中考數(shù)學(xué)題型試題-06（解答題-幾何類）【解析版】

【中考數(shù)學(xué)題型專練】專練06（解答題-幾何類）（20道）

1.（2018?河南省中考模擬）如圖①，在等腰aABC和AADE中,AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120°.

（1）求證：△ABDgAACE;

（2）把4ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖②的位置,連接CD,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn),連接MN、

PN、PM,判斷apyN的形狀,并說(shuō)明理由；

⑶在⑵中,把AADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若ADMAB=6,請(qǐng)分別求出△PMN周長(zhǎng)的最小值與最大值.

圖①圖②

【答案】（1）證明見解析；（2）Z\PM\是等邊三角形.理由見解析；（3）ZXPMN周長(zhǎng)的最小值為3,最大值為15.

【解析】

⑴因?yàn)镹BAC=NDAE=120°,

所以/BAD=/CAE,又AB=AC,AD=AE,

所以AABD好AADE;

⑵△PMN是等邊三角形.

理由：???點(diǎn)P,M分別是CD,DE的中點(diǎn)，

1

.?.PM=-CE,PM/7CE,

2

點(diǎn)N,M分別是BC,DE的中點(diǎn),

1

.?.P\=—B1）,PN//BD,

2

同（1）的方法可得BD=CE,

，PM=PN,

/.△PMN是等腰三角形，

VPM/7CE,/.ZDPM=ZDCE,

VPN/7BD,AZPNC=ZDBC,

ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

二NMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

VZBAC=120°,AZACB+ZABC=60°,

/.ZMPN=60°,

???△PMN是等邊三角形.

(3)由(2)知，△PMN是等邊三角形,PM=PN--BD,

2

APM最大時(shí)，AP^周長(zhǎng)最大，

:.點(diǎn)D在AB上時(shí),BD最小,PM最小，

.,.BD=AB-AD=2,APMN周長(zhǎng)的最小值為3;

點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上時(shí),BD最大,PM最大，

.,.BD=AB+AD=10,△PMN周長(zhǎng)的最大值為15.

故答案為△「同周長(zhǎng)的最小值為3,最大值為15

點(diǎn)睛:本題主要考查「全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定,解決第(3)問(wèn)，

要明確點(diǎn)D在AB上時(shí),BD最小,PM最小，APMN周長(zhǎng)的最小；點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上時(shí),BD最大,PM最大,APMN

周長(zhǎng)的最大值為15.

2.(2019?江蘇省中考模擬)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,ZA0B=ZC0D=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.填空：

AT

①義的值為；

BD

②NAMB的度數(shù)為.

(2)類比探究

如圖2,在△OAB和△OCD中，NA0B=NC0D=90°,N0AB=N0CD=30°,連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.請(qǐng)判斷

AC

—的值及/AMB的度數(shù),并說(shuō)明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下,將△OCD繞點(diǎn)0在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若0D=l,0B=不，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C

與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng).

2

【答案】⑴①1；②40°;(2)6,90°;(3)AC的長(zhǎng)為3岔或2G.

【解析】

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):

/.ZCOA=ZDOB,

VOC=OD,OA=OB,

.,.△COA^ADOB(SAS),

.,.AC=BD,

￡i,

BD

②?..△COA且△DOB,

ZCAO=ZDBO,

VZA0B=400,

.,.Z0AB+ZAB0=140o,

在aAMB中，NAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDB0+Z0AB+ZABD)=180°-140°=40°,

⑵類比探究:

Aj—

如圖2,——=V3,ZAMB=90°,理由是:

BD

RtACOD中，ZDC0=30°,ZD0C=90°,

?OD

=tan3Q°=

~OC3

同理得：=tan30°=—,

OA3

?OD_OB

"'OC~'OA'

VZA0B=ZC0D=90°,

/.ZAOC=ZBOD,

/.△AOC^ABOD,

ACOC/T

——=——=J3,ZCAO=ZDBO,

BDOD

在aAMB中，/AMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)=90°;

(3)拓展延伸：

①點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí),如圖3,

設(shè)BD=x,則AC=>/3x,

RtACOD中，Z0CD=30°,OD=1,

.?,CD=2,BC=x-2,

RtZXAOB中，N0AB=30°,0B=J7,

；.AB=20B=2J7,

在RtAAMB中，由勾股定理得:AClBCJAB",

4

(VJX)2+(X-2)2=(2S)2,

x-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

xi=3,X2=-2,

.?.AC=30；

②點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖4,

設(shè)BD=x，則AC=V3x,

在RtAAMB中，由勾股定理得:ACZ+BC'AB；

(、回x)2+(x+2)z=(2j7)2.

X2+X-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

Xi=-3,X2=2,

.*.AC=2^

綜上所述,AC的長(zhǎng)為3百或2b.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形的綜合題,主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何變換問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是能得

出：△AOCs/\BOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問(wèn)題,本題是一道比較好的題目.

3.(2019?東阿縣姚寨鎮(zhèn)聯(lián)合校中考模擬)已知:正方形ABCD,等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂

點(diǎn)D處,使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn).

(1)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明；

(2)在⑴的條件下,若DE=1,AE=J7,CE=3,求/AED的度數(shù)；

(3)若BC=4,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)DM,DM與AC交于點(diǎn)0,當(dāng)三角板的一邊DF與邊DM重合時(shí)(如圖2),

若0F=@，求CN的長(zhǎng).

3

7

【答案】(1)CE=AF,證明見解析；(2)NAED=135°;(3)CN=y.

【解析】

解：：(1)CE=AF;

在正方形ABCD,等腰直角三角形CEF中，

FD=DE,CD=CA,ZADC=ZEDF=90°

ZADF=ZCDE,

.,.△ADF^ACDE,

.?.CE=AF,

⑵設(shè)DE=k,

VDE:AE:CE=1:77：3

；.AE=J7k,CE=AF=3k,

，EF=0k,

VAE2+EF2=7k-+2k2=9k；!,AF2=9k',

即AE2+EF2=AF2

??.△AEF為直角三角形，

ZBEF=90°

AZAED=ZAEF+DEF=900+45°=135°;

⑶是AB中點(diǎn),

6

11

?,.MA--AB=-AD,

22

：AB〃CD,

.OM_OAAM_1

"OD-OC-DC-2,

在RtADAM中，l)M=4AET+AM2=J16+4=2舊-

.?.D0=l^l

3

V0F=—

3

?,.DF-V5

/DFN=NDCO=45°,ZEDN=ZCD0

.,.△DFN^ADCO

.DFDN

"~DC~~DO

加_DN

?,44小

丁

5

ADN=-

3

57

ACN=CD-DN=4——=一.

33

【點(diǎn)睛】

本題是一道幾何變換題，主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、勾股定理及逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用,綜合性很強(qiáng),難度適中，第3

小題是本題難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)相似三角形轉(zhuǎn)移線段比進(jìn)行計(jì)算時(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.（2018?江蘇省中考模擬）如圖,AM是AABC的中線,D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）.DE〃AB交AC于

點(diǎn)F,CE〃AM,連結(jié)AE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí),求證:四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶如圖3,延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)H,若BH±AC,且BH=AM.

①求NCAM的度數(shù)；

②當(dāng)FH=V3,DM=4時(shí),求DH的長(zhǎng).

【解析】

VDE/7AB,

???ZEDC=ZABM,

VCE/7AM,

???ZECD=ZADB,

VAM是4ABC的中線，且D與M重合,

.?.BD=DC,

/.△ABD^AEDC,

AAB=ED,VAB/ZED,

???四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)結(jié)論：成立.理由如下：

如圖2中，過(guò)點(diǎn)M作MG〃DE交CE于G.

8

E

,.?CE〃AM,

???四邊形DMGE是平行四邊形，

JED=GM,且ED#GM,

由（1）可知AB=GM,AB/7GM,

???AB〃DE,AB=DE,

???四邊形ABDE是平行四邊形.

⑶①如圖3中，取線段HC的中點(diǎn)I,連接MI,

VBM=MC,

AMI是△BHC的中位線，

-BH,

2

?:BH±A-C,KBH=AM.

1

2

AZCAM=30°.

②設(shè)DH=x,則AH=V3x,AD=2x,

AM=4+2x,

，BH=4+2x,

?.?四邊形ABDE是平行四邊形，

...DF〃AB,

.HFHD

?G=x

>/3x4+2x

解得x=l+石或1-J?（舍棄）,

-,.DH=1+V5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的判定、平行線分線成比例定理、

三角形的中位線定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵能正確添加輔助線,構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題.

5.（2017?山東省中考模擬）如圖1,AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形，

點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF,BD_LCF成立.

（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9（0°<9<90°）時(shí)，如圖2,BD-CF成立嗎?若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

⑵當(dāng)aABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3,延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)H.

①求證:BD_LCF;②當(dāng)AB=2,AD=30時(shí),求線段DH的長(zhǎng).

【答案】（1）BD=CF,理由見解析；（2）①證明見解析;②DI1-兔血.

5

【解析】

解：⑴、BD=CF成立.

由旋轉(zhuǎn)得:AC=AB,ZCAF=ZBAD=0;AF=AD,

/.△ABD^AACF,

10

，BD=CF.

(2)①、由(1)得，△ABDg/XACF,

.,.ZHFN=ZADN,

VZHNF=ZAND,ZAND+ZAND=90°

/.ZHFN+ZHNF=90°,

.../NHF=90°,

AHD±HF,即BD±CF.

②、如圖，連接DF,延長(zhǎng)AB,與DF交于點(diǎn)M.

,??四邊形ADEF是正方形，

，NMDA=45°,

：NMAD=45°,

.\ZMAD=ZMDA,ZAMD=90°,

AAM=DMVAD=3在△MAD中，AM2+DM2AD2,

；.AM=DM=3

.，MB=AM-AB=3-2=1,

在△!??)中，BM2+DM2=BD-

：?BD=dAM?+DM?=四+儼=加

VZMAD=ZMDA=45°,

AZAMD=90°，又NDHF=90°,ZMI)B=ZHDF,

ADM:DH=DB:DF,即=①i

DH6

解得,DII-2叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握

旋轉(zhuǎn)角的定義和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?山東省中考模擬）（1）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）

如圖1,在Rt△■中,AB=AC=^2,乙弧7=90°,點(diǎn)D為國(guó)的中點(diǎn)，以應(yīng)為一邊作正方形CDEF,點(diǎn)￡恰好與

點(diǎn)A重合,則線段BE與"1的數(shù)量關(guān)系為

（2）（拓展研究）

在（1）的條件下,如果正方形的繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),連接弱笫陽(yáng)線段BE與"的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖

2的情形給出證明；

（3）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）

當(dāng)正方形做F旋轉(zhuǎn)到B,E,產(chǎn)三點(diǎn)共線時(shí)候,直接寫出線段4尸的長(zhǎng).

【答案】⑴BE-&AF;⑵無(wú)變化;⑶6-1或百+L

【解析】

解：(1)在RtAABC中，AB=AC=2,

根據(jù)勾股定理得,BC-0AB=20,

點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，.IAD」；BC=0,

,/四邊形CDEF是正方形，，AF=E叫AD=庭,

VBE=AB=2,/.BE-V2AF,

故答案為BE=&AF;

(2)無(wú)變化；

如圖2,在RtAABC中,AB=AC=2,

.,.ZABC=ZACB=45°,AsinZABC=-=—,

CB2

在正方形CDEF中，ZFEC=-ZFED=45",

2

12

在RtACEF中，sinZFEC=—,

CE2

■CF-CA

"CE~CB'

VZFCE=ZACB=45°、：.ZFCE-NACE=NACB-NACE,二NFCA=NECB,

BECBr-f-

AAACF<-AABCE,A——=—=屈，：.BE=正AF,

AFCA

線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無(wú)變化；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時(shí)，如圖2,

由（1）知,CF=EF=CD=血,

在RtABCF中,CF=&,BC=2五,

根據(jù)勾股定理得,BF-V6./.BE=BF-EF二#-夜，

由⑵知,BE=&AF,.\AF=JJ-1,

當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,

在RtAABC中，AB=AC=2,；./ABC=/ACB=45°,.\sinZABC=—,

CB2

在正方形CDEF中，ZFEC=-ZFED=45°,

2

在RtZ^CEF中，sin/FEC=C￡=Y2,

CE2CECB

VZFCE-ZACB=45°,AZFCB+ZACB=ZFCB+ZFCE,AZFCA=ZECB,

“BECB廠r-

：.ZA\ACFsABCE,—；=——=應(yīng)，，BE=近AF,

A.FCA

由（1）知,CF=EF=CD=0,

在RtABCF中,CF=0,BC=2也，

根據(jù)勾股定理得,BF=76,/.BE=BF+EF=V6+0,

由⑵知,BE=0AF,.?.AF=7J+1.

即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B,E,F三點(diǎn)共線時(shí)候，線段AF的長(zhǎng)為百-1或J5+1.

7.(2019?河南省中考模擬)如圖(1),已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,GE±BC,垂足為點(diǎn)E,GF±CD,

垂足為點(diǎn)F.

(1)證明與推斷：

①求證：四邊形CEGF是正方形；

②推斷：▼的值為______:

BE

(2)探究與證明：

將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a角(0°<a<45°),如圖(2)所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)

量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(3)拓展與運(yùn)用：

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B,E,F三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖(3)所示,延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H.若AG=6,GH=2

夜,貝IBC=

【答案】(1)①四邊形CEGF是正方形;②血；⑵線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG二夜BE;(3)3逐

【解析】

(1)①?..四邊形ABCD是正方形,

ZBCD=90°,ZBCA=45°,

VGE±BC.GF_LCD,

，/CEG=NCFG=NECF=90°,

14

，四邊形CEGF是矩形，NCGE=NECG=45°,

AEG=EC,

???四邊形CEGF是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形,

???NCEG=NB=90°,ZECGM50,

CGnr

——=J2,GE/7AB,

CE

姐=空=0,

BECE

故答案為J5；

⑵連接CG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知NBCE=NACG=a,

在RtACEG和RtACBA中，

CEV2CBV2

CG~T,CAV

CECB

AAACG^ABCE,

.?坐=/="

BECB

???線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=0BE;

(3)?.?NCEF=45°,點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，

AZBEC=135°,

VAACG^ABCE,

，NAGC二NBEC=135°,

.,.ZAGH=ZCAH=45°,

ZCHA=ZAHG,

.,.△AHG^ACHA,

.AGGHAH

,?而一行一方’

設(shè)BC=CD=AD=a,則AC=J5a,

?.,AGGH625/2

則由就=/得十

缶一AH

2

；.AH=-a,

3

則DH=AD-AH=1a,C^^CD2+DH2

,AGAH6

由就=方得而

解得:a=3，即BC=3y/5,

故答案為3石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)與判定,相似三角形的判定與性質(zhì)等,綜合性較強(qiáng),有一定的難度,正確添

加輔助線,熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2019?河南省中考模擬）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,在等邊AA8C中，點(diǎn)。為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，DE//AB交

AC于點(diǎn)E,將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OE,連接CF.則AE與FC的數(shù)量關(guān)系是ZACF

的度數(shù)為.

和

（2）拓展探究:如圖2,在RtAABC中，ZABC=90°,NACB=60。，點(diǎn)。為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，DEiIAB交

AE

AC于點(diǎn)E,當(dāng)NADF=NACF=90°時(shí)，求:的值.

16

圖2

⑶解決問(wèn)題:如圖3,在AABC中，BC:AB=m，點(diǎn)D為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作?！?/43交AC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,直接寫出當(dāng)ZADF=ZACF=ZABC時(shí)一的值.

ApL1

【答案】(1)AE=FC,60°;(2)—=73；(3)-.

FCm

【解析】

解：⑴；DE〃AB

ZABC=ZEDC=60°,ZBAC=ZDEC=60°

.?.△DEC是等邊三角形，ZAED=120°

二DE=I)C,

?.?將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DF,

二ZADF=60°=ZEDC,AD=DF

二ZADE=ZFDC,且CD=DE,AD=DF

.".△ADE絲△FDC(SAS)

.?.AE=CF,ZAED=ZDCF=120°

/.ZACF=60°,

故答案為AE=CF,60°

(2)VZABC=90°,ZACB=60°,

:.ZBAC=30°

ABrr

tanZBAC=------=J3

BC

VDE/ZAB

，ZEDC=ZABC=90"

VZADF=90°,

ZADE=ZFDC

VZACF=90°,ZAED=ZEDC+ZACB,ZFCD=ZACF+ZACB

.?./AED=NFCD,且NADE=/FDC

.,.△DAE^ADFC

.AE_DE

"~FC~~DC

VDE//AB

/.△EDC^AABC

DEAB

"~DC~~BC

.??空="=6

FCBC

(3)VAB/7DE

ZABC=ZBDE=ZADF,ZBAC=ZE

ZBDE+ZADB=ZADF+ZADB

ZADE=ZCDF,

,?ZACD=ZABC+ZBAC=ZACF+ZDCE,且/ACF=/ABC

ZBAC=ZDCF=ZE,且NADE=/CDF

.,.△ADE^AFDC

AEDE

"~FC~~DC

VDE/7AB

.,.△EDC^AABC

DEAB

"~DC~~BC

BC:AB=m

.AE_AB_1

【點(diǎn)睛】

本題是相似形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明

△ADE^AEDC是本題的關(guān)鍵.

18

9.（2019?湖北省天門市張港初級(jí)中學(xué)中考模擬）在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且

NEAF=NCEF=45°.

（1）將AADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到^題（如圖①），求證:z^AEG絲△AEF;

⑵若直線EF與AB,AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N（如圖②），求證:EF^ME'+NF2;

（3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請(qǐng)你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量

關(guān)系.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）EF=2BE2+2DF.

【解析】

（1）VAADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到aAIiG,

；.AF=AG,ZFAG=90°,

VZEAF=45°,

.?.NGAE=45°,

在aAGE與AAFE中，

{/==45,

/.△AGE^AAFE(SAS);

圖①

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a.

將AADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AARG,連結(jié)GM.

則△ADFgZiABG,DF=BG.

由（1）知AAEG絲4AEF,

AEOEF.

VZCEF=45°,

.?.△BME、ADNF.ACEF均為等腰直角三角形,

ACE=CF,BE=BM,NF=@F,

：?a-BE=a-DF,

???BE二DF,

ABE=BM=DF=BG,

AZBMG=45°,

AZGME=450+45°=90°,

；.EG吆ME'MG；

：EG=EF,MG=0BM=O)F=NF,

.*.EF2=ME2+NF2;

(3)EF2=2BE2+2DF2.

如圖所示,延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，

將ZXADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AGH,連結(jié)HM,HE.

由(1)知△AEH絲ZXAEF,

則由勾股定理有(GH+BE)'BG'EH；

ap(GII+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又；.EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

20

圈③

10.（2018?吉林省中考模擬）已知邊長(zhǎng)為1的正方形的?中，尸是對(duì)角線ZC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)AC不

重合），過(guò)點(diǎn)P作PE1PB,履交射線優(yōu)于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)后作EFLAC,垂足為點(diǎn)F.

⑴當(dāng)點(diǎn)￡落在線段應(yīng)上時(shí)（如圖），

①求證:眸咫；

②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,小的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個(gè)不變的值,若變化,試說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)￡落在線段比的延長(zhǎng)線上時(shí),在備用圖上畫出符合要求的大致圖形,并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍

然成立（只需寫出結(jié)論,不需要證明）；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△加C能否為等腰三角形?如果能,試求出"的長(zhǎng),如果不能,試說(shuō)明理由.

【答案】⑴①證明見解析;②點(diǎn)PP在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，加的長(zhǎng)度不變，值為立；⑵畫圖見解析,成立；（3）能，1.

2

【解析】

解：⑴①證明:過(guò)點(diǎn)P作PG±BC于G,過(guò)點(diǎn)P作PH±DC于H,如圖1.

：四邊形ABCD是正方形,PG±BC,PH±DC,

AZGPC=ZACB=ZACD=ZHPC=45°.

，PG=PH,/GPH=NPGB=NPHE=90°.

,.,PEJ_PB即NBPE=90°,

AZBPG=900-ZGPE=ZEPH.

在APGB和aPHE中，

NPGB=NPHE

<PG=PH,

NBPG=NEPH

.?.△PGB絲△PHE(ASA),

；.PB=PE.

②連接BD,如圖2.

■:四邊形ABCD是正方形，ZB0P=90°.

：PE_LPB即NBPE=90°,

ZPB0=90°-ZBPO=ZEPF.

VEFXPCBPZPFE=90°,

，ZBOP=ZPFE.

在ABOP和APFE中，

ZPBO=ZEPF

<NBOP=NPFE

PB=PE

.?.△BOP^APFE(AAS),

；.BO=PF.

四邊形ABCD是正方形，

；.OB=OC,ZB0C=90°,

BC=V2OB.

22

V2

VBC=1,.*.0B=

2

，PF哼.

二點(diǎn)PP在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,用的長(zhǎng)度不變,值為也

2

(2)當(dāng)點(diǎn)￡落在線段ZT的延長(zhǎng)線上時(shí)，符合要求的圖形如圖3所示.

同理可得：PB=PE,PF=

2

(3)①若點(diǎn)E在線段DC上，如圖1.

圖1

VZBPE=ZBCE=90°,/.ZPBC+ZPEC=180°.

VZPBC<90°,/.ZPE0900.

若△必'C為等腰三角形，則EP=EC.

AZEPC=ZECP=45°,

；.NPEC=90°,與NPEC>90°矛盾，

二當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，△限不可能是等腰三角形.

②若點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上,如圖4.

圖4

若△月笫是等腰三角形，

VZPCE=135°,

；.CP=CE,

AZCPE=ZCEP=22.5°.

/.ZAPB=180°-90°-22.5°=67.5°.

VZPRC=90°+ZPBR=90°+ZCER,

AZPBR=ZCER=22.5°,

AZABP=67.5°,

/.ZABP=ZAPB.

，AP=AB=1.

；.AP的長(zhǎng)為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定

理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性,而通過(guò)添加輔助線證

明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵.

11.（2017?廣東省中考模擬）如圖,在。0中,直徑AB1CD,垂足為E,點(diǎn)M在0C上,AM的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)

G,交過(guò)C的直線于F,Z1=Z2,連結(jié)CB與DG交于點(diǎn)N.

24

(1)求證:CF是。。的切線;

(2)求證:△ACMs/y)CN;

(3)若點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，。0的半徑為4,cosZB0C=-,求BN的長(zhǎng).

4

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶指

【解析】解：(D證明：:△BCO中，BO=CO,ZB=ZBC0.

在RtABCE中，Z2+ZB=90°,N1=N2,二Nl+NBCOgO、即NFC0=90.

V0C是。0的半徑，；.CF是。0的切線.

(2)證明：：AB是。0直徑，；.ZACB=ZFC0=90°.

ZACB-ZBC0=ZFC0-ZBC0,即N3=NL

Z3=Z2.

VZ4=ZD,.".△ACM^ADCN.

(3)VOO的半徑為4,即AO=CO=BO=4,

在RtACOE中，cosZB0C=-,

4

/.0E=C0?cosZB0C=4X1=1..\BE=3,AE=5.

4

由勾股定理可得：CE=VCO2-EO2==岳,

AC=VCE2+AE2=4呵2+5。=2y/io,BC=^CE2+BD2=不即丫+3?=276.

VAB是。0直徑,AB_LCD,；.由垂徑定理得：CD=2CE=2而.

:點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，CM=-C0=-X4=2

22

??AAMS/KMN?CMACanrwCMCD2x2后r-

?ZXACMs△OCN,..------=-------,K|JCN=---------------=-------.

CNCDAC2M

BN=BC-CN=2=G

(1)根據(jù)切線的判定定理得出/l+/BC0=90°,即可得出答案；

(2)利用11知得出/3=/2,Z4=ZD,再利用相似三角形的判定方法得出即可.

(3)根據(jù)己知得出0E的長(zhǎng),從而利用勾股定理得出EC,AC,BC的長(zhǎng),即可得出CD,利用(2)中相似三角形的性質(zhì)

得出NB的長(zhǎng)即可.

12.(2019?山東省中考模擬)ZiABC中，NBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合)，

以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF,

(D觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，

①BC與CF的位置關(guān)系為:.

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:;(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出

正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE,若已知AB=2夜，CD=；BC,請(qǐng)求出GE

的長(zhǎng).

【答案】⑴CFLBD,BCXF+CD;(2)成立，證明詳見解析；(3)廊.

【解析】

解：(D①正方形ADEF中，AD=AF,

；NBAC=NDAF=90°,

/.ZBAD=ZCAF,

26

‘AD=AF

在ADAB與AFAC中，,/BAD=/CAP，

AB=AC

.,.△DAB^AFAC,

???ZB=ZACF,

???ZACB+ZACF=90°,即CF±BD;

②△DABdFAC,

ACF=BD,

VBC=BD+CD,

???BOCF+CD;

(2)成立，

「正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90°,

???NBAD二NCAF,

‘AD=AF

在△DAB與aFAC中，/BAD二NCAF，

AB二AC

AADAB^AFAC,

；?NB=NACF,CF=BD

AZACB+ZACF=90°,BPCF±BD;

VBC=BD+CD,

ABC=CF+CD;

⑶解:過(guò)A作AII±BC于H,過(guò)E作EM±BD于M,EN1CF于N,

VZBAC=90°,AB=AC,

???BO^AB=4,AH=-BC=2,

%

11

.*.CD--BC=1,CH=-BC=2,

43

ADH=3,

由(2)證得BC±CF,CF=BD二5,

丁四邊形ADEF是正方形，

???AD=DE,NADE=90°,

VBC±CF,EM1BD,EN±CF,

???四邊形CMEN是矩形，

，NE=CM,EM=CN,

VZAHD=ZADC=ZEMD=90°,

AZADH+ZEDM=ZEDM+ZDEM=90°,

???ZADH=ZDEM,

'NADH=/DEM

在△ADH與ADEM中，<ZAHD=ZDME>

AD=DE

.,.△ADH^ADEM,

AEM=DH=3,1)M=AH=2,

ACN=EM=3,EN=CM=3,

VZABC=45°,

AZBGC=45°,

???△BCG是等腰直角三角形，

ACG=BC=4,

AGN=1,

AEG=VGN2+EN^VIO-

鄴

考點(diǎn)：四邊形綜合題.

13.(2019?福建省中考模擬)如圖1,在Rt△板中，乙的=90°,四=園將△上繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到

△板旋轉(zhuǎn)角為a(0°VaV90°),連接切交位于點(diǎn)在

⑴如圖2,當(dāng)a=45°時(shí),求證:啟班

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，①問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?證明你的結(jié)論;②連接CD,當(dāng)戶為等腰直角三角形時(shí),

求tan@的值.

2

28

【答案】(1)見解析；(2)①成立,理由見解析;②]

2

【解析】

(1)如圖中，

丁ZEAC=/DAB,AE=AQAD=AB,

：.ZAEC=Z.ACE=Z.AI)B=/ABD,

4ADB=4CDF,

工/FDC=/FCD,

:?FD=FC,

???N￡￡T=90°,

:?/DEF+/ECD=9a0,/FDE+/FDC=9G°,

：.AFED=ZFDE,

：.FE=FDy

:,EF=FC.

(2)①如圖1中，結(jié)論仍然成立.

理由：連接力￡

圖1

VAB=AD,AE=AC,

AZABD=ZADB,ZACE=ZEAC,

XVZBAD=ZCAE,ZABD+ZADB+ZBAD=1800,ZACE+ZEAC+ZCAE=180°,

:?/FCA=/ABF,

??,4氏CF四點(diǎn)共圓,

：.AAFaAABC=\SQ°,

VZ/L?C=90°,

AZAFC=90°,

:?AFIEC,

9：AE=AC,

：.EF=CF.

②如圖3-1中，當(dāng)CF=CD,/FCS時(shí),連接AF,作CHLBF于H.設(shè)CF=CD=a.

則DE=7CE2+CD2=45a>DF=72%

'：CF=CD、CHIDF,

：.HF=HDi

I及

：.CH=-DF=—a,

22

:?BC=DE=#>a,

30

/.BH=[BC?-CH2=—a,

2

"：AE^AC,EF=CF,

4c1平分

C/四點(diǎn)共圓，

1

：./CAF=/CBH=-a,

2

母

——a

1CH

tan—a=---

3A/2-3

a

2

如圖3-2中，當(dāng)DF=DC,NCDF=9Q°時(shí)，作DH1CF于H,連接AF.設(shè)CD=DF=m.

圖3-2

15

則CF=EF=Jia,DH=-CF=—m,

、22

DE=BC=y/DH2+EH2=亞加，

:-BD=yjBC2-CD2=2m,

1CD1

二tan—a=---=—.

2BD2

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用,等腰三角形的性質(zhì)等，綜合

性較強(qiáng),有一定的難度,正確添加輔助線,熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

14.(2017?河南省中考模擬)如圖①,C為線段BE上的一點(diǎn),分別以BC和CE為邊在BE的同側(cè)作正方形ABCD

和正方形CEFG,M、N分別是線段AF和GD的中點(diǎn)，連接MN

(1)線段MN和GD的數(shù)量關(guān)系是位置關(guān)系是；

(2)將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,如圖②，(1)的結(jié)論是否成立?說(shuō)明理由;

(3)已知BC=7,CE=3,將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周,其他條件不變,直接寫出MN的最大值和最小

值.

【答案】MN=-DG,MN±DG;(1)的結(jié)論仍然成立.

2

【解析】

⑴連接FN并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)S,如圖①.

四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

AZD=90°,AD=DC,GC=GF,AD〃BE〃GF,

二ZDSN=ZGFN.

在ASDN和aFGN中，

ZDSN=ZGFN,/SND=NFNC,DN=GN,,

.,.△SDN^AFGN,

l)S=GF,SN=FN.

,.,AM=FM,

I

...MN〃AS,MN=-AS,

2

，/MNG=/D=90°,

1、I,、1,、1

MN=-(zAD-DS)=-(DC-GF)=-(DC-GC)=-DG.

2222

故答案為MN=LDG,MN±DG;

2

(2)(1)的結(jié)論仍然成立.

32

理由：過(guò)點(diǎn)M作MTL)C于T,過(guò)點(diǎn)M作MR_LBC于R,連接FC、MD、MG,如圖②,

圖②

則A、F、C共線,MR〃FG〃AB,MT〃EF〃AD.

VAM=FM,

???BR=GR--BG,DT=ET--DE,

22

1、1/、

???MR--(zFG+AB),MT--(EF+AD).

22

四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

.\FG=GC=EC=EF,AB=BC=DC=AD,

???MR=MT,RG=TD.

在△MRG和Z\MTD中，

MR二MT,NMRG二NMTD,RG=TD,

AAMRG^AMTD,

AMG=MD,ZRMG=ZTMD,

???NRMT二NGMD.

〈NMRC二NRCT=NMTO90。,

???四邊形MRCT是矩形，

AZRMT=90o,

???NGMD=900.

VMG=MI),ZGMD=90°,DN=GN,

1

.\MN±DG,MN="DG.

2

⑶延長(zhǎng)GM到點(diǎn)P,使得PM=GM,延長(zhǎng)GF、AD交于點(diǎn)Q,連接AP,DP,DM如圖③,

p

圖③

在AAMP和△FMG中，

AM二FM,NAMP二NFMG,PM=GM,

/.△AMP^AFMG,

/.AP=FG,ZAPM=ZFGM,

AAP//GF,

???NPAQ=NQ,

ZDOG=ZODQ+ZQ=ZOGC+ZGCO,

Z0I)Q=Z0GC-90°,

???ZQ=ZGCO,

???ZPAQ=ZGCO.

,/四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形,

???DA=DC,GF=GC,

AAP=CG.

在aAPD和aCGD中，

AP二CG,ZPAD=ZGCD,AD=CD,

AAAPD^ACGD,

APD=DG.

VPM=GM,

ADM±PG.

VDN=GN,

1

AMN=-DG.

2

VGC=CE=3,

???點(diǎn)G在以點(diǎn)C為圓心,3為半徑的圓上，

34

；DC=BC=7,

ADG的最大值為7+3=10,最小值為7-3=4,

.??MN的最大值為5,最小值為2.

“點(diǎn)睛”本題主要考查「全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線分階段成

比例、梯形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半、圓的定義、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí),綜合性強(qiáng),有一定的難度，證到△DMG是等腰直角三

角形是解決第(2)小題的關(guān)鍵,證到MN=!1)G是解決第(3)小題的關(guān)鍵.

15.(2018?湖北省中考模擬)(發(fā)現(xiàn)證明)

如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,ZEAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小聰把a(bǔ)ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過(guò)證明△AEFg△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.

(類比引申)

(1)如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長(zhǎng)線上,NEAF=45°,連接EF,請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給

你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(聯(lián)想拓展)

(2)如圖3,如圖，NBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E、F在邊BC上，且NEAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長(zhǎng).

【答案】(1)DF=EF+BE.理由見解析；(2)CF=4.

(1)DF=EF+BE.理由:如圖1所示，

VAB=AD,

.?.把a(bǔ)ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,

VZADC=ZABE=90°,

二點(diǎn)C、D、G在一條直線上,

AEB=DG,AE=AG,ZEAB=ZGAD,

VZBAG+ZGAD=90°,

AZEAG=ZBAD=90°,

VZEAF=45°,

/.ZFAG=ZEAG-ZEAF=90°-45°=45°,

???ZEAF=ZGAF,

在AEAF和4GAF中，

EA=GA

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

AAEAF^AGAF,

.??EF=FG,

VFD=FG+DG,

???DF=EF+BE;

(2)VZBAC=90°,AB=AC,

?/△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AACG,連接FG,如圖2,

???AG=AE,CG=BE,ZACG=ZB,ZEAG=90°,

AZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90°,

.*.EG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

XVZEAF=45°,rfaZEAG=90°,

AZGAF=90°-45°,

在aAGF與4AEF中，

EA=GA

<Z.EAF=ZGAF,

AF=AF

AAAEF^AAGF,

36

，EF=FG,

AC^EF2-BE2=52-3勺6,

/.CF=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵,此題是一道綜合題,難度較大,題目所給例題的思路,為解決此題做了較好的鋪墊.

16.(2018?福建省中考模擬)如圖,折疊矩形ABCD的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處.

3

(1)如圖1,若折痕AE=5后，且tanZEFC=求矩形ABCD的周長(zhǎng)；

4

(2)如圖2,在A