隨機抽樣和抽樣分布

隨機抽樣和抽樣分布一、總體與樣本1、總體與個體被研究對象的全體稱為總體，組成總體的每一個元素稱為個體?？傮w有限總體：個體數(shù)是有限的（當個體數(shù)非常多時，可視為無限總體）無限總體第2頁,共27頁，2024年2月25日，星期天一、統(tǒng)計量人們?nèi)〉脴颖竞?，并不能直接利用它作出對總體分布的推斷或分布參數(shù)的估計，而是對取得的數(shù)據(jù)進行數(shù)學加工，改造成具有較好性質(zhì)且便于應(yīng)用的形式。在數(shù)理統(tǒng)計學中，往往通過構(gòu)造一個合適的依賴于樣本的函數(shù)來解決問題，這個函數(shù)稱為統(tǒng)計量。1、定義設(shè)為取自總體X的樣本，g=是樣本函數(shù)，且函數(shù)中不含任何未知參數(shù)，則稱g為一個統(tǒng)計量。第3頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2、樣本從同一總體中抽取出若干個體組成的集合稱為樣本。樣本中每一個體稱為樣品。樣本中包含的樣品個數(shù)稱為樣本容量。例如，從某批1萬只顯像管中抽取100只做壽命調(diào)查。其中，樣本為：100只顯像管的壽命樣品：抽取出的每一只顯像管的壽命樣本容量：100只第4頁,共27頁，2024年2月25日，星期天3、隨機抽樣——簡單隨機樣本從總體中抽取樣本可以有不同的方法，為了使樣本能對總體作出比較可靠的推斷，對抽樣方法有以下要求：（1）抽樣是隨機的。即總體的每一個體都等可能地被抽??；（2）樣本的分量是相互獨立的隨機變量，即每一分量的觀測結(jié)果并不影響其它分量的觀測結(jié)果。這樣的抽樣稱為簡單隨機抽樣，得到的樣本稱為簡單隨機樣本。第5頁,共27頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論：若

是從總體X中抽取的簡單隨機樣本。則相互獨立，且每一個與X同分布。抽取樣本的方式有放回和不放回兩種。從無限總體中無論是放回還是不放回，得到的樣本都可看成簡單隨機樣本。從有限總體中，放回抽樣得到簡單隨機樣本；不放回抽樣得到的不是簡單隨機樣本。但當總體容量Ｎ很大，樣本容量n較?。ㄍǔ＃r，不放回抽樣可近似看成放回抽樣。第6頁,共27頁，2024年2月25日，星期天二、樣本的數(shù)字特征1、樣本均數(shù)2、樣本方差樣本標準差樣本變異系數(shù)第7頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例

開胸順氣丸崩解時間X～N(μ,σ2)．隨機抽取5丸崩解時間為:36,40,32,41,36(min),求樣本均值與樣本方差解364032413612961600102416811296第8頁,共27頁，2024年2月25日，星期天3、標準誤：樣本均數(shù)的標準差，記為且有證明：設(shè)總體均數(shù)為EX=，方差DX=即得證但在實際抽樣研究中，DX通常未知，故采用樣本標準差S來代替總體標準差，因此得到標準誤的計算公式為第9頁,共27頁，2024年2月25日，星期天4、其它常用的數(shù)字特征眾數(shù)它是隨機變量的概率函數(shù)或概率密度函數(shù)取最大值所對應(yīng)的變量值極差它等于隨機變量有限個樣本中最大值與最小值之差中位數(shù)它是累積概率分布或者分布函數(shù)等于50%所對應(yīng)的變量值。換言之，隨機變量的取值大于它的概率和小于它的概率恰好相等，在概率意義上它位于正中。第10頁,共27頁，2024年2月25日，星期天（2）若，則5、與的運算性質(zhì)（1）若樣本值（i=1,2,…n)

則證明略第11頁,共27頁，2024年2月25日，星期天一、正態(tài)變量的獨立可加性設(shè)n個相互獨立的變量都服從正態(tài)分布，（i=1,2,…n)其中(i=1,2,…n)是不全為零的常數(shù)。2、正態(tài)變量X的線性函數(shù)Y=aX+b仍服從正態(tài)分布，且則它們的的線性組合仍服從正態(tài)分布,即第12頁,共27頁，2024年2月25日，星期天設(shè)總體，是從總體中取出的樣本，則說明：對于非正態(tài)總體，當抽樣為小樣本時，沒有確定性結(jié)論；當抽樣為大樣本時，有即對于大樣本，無論總體服從何分布，上式總成立。第13頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例

設(shè)從總體中隨機抽取一容量為25的樣本，求樣本均值落于(140，147.5)的概率。解由，得第14頁,共27頁，2024年2月25日，星期天二、（卡方）分布1、定義設(shè)總體X~N(0,1)，是取自X的樣本，則稱服從自由度為n的分布。記作自由度：統(tǒng)計量中獨立隨機變量的個數(shù)—約束條件個數(shù)例如，樣本方差中有n個獨立的變量，它們之間存在唯一的約束條件故的自由度為n－1第15頁,共27頁，2024年2月25日，星期天分布的概率密度函數(shù)為概率密度曲線圖n越小，曲線越偏向左側(cè)，當n充分大時，分布近似于正態(tài)分布。第16頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2、獨立變量的可加性若，且與相互獨立。則推廣到k個變量，若，i=1,2,…k則3、定理設(shè)是取自總體

的樣本，則證明略第17頁,共27頁，2024年2月25日，星期天三、t分布1、定義設(shè)，

U與V相互獨立，則服從自由度為n的t分布。記作t~t(n)。t分布的密度函數(shù)為第18頁,共27頁，2024年2月25日，星期天當n充分大時,其圖形類似于標準正態(tài)變量概率密度函數(shù)的圖形.概率密度曲線圖顯然，圖形是關(guān)于t=0對稱的。第19頁,共27頁，2024年2月25日，星期天定理1

設(shè)是取自總體

的樣本，則證第20頁,共27頁，2024年2月25日，星期天定理2（兩個正態(tài)總體的抽樣分布）1、設(shè)與是分別取自總體，的相互獨立簡單隨機樣本，則標準化第21頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2、其中設(shè)與是分別取自總體，的相互獨立簡單隨機樣本，則稱為聯(lián)合方差第22頁,共27頁，2024年2月25日，星期天證第23頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共27頁，2024年2月25日，星期天三、F分布其中稱為第一自由度，稱為第二自由度。定義第25頁,共27頁，2024年2月25日，星期天

2、定理設(shè)與