行列式按行列展開

行列式按行列展開n階行列式的計(jì)算主要方法：

1【定義法】—

利用n階行列式的定義計(jì)算;

2【三角形法】—利用性質(zhì)1-5化為三角形計(jì)算；

3【展開法】—利用行列式按行（列）展開性質(zhì)

6，對行列式進(jìn)行降階計(jì)算；

4【綜合法】—利用性質(zhì)1-5先使D的某行(列)有盡可能多的零,再用性質(zhì)6對行列式進(jìn)行降階計(jì)算.5【遞推公式法】；

6【歸納法】。

本節(jié)主要介紹展開法—利用行列式按行(列)展開性質(zhì)6，對行列式進(jìn)行降階計(jì)算；第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天一、簡介一般說來，要解出行列式的值,低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡便.

通常的方法是：把一個(gè)行列式轉(zhuǎn)化為一些階數(shù)比較低的行列式來計(jì)算.

那么，如何將高階的行列式轉(zhuǎn)化為低階的呢？

第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天二、余子式與代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作1、【余子式】例如的元素a23余子式與代數(shù)余子式余子式為

:

第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天叫做元素的代數(shù)余子式．2、【代數(shù)余子式】在余子式前面加上相應(yīng)的符號，即構(gòu)成代數(shù)余子式。例如的元素a23代數(shù)余子式【代數(shù)余子式】第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天三、按一行（列）展開行列式特例1：某行中只有一個(gè)元不為零。故展開后較簡單。

【引理】一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即：

第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天證明見P16

先證明的情形，此時(shí)：

此行列式值為：又：從而：

第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天2、【特例2】：行列式D中第i行除元外，該行其他元全為零。即：這時(shí)，將行列式第i行調(diào)換到的一行，要換（i-1）次換到的第一行，則有：想把該行列式變換為，第一行中第一元素為，該行其他元全為零的情形：辦法如下：第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

第一步：把D的第i行依次與第i-1行，第i-2行、…..、第1行對調(diào)，這樣數(shù)就調(diào)成元，調(diào)換的次數(shù)為i-1；得

第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第二步：把第j列依次與第j-1列，j-2列，…，第1列對調(diào),這樣數(shù)就調(diào)成（1,1）元，對調(diào)次數(shù)為j-1總之，經(jīng)i+j-2次調(diào)換，把數(shù)調(diào)成（1,1）元。所得的行列式為：第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天中的余子式第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

故得利用前面的結(jié)果有第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天3．推廣到一般情形：定理3.

行列式按行(列)展開法則(定理)n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即：【注意】：在具體計(jì)算行列式的值時(shí)，到底按哪一行(列)來展開,看實(shí)際情況確定,哪行簡單(零元素較多),就按哪行展開.第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天證明：

則可以得到:

類似地,若按列來證明有:第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

例題分析解：把第3行其余元素變?yōu)?，然后按第3行展開：

第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例12證明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中記號是連乘號,表示全體同類因子的乘積。第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理3推論.

n階行列式的任一行的各元與另一行對應(yīng)元的代表余子式乘積之和為零，即：同理

n階行列式的任一列的各元與另一列對應(yīng)元的代表余子式乘積之和為零，即：第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

行列式展開定理

行列式等于它的任一行(列)各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和

即

推論行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零

即

綜合結(jié)論

總結(jié)第22頁,共25頁，2024年2月25日，星期天D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43

其中a13=3

a23=1

a33=-1

a43=0

例題分析例1

計(jì)算行列式

將D按第三列展開

解

所以=-24

D=3

19+1

(-63)+(-1)

18+0

(-10)應(yīng)有第23頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例2計(jì)算行列式常用方法：先化零，再展開.解第