高數(shù)二第九章多元函數(shù)微分學(xué)

高數(shù)二第九章多元函數(shù)微分學(xué)

第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念第2頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為第3頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.第4頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:

若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.第5頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))第6頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域

若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開(kāi)集；

若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域

,簡(jiǎn)稱區(qū)域;。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作

E;第7頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域

第8頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天

整個(gè)平面

點(diǎn)集是開(kāi)集，

是最大的開(kāi)域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)P

D與某定點(diǎn)A的距離AP

K,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無(wú)第9頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第10頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天的距離記作中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)橐?guī)定為與零元O

的距離為第11頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)

三角形面積的海倫公式第12頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作第13頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第14頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n

元函數(shù)點(diǎn),則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第15頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.

設(shè)求證：證:故總有要證第16頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.

設(shè)求證：證：故總有要證第17頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)第18頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故第19頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.第20頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱n

元函數(shù)連續(xù).連續(xù),第21頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第22頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例求解這里在區(qū)域和區(qū)域內(nèi)都有定義，同時(shí)為及的邊界點(diǎn).但無(wú)論在內(nèi)還是在內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的：第23頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)第24頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:第25頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例6.證明在全平面連續(xù).證:為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準(zhǔn)則得第26頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

第八章第27頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn)x0

處的振動(dòng)速度與加速度,就是中的x固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0處,關(guān)于

t

的將振幅第28頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:第29頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天同樣可定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,第30頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)第31頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對(duì)y軸的第32頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!第33頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).第34頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.

設(shè)證:例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證第35頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),第36頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):第37頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為第38頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及第39頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,二者不等第40頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天則定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)第41頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程第42頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天備用題

設(shè)方程確定u

是x,y

的函數(shù),連續(xù),且求解:第43頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天證:令則則定理證明.令第44頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天同樣在點(diǎn)連續(xù),得第45頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第八章*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分第46頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.第47頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即第48頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x

的偏增量因此有第49頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:第50頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.第51頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有第52頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是第53頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

第54頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無(wú)窮小量;時(shí)是無(wú)窮小量.1.選擇題第55頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,可得注意:x,y,z

具有輪換對(duì)稱性

第56頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天在點(diǎn)(0,0)可微.在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù);

但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連

3.

證明函數(shù)所以第57頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天同理極限不存在,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù);同理,在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).2)3)第58頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天4)下面證明可微:說(shuō)明:

此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則第59頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第60頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

第八章第61頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量△u,△v,第62頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號(hào))第63頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天若定理中說(shuō)明:例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.第64頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,第65頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示固定y

對(duì)x

求導(dǎo),表示固定v

對(duì)x

求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,第66頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.設(shè)解:第67頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.解:第68頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到,下列例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).第69頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則第70頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見(jiàn)無(wú)論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.第71頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.例５.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以第72頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例６已知求解:由兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得第73頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例７求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)第74頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題１第75頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題２第76頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第八章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法第77頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程當(dāng)C<0時(shí),能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法問(wèn)題.第78頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)第79頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則第80頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有第81頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求第82頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天第83頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)第84頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確第85頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則第86頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì)x

求導(dǎo)第87頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法2

利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)第88頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故第89頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)方程兩邊求微分:解法2微分法.第90頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即第91頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；第92頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式下：第93頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P

的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式第94頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天同樣可得第95頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.

設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):

求答案:由題設(shè)故有第96頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)第97頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天①式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得則有由定理3

可知結(jié)論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②第98頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求導(dǎo),可得第99頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于第100頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.

設(shè)解:兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得解得因此第101頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對(duì)x

求導(dǎo),得第102頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法2

微分法.對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去可得第103頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

第八章第104頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面第105頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天考察割線趨近于極限位置——切線的過(guò)程上式分母同除以割線的方程為第106頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過(guò)M點(diǎn)且與切線垂直的平面.第107頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天解切線方程法平面方程第108頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.空間曲線方程為法平面方程為第109頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為第110頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天第111頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天所求切線方程為法平面方程為第112頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn)M的曲線二、曲面的切平面與法線第113頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天令則切平面方程為第114頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天法線方程為曲面在M處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.第115頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令第116頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為第117頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中第118頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天解切平面方程為法線方程為第119頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天解令切平面方程法線方程第120頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得第121頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)第122頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第123頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答設(shè)切點(diǎn)依題意知切向量為切點(diǎn)滿足曲面和平面方程第124頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天備用題.

求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量第125頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天法平面方程即解法2.

方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得第126頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量第127頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天備用題.確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有第128頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示:

在曲面上任意取一點(diǎn)則通過(guò)此備用題.設(shè)

f(u)

可微,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程.點(diǎn)的切平面為第129頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點(diǎn)的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題第130頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.求曲線在點(diǎn)(1,1,1)

的切線解:點(diǎn)(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.第131頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第八章第七節(jié)一、方向?qū)?shù)

二、梯度三、物理意義方向?qū)?shù)與梯度第132頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點(diǎn)

P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點(diǎn)處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作第133頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P

可微,得故第134頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于二元函數(shù)為

,)的方向?qū)?shù)為特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向向角第135頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.求函數(shù)

在點(diǎn)

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:

向量

l

的方向余弦為第136頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P

的切向量為第137頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)第138頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說(shuō)明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：第139頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P

處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度說(shuō)明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義第140頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線),稱為函數(shù)f

的等值線

.則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.第141頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.梯度的基本運(yùn)算公式第142頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題

1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對(duì)稱性第143頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A2.函數(shù)提示:則第144頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)

(數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(chǎng)(向量場(chǎng)的勢(shì))如:溫度場(chǎng),電位場(chǎng)等如:力場(chǎng),速度場(chǎng)等(向量場(chǎng)；勢(shì)場(chǎng))注意:

任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是某個(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng).第145頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為第146頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.梯度?

三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?

二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在?

?

可微梯度在方向l

上的投影.第147頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第八章第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問(wèn)題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法第148頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有第149頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故第150頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)第151頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第152頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第153頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為第154頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)第155頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.第156頁(yè),共171頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做