新教材第五章函數(shù)概念與性質(zhì)

第五章函數(shù)概念與性質(zhì)

第5.2.1節(jié)函數(shù)的表示法

教材分析

形式化、符號化，是數(shù)學(xué)的重要特征，如所有的函數(shù)關(guān)系都可以用y=/(x)這個等式來表示，

不僅簡單，而且也可加深對函數(shù)概念本質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)的發(fā)展引起了計算工具的改革和進步，反過

來，計算工具的廣泛應(yīng)用，又促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展.因此學(xué)好函數(shù)的表示方法，是學(xué)好函數(shù)的基礎(chǔ)，

教學(xué)目標與核心素養(yǎng)

課程目標學(xué)科素養(yǎng)

1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點.a數(shù)學(xué)抽象：換元法、方程組法求函數(shù)解析式

2.掌握求函數(shù)解析式的常見方法.b數(shù)據(jù)分析：從圖象上獲取有用的信息

3.嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息.C數(shù)學(xué)運算：求函數(shù)解析式的運算

教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點：函數(shù)的三種表示法

2.教學(xué)難點：求函數(shù)的解析式

課前準備

1.如果二次函數(shù)的圖象開口向上且關(guān)于直線x=l對稱，且過點(0,0),則此二次函數(shù)的解析式可以

是()

A.於)=/一1B.Xx)=-(x-l)2+l

C.y(x)=(x—l)2+lD.7U)=(x—1)2-1

答案D

2.某同學(xué)從家里到學(xué)校，為了不遲到，先跑，跑累了再走余下的路,設(shè)在途中花的時間為t,離開

家里的路程為“，下面圖形中，能反映該同學(xué)的行程的是()

J2JkJLJ!

oi7o\t7

ABCD

答案C

3.畫出尤丘(0,3］的圖象，并求出y的最大值、最小值.

解ynlx2—4x—3(0<v^3)的圖象如下：

由圖易知，當(dāng)x=3時，ymax=2x32—4x3—3=3.

由y=2x2-4x-3=2(x-l)2~5,

.,.當(dāng)x=l時，ymin=—5.

教學(xué)過程

函數(shù)的表示方法

(1)解析法：就是用翹來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.這個箜式叫做函數(shù)解析式.

(2)列表法：就是用幽來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

(3)圖象法：就是用圖象來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

典例剖析

類型一解析式的求法

例1根據(jù)下列條件，求犬x)的解析式.

(lW))=2x-l,其中_/U)為一次函數(shù);

解由題意，設(shè)./(x)=ax+雙存0),

則歡x))=W(x)+b=a(ar+6)+6

=crx-irab-\-b=2x-1,

/=2,

由恒等式性質(zhì)，得

ab+b=-]f

a=-y[2,f

/?=1+^/2.

???所求函數(shù)解析式為

yu)=g+1一地或yu)=-y]2x+1+V2.

(2y(2x4-l)=6x+5；

t—1

解方法一設(shè)2x+l=f,則》=丁~

.?.9=6--5—+5=3￡+2.

...於)=3x+2.

方法二五2x+l)=6x+5=3(2x+l)+2,

.,.火x)=3x+2.

(3y(x)+2/(—x)=f+2x.

解?.7U)+“(—x)=d+2x,

將x換成一x,得大一箝+覺的二/一不，

...聯(lián)立以上兩式消去,八一x),得3負》)=1一6x,

1,

?\/(x)=q.t-2x.

總結(jié)(1)如果己知函數(shù)類型，可以用待定系數(shù)法.

(2)如果已知八g(x))的表達式，想求凡*)的解析式，可以設(shè)f=g(x),然后把y(ga))中每一個X都換成r

的表達式.

(3)如果條件是一個關(guān)于x)的方程，我們可以用x的任意性進行賦值.如把每一個x換成一X,

其目的是再得到一個關(guān)于/(尤)，_/(一龍)的方程，然后利用消元法消去人一處.

變式訓(xùn)練根據(jù)下列條件，求兀0的解析式.

(iy(x)是一次函數(shù)，且滿足浜x+l)-/U)=2x+9；

解由題意，設(shè)yu)=ax+僅存0),

；3/(x+l)—犬x)=2x+9,

.,.3a(x+1)+3〃-nx—6=2x+9,

即2ox+3a+2b=2x+9,

2a=2,

由恒等式性質(zhì)，得

3a+2h=9,

??a=1,b-3.

..?所求函數(shù)解析式為yu)=x+3.

(2師+1)=爐+4x+l；

解方法一設(shè)x+l=f,則x=f—1,

財=(L1)2+4(L1)+1,

即yw=產(chǎn)+2f-2.

所求函數(shù)解析式為人x)=f+2x-2.

方法二,/(.v+D=(x+1-1)2+4(X+1-1)+1

=(X+1)2+2(X+1)-2,

?\Ax)=f+2x_2.

⑶2/(；)+於)=x(/0).

解：川)+2於)=方將原式中的x與5互換,

得X9+2於)=(

2x

解得加)=五一*/0).

類型二函數(shù)的畫法及應(yīng)用

例2已知y(x)的圖象如圖所示，則加0的定義域為，值域為

答案[-2,4]U[5,8][-4,3]

解析函數(shù)的定義域?qū)?yīng)圖象上所有點橫坐標的取值集合，值域?qū)?yīng)縱坐標的取值集合.

變式訓(xùn)練：函數(shù)大外=/—4x+3(xK))的圖象與y=,w有兩個交點，求實數(shù)m的取值范圍.

解—4x+3(xK))的圖象如圖,

/U)與直線y=m有2個不同交點,由圖易知一1〈，處3.

總結(jié)函數(shù)圖象很直觀，在解題過程中常用來幫助理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，依托函數(shù)圖象可以更直觀

地尋求問題的解決思路和要點.

類型三列表法表示函數(shù)及應(yīng)用

例3若函數(shù)y(x)如下表所示：

X0123

fix)2210

⑴求然D)的值;

(2)若歡尤))=1，求x的值.

解⑴：川)=2,.?.用⑴)=彤)=1.

(2)設(shè)兀v)=f,由表知，當(dāng)式f)=l時，對應(yīng)的t=2,

即人x)=2,再由表求得當(dāng)且僅當(dāng)x=0或1時，fix)—2.

...x=0或x=l.

變式訓(xùn)練：已知函數(shù)兀v)由下表給出，求滿足加))?3)的x的值.

X123

於)231

解?]3)=1.

當(dāng)歡x))>l時，於)=1或2.

當(dāng)兀0=1時,x=3.

當(dāng)兀v)=2時，x—\.

滿足條件的x的值