隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

頻域：若物理可實(shí)現(xiàn)，且x(t)有界，則有：

。

所以對于確定信號，總可以用數(shù)學(xué)式或列表形式給定其時(shí)域的描述，或用變換的方式給出其“頻域”的表述，而且對于其通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的表述為：問題：隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)情況如何呢？其輸入、輸出以及與系統(tǒng)函數(shù)間的關(guān)系如何？第2頁,共55頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)信號——函數(shù)值無法用數(shù)學(xué)式或列表形式確切的表述。其原因是：

1.隨機(jī)性，即任何時(shí)刻點(diǎn)上的取值不能預(yù)先確定。因?yàn)殡S機(jī)過程（信號）是隨時(shí)間或依時(shí)序組成的每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量的集合，所以隨機(jī)信號每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上對應(yīng)的函數(shù)值都是一個(gè)隨機(jī)變量。即便通過一個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)所得到的確定函數(shù)，也只能是該隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)，它也無法表征整個(gè)隨機(jī)過程的行為。

2.波及性，隨機(jī)過程可以認(rèn)為是某個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)中某一個(gè)端口的輸出，各時(shí)間點(diǎn)上隨機(jī)變量的取值往往具有前后的波及影響，既不同時(shí)間點(diǎn)上隨機(jī)變量間的關(guān)聯(lián)性。這種波及或關(guān)聯(lián)性是由隨機(jī)系統(tǒng)的各種慣性決定的。第3頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

針對隨機(jī)信號所具有的隨機(jī)性和波及性，可用統(tǒng)計(jì)方法來描述其隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系：

1.對于每一時(shí)間點(diǎn)上的函數(shù)值是隨機(jī)變量的特征，可用一維統(tǒng)計(jì)特性來描述：

函數(shù)值的概率密度、均值、方差等；

2.對于各時(shí)間點(diǎn)隨機(jī)變量的波及性，用多維統(tǒng)計(jì)特性來描述：

函數(shù)值的多維概率密度、相關(guān)函數(shù)等。第4頁,共55頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的表示隨機(jī)過程的一個(gè)樣本,若是有界的，則對于線性時(shí)不變系統(tǒng)：

時(shí)域表示：非因果系統(tǒng)：

因果系統(tǒng)：即，系統(tǒng)輸出也只能是隨機(jī)過程的一個(gè)樣本且有界。其無法代表系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的全體。只有當(dāng)每個(gè)輸入樣本都是有界的，才有第5頁,共55頁，2024年2月25日，星期天頻域表示：

∵隨機(jī)過程是無限時(shí)寬，無限能量，非周期的,∴的付氏變換、Z變換以及付氏級數(shù)都不存在，故不能用頻譜表述。

但是，若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，則其頻域特性可用功率譜來描述。平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)：平穩(wěn)條件：=常數(shù)；第6頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

由此可知：隨機(jī)過程只能用統(tǒng)計(jì)的方法來表征，不存在頻譜，但可用功率譜描述。

問題的提出：用統(tǒng)計(jì)的方法如何來具體地表征隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的行為，從中我們能獲得什么結(jié)論？由于隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)絕對可積，故其存在Z變換，或付氏變換。物理解釋：能量無限的信號，一般功率有限。第7頁,共55頁，2024年2月25日，星期天一、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析1．系統(tǒng)輸出Y(t)的均值:

，其中

輸出過程的均值=輸入過程的均值×H(0)≡常數(shù)。2.系統(tǒng)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù):輸出過程RY(τ)只與時(shí)間差τ有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)t無關(guān)。第8頁,共55頁，2024年2月25日，星期天由E[Y(t)]≡常數(shù)和RY(τ)可知：

平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出過程也是平穩(wěn)的。且有：第9頁,共55頁，2024年2月25日，星期天3.系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù):同理可證，第10頁,共55頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)X(t)為白噪聲，即時(shí)，則即有

該式說明：如果能用互相關(guān)函數(shù)測量設(shè)備測得，則可用功率譜密度為的白噪聲激勵(lì)線性系統(tǒng)來估計(jì)該線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)。第11頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4．物理可實(shí)現(xiàn)(因果)系統(tǒng)的響應(yīng)

物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件：

因果性將該條件代入上述關(guān)系式，可得注意：卷積關(guān)系不再成立。第12頁,共55頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析小結(jié)：X(t)：平穩(wěn)隨機(jī)過程h(t)：線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)

注意：物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件。第13頁,共55頁，2024年2月25日，星期天二、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析1．系統(tǒng)輸出Y(t)的功率譜密度

令，則

，令：

，則其中，|H(ω)|2稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。所以，系統(tǒng)的輸出功率=系統(tǒng)的輸入功率×|H(ω)|

2。

第14頁,共55頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)的輸出的均方值或平均功率第15頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度

由付氏變換性質(zhì)可得:

當(dāng)X(t)為白噪聲，即GX(ω)=N0/2時(shí)，則，或

上式說明：如果能設(shè)法獲得GXY(ω)或GYX(ω)，則可估計(jì)線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(ω)。第16頁,共55頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析小結(jié)：GX(ω)

：輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度;H(ω)：線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù);|H(ω)|2

：線性時(shí)不變系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù);GY(ω)：輸出平穩(wěn)隨機(jī)過程Y(t)的功率譜密度；GXY(ω)：輸入X(t)與輸出平穩(wěn)隨機(jī)過程Y(t)的互譜密度。第17頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共55頁，2024年2月25日，星期天三、多個(gè)隨機(jī)過程之和通過線性系統(tǒng)設(shè)X1(t)和X2(t)單獨(dú)平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，則線性系統(tǒng)的輸出Y(t)的特性為：1．輸出Y(t)的均值第19頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2．輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度

推論：

若X1(t)和X2(t)互不相關(guān)，則第20頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

若X1(t)和X2(t)互不相關(guān)，且均值為零，則3．輸入X(t)與輸出Y(t)的互相關(guān)函數(shù)和互譜密度第21頁,共55頁，2024年2月25日，星期天四、白噪聲通過線性系統(tǒng)

設(shè)白噪聲的功率譜密度為，線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為，則系統(tǒng)輸出的功率譜密度為:，。―雙邊功率譜密度，。―單邊功率譜密度

系統(tǒng)輸出功率譜密度不再是均勻的，其完全取決于系統(tǒng)的頻率特性H(ω)。系統(tǒng)輸出Y(t)也不再是白噪聲。

第22頁,共55頁，2024年2月25日，星期天GY(ω)、RY(τ)的求解都需要知道|H(ω)|，因此

|H(ω)|越復(fù)雜，GY(ω)和RY(τ)的計(jì)算就越困難。系統(tǒng)輸出Y(t)的平均功率為:第23頁,共55頁，2024年2月25日，星期天1．等效噪聲帶寬等效思想：對于理想系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)輸入相同的白噪聲時(shí)，用輸出噪聲平均功率相等的方法，尋求一個(gè)在頻帶中心的功率傳輸函數(shù)值與實(shí)際系統(tǒng)相等的，且具有矩形傳輸函數(shù)特性的理想系統(tǒng)來代替實(shí)際系統(tǒng)。以簡化系統(tǒng)分析中的運(yùn)算。設(shè)理想低通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為則實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬定義為第24頁,共55頁，2024年2月25日，星期天設(shè)理想帶通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為其中，為帶通線性系統(tǒng)的中心頻率，則實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為表示：系統(tǒng)對噪聲功率譜的選擇性。第25頁,共55頁，2024年2月25日，星期天線性系統(tǒng)通頻帶的一般定義：系統(tǒng)頻率特性曲線半功率點(diǎn)的通頻帶寬（也稱為三分貝帶寬）。其表示系統(tǒng)對有用信號的選擇性。因?yàn)?，都取決于系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，所以一旦確定，則和也就確定了，因而和必然有確定的關(guān)系。不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)和的關(guān)系如下：

窄帶單調(diào)諧電路系統(tǒng)：；雙調(diào)諧電路系統(tǒng)：；高斯頻率特性的電路系統(tǒng)：；級聯(lián)調(diào)諧電路越多的電路系統(tǒng)，和兩者越接近。線性系統(tǒng)的通頻帶寬與等效噪聲帶寬的關(guān)系第26頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2．白噪聲通過理想線性系統(tǒng)

有了等效噪聲帶寬的概念，就可以用帶寬為等效噪聲帶寬的理想系統(tǒng)來等效或逼近實(shí)際系統(tǒng)。

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)理想低通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：第27頁,共55頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)輸出特性如下：輸出單邊功率譜密度

2)輸出相關(guān)函數(shù)

3)輸出平均功率第28頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4)輸出Y(t)的自相關(guān)系數(shù)

5)輸出Y(t)的相關(guān)時(shí)間

輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。，輸出過程隨時(shí)間變化越快；反之則越慢。第29頁,共55頁，2024年2月25日，星期天白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)理想帶通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：

若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：，

則系統(tǒng)輸出特性如下：第30頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

輸出單邊功率譜密度

若系統(tǒng)滿足條件時(shí)，則該系統(tǒng)稱為窄帶系統(tǒng)；若隨機(jī)過程的功率譜密度滿足條件時(shí)，則該隨機(jī)過程稱為窄帶過程。第31頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2)輸出相關(guān)函數(shù)令則。

由于的變化只與有關(guān)，因此若滿足條件，則的變化將比的變化慢得多。一般為的包絡(luò)。

稱且低通輸出相關(guān)函數(shù)為第32頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

當(dāng)時(shí)，則。其除了差一個(gè)系數(shù)2外，與低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)完全一樣。這說明，一個(gè)窄帶系統(tǒng)（滿足）輸出平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)等于相應(yīng)的等效低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)與的乘積。3)輸出平均功率4)輸出的自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)也可以分成快、慢變化兩部分。窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)=2×等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)×

cosω0τ第33頁,共55頁，2024年2月25日，星期天5)輸出Y(t)的相關(guān)時(shí)間

注意：上式利用窄帶過程的條件，由的包絡(luò)定義相關(guān)時(shí)間。因此反映的是窄帶過程包絡(luò)的相關(guān)時(shí)間。輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。則由此可知，輸出過程包絡(luò)隨時(shí)間變化越快；反之則越慢。第34頁,共55頁，2024年2月25日，星期天白噪聲通過具有高斯頻率特性的線性系統(tǒng)高斯頻率特性線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：，則系統(tǒng)輸出特性如下：1）

輸出單邊功率譜密度

第35頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2)輸出相關(guān)函數(shù)其中，為等效低通傳輸函數(shù)。窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)=2cosω0τ×等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)第36頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4)輸出Y(t)的自相關(guān)系數(shù)5)輸出Y(t)的等效噪聲帶寬

3)輸出平均功率第37頁,共55頁，2024年2月25日，星期天五、線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的概率分布一般情況:很難從理論上找到一般的求解輸出隨機(jī)過程的概率分布。多采用實(shí)驗(yàn)估計(jì)方法。特殊情況：1）輸入為高斯過程，輸出也是高斯過程；

2）輸入為非高斯過程，但輸入過程的帶寬遠(yuǎn)大于線性系統(tǒng)的帶寬。則線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的概率分布都服從高斯過程。1．高斯過程通過線性系統(tǒng)的輸出過程Y(t)的分布若X(t)是一高斯過程，則Y(t)也是一高斯過程。

第38頁,共55頁，2024年2月25日，星期天由于X(t)是高斯過程，故亦為高斯隨機(jī)變量。因?yàn)闉橐粫r(shí)刻點(diǎn)，而為確知量，所以

表示：任一時(shí)刻t的Y(t)是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量的和。而多維高斯隨機(jī)變量的線性組合仍為多維高斯隨機(jī)變量，故高斯過程X(t)通過線性系統(tǒng)的輸出Y(t)也是一高斯過程。但是必須注意：雖然輸出過程是高斯過程，但其數(shù)字特征已改變。第39頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2．寬帶非高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)輸出過程的分布

若輸入非高斯過程X(t)的功率譜帶寬與線性系統(tǒng)帶寬滿足：則系統(tǒng)輸出Y(t)的概率分布趨于高斯分布。由中心極限定理可知，大量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率分布趨于高斯分布。第40頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性

，∴當(dāng)足夠大，以使，則可認(rèn)為輸入過程各取樣值相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

構(gòu)成y(t)的累加性

系統(tǒng)的對輸入信號的響應(yīng)（建立）時(shí)間ty與系統(tǒng)的帶寬⊿f也成反比關(guān)系，即

當(dāng)⊿f足夠窄，以使響應(yīng)時(shí)間，則可認(rèn)為輸出過程y(t)由輸入過程各取樣值經(jīng)足夠長的時(shí)間累加構(gòu)成。第41頁,共55頁，2024年2月25日，星期天綜上所述，當(dāng)滿足條件時(shí)，Y(t)的概率分布將趨于高斯分布。由可知，Y(t)的概率分布趨于高斯分布的條件為：。即，線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)過程X(t)的功率譜帶寬⊿fX

遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬⊿f時(shí)，輸出隨機(jī)過程Y(t)的概率分布將趨于高斯分布，而與輸入隨機(jī)過程是否為高斯分布無關(guān)。第42頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

六、隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)*其中：x(n)、y(n)分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，

H(z)為系統(tǒng)傳輸函數(shù)。1．離散線性系統(tǒng)的分類第43頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共55頁，2024年2月25日，星期天由Z變換可得其模型傳遞函數(shù)為：

該模型稱為自回歸滑動平均（ARMA：AutoregresiveMovingAverage）模型。第45頁,共55頁，2024年2月25日，星期天如果，則該模型稱為滑動平均（MA：MovingAverage）模型第46頁,共55頁，2024年2月25日，星期天如果