論考試

合格”為事件4，記可為A的對(duì)立事件，?=1,2,3；記“甲上機(jī)考試合格”為事件用，

“乙上機(jī)考試合格”為事件B2,“丙上機(jī)考試合格”為事件層。

（I）記“甲計(jì)算機(jī)考試獲得合格證書”為事件A,記“乙計(jì)算機(jī)考試獲得合格證書”

為事件B,記“丙計(jì)算機(jī)考試獲得合格證書”為事件c,則尸⑷=3x2=紅，尸⑻=

51050468

277

p（C）=-x-=—,有P（B）>P（C）>P（A）,故丙獲得“合格證書”可能性最大；……

3812

3分

（II）記“三人該課程考核都合格”為事件Do

P（0）=P［（A由）?（4乜）.（4出）］

=尸（4由）.尸（&應(yīng)）尸（仆63）

=p(Aj.p(3j.p(4).p(4).p(4>P(四)

393527

二一X—X-X-X-X-

5104638

_63

320，

所以，這三人該課程考核都合格的概率為至。7分

320

第三章高中數(shù)學(xué)考試技巧

§1、高考數(shù)學(xué)高分策略

所謂工欲善其事必先利其器，知己知彼方能百戰(zhàn)百勝。考試亦如是。數(shù)學(xué)考試第一要明

白考什么，才能有所準(zhǔn)備。第二要充分發(fā)揮自身的能力，才能掌控全局。所以我們要先了

數(shù)學(xué)考察的方向和大致內(nèi)容。

一、近年高考數(shù)學(xué)命題的中心是數(shù)學(xué)思想方法，考試命題的四個(gè)基本點(diǎn)

1.在基礎(chǔ)中考能力，這主要體現(xiàn)在選擇題和填空題。

2.在綜合中考能力，主要體現(xiàn)在后三道大題。

3.在應(yīng)用中考能力，在選擇填空中，會(huì)出現(xiàn)一、二道大眾數(shù)學(xué)的題目，在大題中有

一道應(yīng)用題(一般為概率應(yīng)用題)。

4.在新型題中考能力。尤其是新課改地區(qū)，理科命題表面上看起來更加簡單，并且

做題的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算量沒有以往的題型大，但是多以創(chuàng)新題為主。

這“四考能力”，圍繞的中心就是考查數(shù)學(xué)思想方法。

二、題型特點(diǎn)

1.選擇題

(1)概念性強(qiáng)：數(shù)學(xué)中的每個(gè)術(shù)語、符號(hào)，乃至習(xí)慣用語，往往都有明確具體的含義，

這個(gè)特點(diǎn)反映到選擇題中，表現(xiàn)出來的就是試題的概念性強(qiáng)。試題的陳述和信息的傳遞，都

是以數(shù)學(xué)的學(xué)科規(guī)定與習(xí)慣為依據(jù)，絕不標(biāo)新立異。

(2)量化突出：數(shù)量關(guān)系的研究是數(shù)學(xué)的■個(gè)重要的組成部分，也是數(shù)學(xué)考試中一項(xiàng)主

要的內(nèi)容。在高考的數(shù)學(xué)選擇題中，定量型的試題所占的比重很大。而且，許多從形式上看

為計(jì)算定量型選擇題，其實(shí)不是簡單或機(jī)械的計(jì)算問題，其中往往蘊(yùn)涵了對(duì)概念、原理、性

質(zhì)和法則的考查，把這種考查與定量計(jì)算緊密地結(jié)合在一起，形成了量化突出的試題特點(diǎn)。

(3)充滿思辨性：這個(gè)特點(diǎn)源于數(shù)學(xué)的高度抽象性、系統(tǒng)性和邏輯性。作為數(shù)學(xué)選擇題，

尤其是用于選擇性考試的高考數(shù)學(xué)試題，只憑簡單計(jì)算或直觀感知便能正確作答的試題不

多，幾乎可以說并不存在。絕大多數(shù)的選擇題，為了正確作答，或多或少總是要求考生具備

一定的觀察、分析和邏輯推斷能力，思辨性的要求充滿題目的字里行間。

(4)形數(shù)兼?zhèn)洌簲?shù)學(xué)的研究對(duì)象不僅是數(shù)，還有圖形，而且對(duì)數(shù)和圖形的討論與研究，

不是孤立開來分割進(jìn)行，而是有分有合，將它辨證統(tǒng)一起來。這個(gè)特色在高中數(shù)學(xué)中已經(jīng)得

到充分的顯露。因此，在高考的數(shù)學(xué)選擇題中，便反映出形數(shù)兼?zhèn)溥@一特點(diǎn)，其表現(xiàn)是：幾

何選擇題中常常隱藏著代數(shù)問題，而代數(shù)選擇題中往往又寓有幾何圖形的問題。因此，數(shù)形

結(jié)合與形數(shù)分離的解題方法是高考數(shù)學(xué)選擇題的一種重要且有效的思想方法與解題方法。

(5)解法多樣化：與其他學(xué)科比較，“一題多解”的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中表現(xiàn)突出。尤其是數(shù)

學(xué)選擇題，由于它有備選項(xiàng)，給試題的解答提供了豐富的有用信息，有相當(dāng)大的提示性，為

解題活動(dòng)展現(xiàn)了廣闊的天地，大大地增加了解答的途徑和方法。常常潛藏著極其巧妙的解法,

有利于對(duì)考生思維深度的考查。

2.填空題

填空題和選擇題同屬客觀性試題，它們有許多共同特點(diǎn)：其形態(tài)短小精悍，考查目標(biāo)集

中，答案簡短、明確、具體，不必填寫解答過程，評(píng)分客觀、公正、準(zhǔn)確等等。不過填空題

和選擇題也有質(zhì)的區(qū)別。首先，表現(xiàn)為填空題沒有備選項(xiàng)。因此，解答時(shí)既有不受誘誤的干

擾之好處，又有缺乏提示的幫助之不足，對(duì)考生獨(dú)立思考和求解，在能力要求上會(huì)高一些，

長期以來，填空題的答對(duì)率?直低于選擇題的答對(duì)率，也許這就是一個(gè)重要的原因。其次，

填空題的結(jié)構(gòu)，往往是在一個(gè)正確的命題或斷言中，抽去其中的一些內(nèi)容(既可以是條件，

也可以是結(jié)論)，留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活。在對(duì)題目的閱讀理解上,

較之選擇題，有時(shí)會(huì)顯得較為費(fèi)勁。當(dāng)然并非常常如此，這將取決于命題者對(duì)試題的設(shè)計(jì)意

圖。

填空題的考點(diǎn)少，目標(biāo)集中，否則，試題的區(qū)分度差，其考試信度和效度都難以得到保

證。

這是因?yàn)椋禾羁疹}要是考點(diǎn)多，解答過程長，影響結(jié)論的因素多，那么對(duì)于答錯(cuò)的考生

便難以知道其出錯(cuò)的真正原因。有的可能是一竅不通，入手就錯(cuò)了，有的可能只是到了最后

一步才出錯(cuò)，但他們?cè)诖鹁砩媳憩F(xiàn)出來的情況一樣，得相同的成績，盡管它們的水平存在很

大的差異。

3.解答題

解答題與填空題比較，同屬提供型的試題，但也有本質(zhì)的區(qū)別。首先，解答題應(yīng)答時(shí)，

考生不僅要提供出最后的結(jié)論，還得寫出或說出解答過程的主要步驟，提供合理、合法的說

明。填空題則無此要求，只要填寫結(jié)果，省略過程，而且所填結(jié)果應(yīng)力求簡練、概括和準(zhǔn)確。

其次，試題內(nèi)涵，解答題比起填空題要豐富得多。解答題的考點(diǎn)相對(duì)較多，綜合性強(qiáng)，難度

較高。解答題成績的評(píng)定不僅看最后的結(jié)論，還要看其推演和論證過程，分情況評(píng)定分?jǐn)?shù)，

用以反映其差別，因而解答題命題的自由度，較之填空題大得多。

三、高考試卷的深層結(jié)構(gòu)

根據(jù)題型特點(diǎn)，高考試卷的結(jié)構(gòu)就十分明確了，我們將其分成三段:

第一段第二段第三段

試題形式選擇、填空解答題前三題解答題后三題

能力要求考察綜合思維能力考察理解、分析應(yīng)用能需要具備更多思維

力

難度基礎(chǔ)（最后一題稍難）中等難（第一問難度中等）

四、如何獲取高分

由于，基礎(chǔ)中考能力，所以要注重解題的快法和巧法，能在40分鐘左右，完成全部的

選擇填空題，這是奪取高分的關(guān)鍵。第二段是解答題的前三題，分值為30多分。這樣前兩

個(gè)階段的總分在110多分左右。第三段是最后“三難”題，分值不到40分?！叭y”題并

不全難，難點(diǎn)的分值只有12分到18分，平均每道題只有4分到6分。首先，應(yīng)在“三難”

題中奪得12分到20分，剩下最難的步驟分在努力爭取。這是根據(jù)試卷的深層結(jié)構(gòu)做出的最

佳解題策略。

所以，要重視選擇填空題、確保前三題。在備考前一定要首先訓(xùn)練這類題型。這是與其

他同學(xué)拉開分?jǐn)?shù)弓否的關(guān)鍵部分。但是只做選擇，填空利前三道大題是不夠全面的。因?yàn)椋?/p>

后“三難”題中的容易部分比前面的基礎(chǔ)部分還要容易，所以我們應(yīng)該志在必得。在復(fù)習(xí)的

時(shí)候，根據(jù)自己的情況，如果基礎(chǔ)較好那首先爭取選擇，填空前三道大題得滿分。然后，

再提高解答“三難”題的能力，爭取“三難”題得分20分到30分。這樣，你的總分就可以

超過130分，向145分沖刺。

第一段第二段第三段

最佳完成時(shí)限40分鐘30分鐘50分鐘

目標(biāo)得分率90%90%50%

所以最理想的提分計(jì)劃是：

五、從現(xiàn)在做起

在平時(shí)當(dāng)中一定要求自己選擇填空一分鐘一道題。用數(shù)學(xué)思想方法高速解答選擇填空

題。

注意不要傻算傻解，要學(xué)會(huì)巧算和巧解。選擇填空和前3道解答題都是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分。后

3題不是只做第一問的問題，而應(yīng)該猜想評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，按步驟由前向后爭取高分。

應(yīng)該用豬八戒拱地的精神對(duì)付難題。由前邊向后邊拱，往往能先拱到4分，再往前拱能

拱到8分一直到10分，最后剩下2分、4分得不到就算了。因?yàn)楹筮厡儆陔y點(diǎn)的分值，需

要天才。

六、考前復(fù)習(xí)順序

首先狠抓選擇題。選擇題是一種非常容易得分也非常容易丟分的題型。又出題靈活，而

考生多年的習(xí)慣來看，習(xí)慣于研究透徹，一定要掛靠“標(biāo)準(zhǔn)解答”才能放心，導(dǎo)致小題大做。

解答選擇題的時(shí)候顯得較為僵化死板，導(dǎo)致做題時(shí)間較長，并且害怕出錯(cuò)。在考試時(shí)往往因

為選擇題而顯得考試時(shí)間很緊。

在做選擇題的時(shí)候，一定要講究技巧，避免“小題大做”，在平時(shí)解答過程中，應(yīng)當(dāng)靈

活思考，而不要一味的傻做題。選擇題命題是有一定標(biāo)準(zhǔn)的，基本是以“考察思維”為主

要目的，而不是考察學(xué)生計(jì)算能力。因此平時(shí)重點(diǎn)訓(xùn)練選擇題。

選擇題是屬于思路開拓的題型，只要求選對(duì)，不講究中間步驟。所以我們要在平時(shí)的時(shí)

候以思考分析為主，本著“選項(xiàng)也是條件之一”的態(tài)度去做題，充分挖掘選擇題的解答途

徑，從而保證選擇題做的又快又對(duì)。

其次是解答題前三道類型題。這類題往往考察深度不是特別難，基本上只要具備一些分

析能力，順著題目條件列式，或按照題意設(shè)耒知數(shù)后列式，基本上都能完全拿下。這類題步

驟簡潔直觀，而且問題的起點(diǎn)和終點(diǎn)比較顯而易見，考生只需一定的解題思維即可。因此這

類題的分?jǐn)?shù)一定要拿到手。

再次是填空題。填空題也較為靈活，考法多樣，并無固定的形式，但是往往計(jì)算量不大,

也具備一定的思維開拓空間，有多種思考方式。知識(shí)的考查上多以理解衍生應(yīng)用為主，有一

些難度，但是基本上中等生都可以做的出來。日常做題訓(xùn)練的時(shí)候一定要注意時(shí)間掌控是思

維掌握上。

最后才是難題。如果時(shí)間很緊，不建議特別花費(fèi)時(shí)間去練習(xí)，只需注意難題的前面2個(gè)

步驟即可。

七、訓(xùn)練重點(diǎn)

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)理解

不要片面的去死記硬背，弄清公式、定理、推論的整個(gè)過程和原理。利用做題的時(shí)候思

考課本。

2、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)多以考察邏輯推理、分析、數(shù)形結(jié)合、平面、空間思維能力為主，平時(shí)做題時(shí)要注

重思考問題的