金屬的電導(dǎo)理論

金屬的電導(dǎo)理論§5·1分布函數(shù)和玻耳茲曼方程

§5·1·1分布函數(shù)法的概念

費(fèi)米函數(shù)表述的是在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下，固體中的電子的分布規(guī)律。如果我們以波矢標(biāo)志電子的運(yùn)動狀態(tài)，那么根據(jù)關(guān)系式（4-11），在波矢空間的體積元內(nèi)狀態(tài)數(shù)目為：如果用表示費(fèi)米函數(shù)（T表示溫度），那么在體積元內(nèi)的電子數(shù)就等于：

(5-1)

第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天如果考慮單位體積內(nèi)的電子數(shù)，即設(shè)單位體積內(nèi)的電子數(shù)為：

n=N/VC，那么由（5-1）式可以得到：（5-2）這種分布可以形象地表示為電子在K空間的密度分布，即表示在一定溫度下，K空間某處電子密度的大小。

第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天在平衡狀態(tài)分布時(shí)，由于因此分布密度對于是對稱的。而此時(shí)由于因此電流大小相等方向相反。即電流為零第4頁,共32頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)在上述的平衡系統(tǒng)上外加一個(gè)恒定外場時(shí)，很快會形成一個(gè)穩(wěn)定電流密度，并且服從歐姆定律：（5-3）

式中σ為電導(dǎo)率。

這個(gè)穩(wěn)定電流實(shí)際上反映了在穩(wěn)定外場作用下，電子達(dá)到了一個(gè)新的定態(tài)統(tǒng)計(jì)分布狀態(tài)。這種定態(tài)分布也可以用一個(gè)與平衡時(shí)相似的分布函數(shù)來描述，即單位體積內(nèi)在中的電子數(shù)為：（5-4）第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天由于電子的速度為，因此它們對于電流密度的貢獻(xiàn)可以寫為：（5-5）積分上式可得到總的電流密度為：（5-6）上式說明只要確定了分布函數(shù)，就可以直接計(jì)算電流密度。通過這種非平衡情況下的分布函數(shù)來研究電子輸運(yùn)過程的方法，就是分布函數(shù)法。

第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天這里應(yīng)注意的是，要準(zhǔn)確地區(qū)別“平衡統(tǒng)計(jì)分布”與“定態(tài)統(tǒng)計(jì)分布”。平衡統(tǒng)計(jì)分布是指，宏觀上電子處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，各處的狀態(tài)密度相同。定態(tài)統(tǒng)計(jì)分布是指，宏觀上電子做定向運(yùn)動，各處狀態(tài)密度不變。第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天§5·1·2玻耳茲曼方程

玻耳茲曼方程是從考查分布函數(shù)如何隨時(shí)間變化而確立的。分布函數(shù)的變化有兩個(gè)來源：漂移項(xiàng)。它是指由外界條件所引起的統(tǒng)計(jì)分布在K空間的“漂移”。碰撞項(xiàng)。它是指由于晶格原子的振動，或者是雜質(zhì)的存在等原因，電子不斷地發(fā)生從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的躍遷。

我們可以把這種運(yùn)動狀態(tài)的改變想象成與分子運(yùn)動論中一個(gè)分子遭受碰撞由速度變化為另一速度的情況相似。電子態(tài)的這種變化常稱為散射。第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天由量子力學(xué)可以知道，電子的運(yùn)動速度與波矢是一一對應(yīng)的，所以我們可以以實(shí)際位置坐標(biāo)和波矢為變量組成相空間

在相空間中電子是以分布函數(shù)來描述的，它代表t時(shí)刻在點(diǎn)附近單位體積中一種自旋的電子數(shù)。所以t時(shí)刻在相空間體積元中一種自旋的電子數(shù)是：

第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天隨時(shí)間的總變化率應(yīng)由三部分組成：（5-7）其中：代表外場引起的分布函數(shù)的變化；代表電子因受散射引起的分布函數(shù)的變化；代表分布函數(shù)是時(shí)間顯函數(shù)時(shí)的偏導(dǎo)數(shù)。第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天如果電子的分布不隨時(shí)間變化而處于定態(tài)分布狀態(tài)，則此時(shí)f不顯含時(shí)間，故也為零，因此有：（5-8）第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天●

首先討論“漂移項(xiàng)”。在相空間中，t時(shí)刻位置為處的電子是由t-Δt時(shí)刻在處的電子漂移來的；而波矢為的電子是由波矢為的電子漂移來的。

時(shí)間位置坐標(biāo)波矢坐標(biāo)t-Δtt第12頁,共32頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)Δt很小時(shí)，可以假定電子在這個(gè)漂移過程中沒有遇到碰撞。根據(jù)全微分的方法可以得到下面的關(guān)系式：

(5-9)所以有：（5-10）上式表明，外場引起的分布函數(shù)的變化由兩部分組成，一部分是由于電子在坐標(biāo)空間的運(yùn)動引起的；第二部分是電子在波矢空間的運(yùn)動引起的，其結(jié)果是使晶體電子狀態(tài)代表點(diǎn)在波矢空間的分布成為不均勻的，此時(shí)

第13頁,共32頁，2024年2月25日，星期天●

下面再討論“碰撞項(xiàng)”?？梢杂靡粋€(gè)躍遷幾率函數(shù)：來描述單位時(shí)間由狀態(tài)→的躍遷幾率，這里只考慮自旋不變的躍遷。這種頻繁的躍遷顯然將引起分布函數(shù)的改變。定義了躍遷幾率函數(shù)以后，就可以寫出單位時(shí)間內(nèi)因碰撞從其它位置狀態(tài)進(jìn)入到處相空間單位體積的電子數(shù)為：

（5-11）第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天用同樣的理解方法，可以知道，相空間中由于碰撞單位時(shí)間離開處單位體積的電子數(shù)為：

(5-12)由于為單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而引起的點(diǎn)的分布函數(shù)的變化，因此有：

(5-13)第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天結(jié)合（5-8）、（5-10）、（5-13）式，可以得到定態(tài)條件下的玻耳茲曼方程為：

(5-14)第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天§5·1·3馳豫時(shí)間近似(5-14)式表示的玻耳茲曼方程方程是一個(gè)微分—積分方程，為了求解方便，一般都要作一些簡化，其中最主要的方法就是馳豫時(shí)間近似。

假設(shè)碰撞項(xiàng)可以寫成下面的形式：

(5-15)其中f0指的是平衡時(shí)的分布函數(shù)（即費(fèi)米函數(shù)）。是引入的一個(gè)參數(shù)，稱為馳豫時(shí)間，它是波矢的函數(shù)。它表示系統(tǒng)依賴碰撞機(jī)制使分布從非平衡分布f恢復(fù)到平衡分布狀態(tài)f0時(shí)所用的時(shí)間。第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天引入馳豫時(shí)間后，玻耳茲曼方程就簡化為：

(5-16)根據(jù)能帶理論的基本關(guān)系式：

(5-17)以及：（其中）（5-18）和：（5-19）第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天將（5-17），（5-18），（5-19）式代入（5-16）式，則玻耳茲曼方程可以寫為：（5-20）當(dāng)晶體中的溫度梯度為零，而且晶體只受外電場力作用時(shí)，玻耳茲曼方程可以簡化為：

（5-21）此式可以用于討論金屬的電導(dǎo)率的問題。★在討論金屬的熱導(dǎo)率問題時(shí)（5-20）式等號左邊的第一項(xiàng)就很重要了。第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天§5·2金屬的電導(dǎo)率在恒溫以及恒定外電場的條件下，金屬晶體中能夠形成穩(wěn)定的電流密度。這時(shí)玻耳茲曼方程可以寫成（5-21）的形式，經(jīng)簡單的變化可寫為：

(5-22)這個(gè)方程的解就是電場存在時(shí)定態(tài)的分布函數(shù)f，顯然f將是電場的函數(shù)，因此可以把f按的冪級數(shù)展開為：

(5-23)式中,f0為時(shí)的f值，因此就相當(dāng)于平衡情況下的費(fèi)米函數(shù)；f1，f2，…，分別代表包含的一次冪、二次冪、……、項(xiàng)。

第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天將（5-23）式代入（5-22）式得：

(5-24)由于等式兩邊的同次冪的項(xiàng)應(yīng)該相等，因此得到下面的一系列等式：

(5-25)第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天由于f0只是電子的能量的函數(shù)，因此（5-25）式中的一次冪方程可以寫成：

(5-26)第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天通過物理實(shí)驗(yàn)我們知道，在一般的電導(dǎo)問題中，電流與電場成正比，服從歐姆定律，這種情況相當(dāng)于弱場的情況，也就是說，電流與電場成正比的關(guān)系是一種弱場的近似，此時(shí)分布函數(shù)只需要考慮到的一次冪，即:

由（5-6）式可知，電流密度可以直接由分布函數(shù)得到，即：

(5-27)第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天在（5-27）式中，第一項(xiàng)相當(dāng)于平衡分布時(shí)的電流密度，因此等于零，將（5-26）式代入（5-27）式中得：

(5-28)

（5-28）式即為歐姆定律的一般公式?？梢娺@是一個(gè)向量關(guān)系式。如果把該關(guān)系式用分量表示則有：

（5-29）

第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天如果把（5-29）的向量關(guān)系式展開則可以表示為：

(5-30)其中：（5-31）是電導(dǎo)率二階張量的分量。第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天為了使問題簡化，下面討論各向同性的情況。假設(shè)導(dǎo)帶電子基本上可以用單一有效質(zhì)量m*來描述。則電子的能量為：

(5-32)自由電子的速度分量為：

(5-33)

第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天把（5-33）式代入（5-31）式中得到：

(5-34)各向同性的情況意味著，馳豫時(shí)間τ(K)與波矢K的方向無關(guān)，因此在（5-34）的積分中，除了Kα,Kβ以外,，其余的因子都是球?qū)ΨQ的，只要α≠β，積分內(nèi)的函數(shù)就是奇函數(shù)，所以積分后有：

(5-35)

第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天同樣由于對稱，,因此電導(dǎo)率二階張量相當(dāng)于一個(gè)標(biāo)量σ0，而且σ0可以由下面的關(guān)系式來表示：