高數(shù)二第九章多元函數(shù)微分學(xué)

高數(shù)二第九章多元函數(shù)微分學(xué)

第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念第2頁,共171頁，2024年2月25日，星期天一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為第3頁,共171頁，2024年2月25日，星期天在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.第4頁,共171頁，2024年2月25日，星期天2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集

E

及一點

P:

若存在點P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,

若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第5頁,共171頁，2024年2月25日，星期天(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點)第6頁,共171頁，2024年2月25日，星期天D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；

若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作

E;第7頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

第8頁,共171頁，2024年2月25日，星期天

整個平面

點集是開集，

是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點P

D與某定點A的距離AP

K,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無第9頁,共171頁，2024年2月25日，星期天3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標(biāo).記作即一個點,當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第10頁,共171頁，2024年2月25日，星期天的距離記作中點

a

的

鄰域為規(guī)定為與零元O

的距離為第11頁,共171頁，2024年2月25日，星期天二、多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強

三角形面積的海倫公式第12頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定義1.

設(shè)非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時,有二元函數(shù)當(dāng)n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作第13頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第14頁,共171頁，2024年2月25日，星期天三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n

元函數(shù)點,則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第15頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.

設(shè)求證：證:故總有要證第16頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例2.

設(shè)求證：證：故總有要證第17頁,共171頁，2024年2月25日，星期天

若當(dāng)點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)第18頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故第19頁,共171頁，2024年2月25日，星期天僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點二重極限不存在.第20頁,共171頁，2024年2月25日，星期天四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱n

元函數(shù)連續(xù).連續(xù),第21頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第22頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例求解這里在區(qū)域和區(qū)域內(nèi)都有定義，同時為及的邊界點.但無論在內(nèi)還是在內(nèi)考慮，下列運算都是正確的：第23頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)第24頁,共171頁，2024年2月25日，星期天解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:第25頁,共171頁，2024年2月25日，星期天

例6.證明在全平面連續(xù).證:為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準(zhǔn)則得第26頁,共171頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

第八章第27頁,共171頁，2024年2月25日，星期天一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算法引例:研究弦在點x0

處的振動速度與加速度,就是中的x固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0處,關(guān)于

t

的將振幅第28頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定義1.在點存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:第29頁,共171頁，2024年2月25日，星期天同樣可定義對y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點

(x,y)處對x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,第30頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)第31頁,共171頁，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點M0處的切線對x

軸的斜率.在點M0處的切線斜率.是曲線對y軸的第32頁,共171頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!第33頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.

求解法1:解法2:在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).第34頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例2.

設(shè)證:例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證第35頁,共171頁，2024年2月25日，星期天偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,第36頁,共171頁，2024年2月25日，星期天二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):第37頁,共171頁，2024年2月25日，星期天類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為第38頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例5.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及第39頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例如,二者不等第40頁,共171頁，2024年2月25日，星期天則定理.例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等(證明略)第41頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程第42頁,共171頁，2024年2月25日，星期天備用題

設(shè)方程確定u

是x,y

的函數(shù),連續(xù),且求解:第43頁,共171頁，2024年2月25日，星期天證:令則則定理證明.令第44頁,共171頁，2024年2月25日，星期天同樣在點連續(xù),得第45頁,共171頁，2024年2月25日，星期天

第八章*二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計算估計誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分第46頁,共171頁，2024年2月25日，星期天一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.第47頁,共171頁，2024年2月25日，星期天(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即第48頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有第49頁,共171頁，2024年2月25日，星期天反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:第50頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.第51頁,共171頁，2024年2月25日，星期天所以函數(shù)在點可微.注意到,故有第52頁,共171頁，2024年2月25日，星期天推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是第53頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例2.計算函數(shù)的全微分.解:

第54頁,共171頁，2024年2月25日，星期天思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.1.選擇題第55頁,共171頁，2024年2月25日，星期天2.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z

具有輪換對稱性

第56頁,共171頁，2024年2月25日，星期天在點(0,0)可微.在點(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(0,0)連續(xù);

但偏導(dǎo)數(shù)在點(0,0)不連

3.

證明函數(shù)所以第57頁,共171頁，2024年2月25日，星期天同理極限不存在,在點(0,0)不連續(xù);同理,在點(0,0)也不連續(xù).2)3)第58頁,共171頁，2024年2月25日，星期天4)下面證明可微:說明:

此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則第59頁,共171頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第60頁,共171頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

第八章第61頁,共171頁，2024年2月25日，星期天一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量△u,△v,第62頁,共171頁，2024年2月25日，星期天(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時,根式前加“–”號)第63頁,共171頁，2024年2月25日，星期天若定理中說明:例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.第64頁,共171頁，2024年2月25日，星期天推廣:1)中間變量多于兩個的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,第65頁,共171頁，2024年2月25日，星期天又如,當(dāng)它們都具有可微條件時,有注意:這里表示固定y

對x

求導(dǎo),表示固定v

對x

求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,第66頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.設(shè)解:第67頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例2.解:第68頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.第69頁,共171頁，2024年2月25日，星期天為簡便起見,引入記號例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則第70頁,共171頁，2024年2月25日，星期天二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.第71頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.例５.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以第72頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例６已知求解:由兩邊對

x

求導(dǎo),得第73頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例７求在點處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)第74頁,共171頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題１第75頁,共171頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題２第76頁,共171頁，2024年2月25日，星期天

第八章第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法第77頁,共171頁，2024年2月25日，星期天本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程當(dāng)C<0時,能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時,不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法問題.第78頁,共171頁，2024年2月25日，星期天一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)第79頁,共171頁，2024年2月25日，星期天兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則第80頁,共171頁，2024年2月25日，星期天若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有第81頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求第82頁,共171頁，2024年2月25日，星期天第83頁,共171頁，2024年2月25日，星期天兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)第84頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確第85頁,共171頁，2024年2月25日，星期天兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則第86頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對x

求導(dǎo)第87頁,共171頁，2024年2月25日，星期天解法2

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)第88頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故第89頁,共171頁，2024年2月25日，星期天對方程兩邊求微分:解法2微分法.第90頁,共171頁，2024年2月25日，星期天二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即第91頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；第92頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式下：第93頁,共171頁，2024年2月25日，星期天有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點P

的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式第94頁,共171頁，2024年2月25日，星期天同樣可得第95頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例4.

設(shè)解:方程組兩邊對x求導(dǎo)，并移項得求練習(xí):

求答案:由題設(shè)故有第96頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例5.設(shè)函數(shù)在點(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對x,y的偏導(dǎo)數(shù).在與點(u,v)對應(yīng)的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)第97頁,共171頁，2024年2月25日，星期天①式兩邊對x求導(dǎo),得則有由定理3

可知結(jié)論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②第98頁,共171頁，2024年2月25日，星期天從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導(dǎo),可得第99頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例5的應(yīng)用:計算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于第100頁,共171頁，2024年2月25日，星期天備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.

設(shè)解:兩個隱函數(shù)方程兩邊對x

求導(dǎo),得解得因此第101頁,共171頁，2024年2月25日，星期天2.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對x

求導(dǎo),得第102頁,共171頁，2024年2月25日，星期天解法2

微分法.對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去可得第103頁,共171頁，2024年2月25日，星期天第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

第八章第104頁,共171頁，2024年2月25日，星期天設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面第105頁,共171頁，2024年2月25日，星期天考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以割線的方程為第106頁,共171頁，2024年2月25日，星期天曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過M點且與切線垂直的平面.第107頁,共171頁，2024年2月25日，星期天解切線方程法平面方程第108頁,共171頁，2024年2月25日，星期天2.空間曲線方程為法平面方程為第109頁,共171頁，2024年2月25日，星期天3.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為第110頁,共171頁，2024年2月25日，星期天第111頁,共171頁，2024年2月25日，星期天所求切線方程為法平面方程為第112頁,共171頁，2024年2月25日，星期天設(shè)曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過點M的曲線二、曲面的切平面與法線第113頁,共171頁，2024年2月25日，星期天令則切平面方程為第114頁,共171頁，2024年2月25日，星期天法線方程為曲面在M處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.第115頁,共171頁，2024年2月25日，星期天特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令第116頁,共171頁，2024年2月25日，星期天切平面上點的豎坐標(biāo)的增量因為曲面在M處的切平面方程為第117頁,共171頁，2024年2月25日，星期天其中第118頁,共171頁，2024年2月25日，星期天解切平面方程為法線方程為第119頁,共171頁，2024年2月25日，星期天解令切平面方程法線方程第120頁,共171頁，2024年2月25日，星期天解設(shè)為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得第121頁,共171頁，2024年2月25日，星期天因為是曲面上的切點，所求切點為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)第122頁,共171頁，2024年2月25日，星期天思考題第123頁,共171頁，2024年2月25日，星期天思考題解答設(shè)切點依題意知切向量為切點滿足曲面和平面方程第124頁,共171頁，2024年2月25日，星期天備用題.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量第125頁,共171頁，2024年2月25日，星期天法平面方程即解法2.

方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得第126頁,共171頁，2024年2月25日，星期天切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量第127頁,共171頁，2024年2月25日，星期天備用題.確定正數(shù)

使曲面在點解:二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面,因此有第128頁,共171頁，2024年2月25日，星期天證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:

在曲面上任意取一點則通過此備用題.設(shè)

f(u)

可微,證明原點坐標(biāo)滿足上述方程.點的切平面為第129頁,共171頁，2024年2月25日，星期天1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題第130頁,共171頁，2024年2月25日，星期天2.求曲線在點(1,1,1)

的切線解:點(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.第131頁,共171頁，2024年2月25日，星期天

第八章第七節(jié)一、方向?qū)?shù)

二、梯度三、物理意義方向?qū)?shù)與梯度第132頁,共171頁，2024年2月25日，星期天一、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點

P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作第133頁,共171頁，2024年2月25日，星期天定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點P

可微,得故第134頁,共171頁，2024年2月25日，星期天對于二元函數(shù)為

,)的方向?qū)?shù)為特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向向角第135頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.求函數(shù)

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:

向量

l

的方向余弦為第136頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例2.

求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P

的切向量為第137頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例3.設(shè)是曲面在點P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點P處沿求函數(shù)第138頁,共171頁，2024年2月25日，星期天二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：第139頁,共171頁，2024年2月25日，星期天1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點P

處的梯度記作(gradient),在點處的梯度說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義第140頁,共171頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),稱為函數(shù)f

的等值線

.則L*上點P處的法向量為同樣,對應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.第141頁,共171頁，2024年2月25日，星期天3.梯度的基本運算公式第142頁,共171頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題

1.函數(shù)在點處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性第143頁,共171頁，2024年2月25日，星期天指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點A(1,0,1)處沿點A2.函數(shù)提示:則第144頁,共171頁，2024年2月25日，星期天三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場

(數(shù)性函數(shù))場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(向量場的勢)如:溫度場,電位場等如:力場,速度場等(向量場；勢場)注意:

任意一個向量場不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場.第145頁,共171頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為第146頁,共171頁，2024年2月25日，星期天2.梯度?

三元函數(shù)在點處的梯度為?

二元函數(shù)在點處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在?

?

可微梯度在方向l

上的投影.第147頁,共171頁，2024年2月25日，星期天

第八章第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法第148頁,共171頁，2024年2月25日，星期天一、多元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有第149頁,共171頁，2024年2月25日，星期天說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故第150頁,共171頁，2024年2月25日，星期天時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)第151頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第152頁,共171頁，2024年2月25日，星期天在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;第153頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為第154頁,共171頁，2024年2月25日，星期天二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)第155頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例3.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.第156頁,共171頁，2024年2月25日，星期天例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做