2020-2021學年上海市交大附中高一年級上冊期末數學試卷(含解析)

2020-2021學年上海市交大附中高一上學期期末數學試卷

一、單選題（本大題共4小題，共12.0分）

1.“％20”是“x>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2,若函數/（x）=sinxcosx,下列結論中正確的是（）

A.函數/（久）的圖象關于原點對稱B.函數/'（久）最小正周期為2兀

C.函數/（久）為偶函數D.函數/（切的最大值為1

3.已知函數/（x）=loga（/-2ax+8）在區(qū)間［1,2］上是減函數，則實數a的取值范圍是（）

A.(0,1)B.[2,3)

C.(0,1)U[2,3)D.(0,1)U[2,+oo)

4.設方程log4久=（**，1<>勺/，「的根分別x2,貝!1（）

A.0<xrx2<1B.xrx2—1C.1<x1x2<2D.x±x2>2

二、單空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.已知4版?二福施，且角施與角—-的終邊垂直，則雄=

6.函數/(%)=2%和g(%)=/的圖象的示意圖如圖所示，設兩函數的圖

象交于點8(%2，丫2)，且％1<%2,若丁W[a,a+1],x2G

[bfb+1],且a,be{1,234,5,6,7,8,9,10,11,12},則a+b=.

7.已知sin。=V，9是第二象限的角，則力cm。=

8.己知函數〃J)sin2J-+siiuci>sj-,下列結論中：①函數/(久)關于％/對稱；②函數f(x)

關于(-標)對稱；③函數/(%)在(0幣是增函數，④將y=*os2x的圖象向右平移詈可得到

/(久)圖象.其中正確的結論序號為.

9.計算：

.一靄

10.已知sin(a+g)=-g—^<cr<0,貝！Jcosa=.

11.已知塞函數f(%)=為常數)過點(2,：),則/(%)=.

4

12.向量五=(1,彼九仇)，b=(cosa,1)，且方〃3，則cos2a=.

13.已知角a6G,爭，Setana=—y,則COS(TT—a)=.

14.在平面直角坐標系中，銳角a、夕的終邊分別與單位圓交于/、B兩點.如果s譏a=-8的橫坐

標為M則cos(a+/?)=.

15.已知函數典磁口幽承)嗤:書磷嗓,一范:嘴翹碘?蚪需啜在區(qū)間肝三月上的最大值為2,則常數a的值

為—.

16.已知/(X)-x3+(a-1)/是奇函數，則不等式f(ax)>f(a-久)的解集是.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分)

17.(1)已知tan^=｝求sin(a+￡)的值.

(2)已知a6(兀,|兀)，cosa=tan^=求cos(]+0)的值.

18.設函數/(久)是定義在R上的奇函數，當x20時，f(%)=2X+^+m

(1)確定實數m的值并求函數/(x)在R上的解析式；

(2)求滿足方程〃久)=0的久的值.

19.某機床廠今年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12

萬元，從第二年開始，每年的維修、保養(yǎng)修費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總

收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利總額y元.

(1)寫出y與x之間的函數關系式;

(2)從第幾年開始，該機床開始盈利？

(3)使用若干年后，對機床的處理有兩種方案：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理

該機床；②當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床.問哪種方案處理較為合理？請

說明理由.

20.已知集合A={X|G)--X-6<1},B={x||x+a-2|<2},若力CB=0.

(1)求實數a的取值范圍；

(2)求y=/(a)=2-32a-16-3a的最值.

21.二次函數/(久)滿足f(x+1)-/(%)=2%,且"0)=1,

(1)求/'(%)的解析式；

(2)在區(qū)間上/(x)N機恒成立，試確定實數ni的范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：設2={x\x>0),B-{x\x>0),

A^B,

故“》20”是“無>0”的必要而不充分條件，

故選：B.

設4={久|x20},B={x\x>0),得到AnB,從而得到答案.

本題考查了充分必要條件，是一道基礎題.

2.答案：A

解析：解：f(x)=sinxcosx—|sin2x,

該函數為奇函數，最小正周期7=兀，最大值=1.

故C,B,。錯誤，A正確

故選：A

由已知中函數/(x)=s出久COSK=|S出2x,根據正弦函數的圖象和性質可得該函數為奇函數，最小正

周期7=兀，最大值逐一分析四個答案，可得結論.

本題考查的知識點是正弦函數的對稱性，二倍角的正弦，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的

奇偶性，其中熟練掌握正弦型函數的圖象和性質是解答本題的關鍵.

3.答案:C

解析:

本題主要考查已知復合函數在具體區(qū)間上單調性求參數的取值范圍，這種題型除了要考查復合函數

同增異減的單調性外，對稱軸和區(qū)間的關系，以及端點處的函數值大于0.考查了分類討論思想的應

用.本題屬中檔題.

本題先運用換元法令t=x2-2ax+8,則y=log/再對參數Q分。Va<1和a>1兩種情況進行分

類討論，當0<aV1時，對稱軸％=aV1,且t(l)=l-2a+8>0.根據對稱軸a>2,t(2)=4-

8a+8〉0,及復合函數同增異減的單調性可得Q的取值范圍；當a>1時，根據得到a的取值范圍.最

后綜合所有情況可得實數a的取值范圍.

解：由題意，令力=%2一2。%+8,則y=log/

故t=x2—2ax+8=(%—a)2+8—a2,

①當0<a<1時，

??,y=log/在(0,+8)上單調遞減，復合函數/(%)在區(qū)間口2］上是減函數，

.?.t=x2—2ax+8在［1,2］上單調遞增.

t=%2—2ax+8在(—8,q)上單調遞減，在［a,+8)單調遞增.

對稱軸％=a<1,且t(l)=l-2a+8>0.

解得0<a<1.

0<a<1滿足題意.

②當a>1時，

y=log/在(0,+8)上單調遞增，復合函數f(%)在區(qū)間［1,2］上是減函數，

.?.t=x2-2ax+8在［1,2］上單調遞減.

???對稱軸aN2,t(2)=4—8a+8>0,

解得2Wa<3.

綜上所述，可知，當0<a<1時滿足題意，當a>1時，只有2<a<3才滿足題意.

???實數a的取值范圍為(0,1)U［2,3).

故選：C.

4.答案:A

解析：

本題考查指數函數和對數函數的性質，圖象的交點問題，屬于中檔題.

根據函數圖象判斷%1>1,0<%2<1,利用對數的基本運算以及指數函數的性質即可得到結論.

解：方程10g4%=log/=C)”的根分別為久1、%2,

則由圖象可知0<X2<1,即％1>%2,

x

則G)*1<G)%logdi=(i)l,log|X2=G產=-log4X2,

兩式相減得10g4%62=G)%一?犯<0,

即0Vxrx2<1,

故選：A.

輛f覲飛

解析：試題分析：因為角雄與角-3的終邊垂直，所以版I給他蒯i-=；i=-l,即他蒯辭=一些

獸k瞽/

因此，儂=,颯-三（麓隆溶），所以年,=頻-==三^或雄=i版一==二^.

I匾瀛新斷新

考點：三角函數與直線的位置關系.

6.答案：10

解析：解：?函數/(?=2工的圖象過點(0,1),是其圖象;

??-g(x)=/的圖象過點(o,o),；.G是其圖象；

???〃l)>g⑴,/(2)<g(2),

?,?%1e[1,2],故a—1；

,?"(9)<9(9),”10)>g(10)

久2e[9,10],故b=9,

a+b=10.

故答案為10.

根據函數/。）=2,的圖象過點（0,1）,9。）=爐的圖象過點（o,o）判斷即可，結合函數的零點的判定

定理判斷即可.

本題考查了指數函數與基函數的性質，同時考查了數形結合的思想應用.

7.答案：—得

解析：解:由。是第二象限的角，得到cos。＜0,

又sinO-*所以cos。=—11-（~）2-

,5

則tan。=小=耳=—三.

we-H12

故答案為：-松

根據。是第二象限的角，得到cos。小于0,然后由sin。的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cos。

的值，進而求出tcme的值.

此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道基礎題.學生做題時注意。的范

圍.

8.答案：③④

解析：

本題主要考查了三角函數的恒等變換，三角函數的圖象和性質，屬于中檔題.

利用三角函數的恒等變換公式化簡函數解析式可得/(?=孝sin(2久-逐一分析判斷即可.

角軍：/(x)=sin2x+sinxcosx—|

1-COS2X,1.1y/2.7T、

=-------F-sin2ox——=—sin(2x——)，

2222、"

對于①，2%—￡=卜兀+；,kEZ,

可得函數對稱軸為：x=v+kez,

Zo

令粵+生三，得k=—故①不正確；

2882

對于②，由2%—^=歷1，fc6Z,

可得％=把+工fcez,

28

可得函數對稱中心為：(等+，0)，kez,②不正確；

對于③，由2/OT-]W2尤-3W2/CT+]kEZ,

可得函數單調遞增區(qū)間為：即一建兀+福，kEZ,

故可得函數〃久)在(0弓)是增函數，③正確；

對于④，將y=孝cos2x的圖象向右平移詈個單位長度可得

V23TTV237r

y=-cos[2(x——)]=—cos(2x——)

LoL4

V2IT3TTV25TT

=TSin[2一Q%一彳＞=^,也(彳-2%)

=/sin(2%—7)，④正確.

故答案為③④.

9.答案：1

解析：試題分析：圖幅4#囂彳=/醒帶J1展T麒=&螃柏1螳=喊酮第=蜥蟒=>

考點：對數的運算性質.

點評：對數的運算性質:

醯><>^螂闡?順撒'51

:儂崛覲奉徽!：=顫力嬲書如殷讖

:斕履任3=1睡^懶-顫覲讖

10.答案：上更

10

解析：

本題主要考查了兩角和與差的余弦函數，同角三角函數基本關系的應用，考查了學生對基礎知識的

綜合運用，屬于基礎題.

先確定a+g的范圍，求得cos(a+g)的值，進而利用余弦的兩角和公式求得答案.

解析：

解：???一］<a<0,sin(a+1)=-

兀,7T7T、

ccH—6(-,—),

3、637

???cos(a+-)=11—sin2(a+-)=

3AI35

ITTC

???cosa=cos(a+———)

717171TT

=cos(cr+—)cos—+sin(a+—)sin—

31,,4、V33-473

=-X-+(---)X—=

52、5，210

故答案為：等

11.答案:%-2

解析：解：???塞函數/(%)=%a(a為常數)過點(2,???.2a=%解得a=一2.

???/(x)=x~2.

故答案為X—2.

使用待定系數法求出/(久)的解析式.

本題考查了待定系數法確定函數解析式，是基礎題.

12.答案：：

解析：解：N=('tola),3=(cosa,1)，a//b<

-1x1—tanacosa—0,

3

,化簡得s譏a=己,

???cos2a=1—2sin2a=

99

故答案為；

根據向量平行的條件建立關于a的等式，利用同角三角函數的基本關系算出s譏a=%再由二倍角的

余弦公式加以計算，可得cos2a的值.

本題給出向量含有三角函數的坐標式，在向量互相平行的情況下求cos2a的值.著重考查了同角三角

函數的基本關系、二倍角的三角函數公式和向量平行的條件等知識，屬于基礎題.

13.答案:1

解析：解：a￡,tana=-用<0,

a&(p7t),

???cosa<0,

故答案為：卷.

由a的范圍及位na的值小于0,判斷出cosa小于0,將所求式子利用誘導公式化簡后，利用同角三角

函數間的基本關系切化弦后，將tcma代入即可求出cosa的值.

此題考查了同角三角函數間的基本關系，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵.

14.答案：—

65

解析：解：,??在平面直角坐標系中，銳角a、/7的終邊分別與單位圓交于4、B兩點,且s譏B的

橫坐標為裊即cos￡=卷，

4.12

???cosa=sinpD=—

貝Ucos(a+S)=cosacos/3—sinasin^=-x——-x—.

51351365

故答案為：一卷

65

由銳角a、0的終邊分別與單位圓交于4、B兩點，根據sina與cos￡的值求出cosa與s出/?的值，原式

利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值.

此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵.

15.答案:0

解析：試題分析：就回：=亂贏瞰*器書詢3符■普納=濡扇11殿普■雒調源普小=室fe皚1■#，*：,普修，又——嗟4—

您意黑'&$

.二一《唾遙t電窗率學:避也，礴#則堿=領。

鷺臉

考點：兩角差正弦公式的順用與逆用

16.答案：拄|乂>》

解析：解:若/(%)=必+Q-1)/是奇函數，

則a-1=0,即a=l,此時/(%)=%3,在R遞增，

則不等式f(a%)>/(a-x),

即％解得：%>j,

故不等式的解集是：｛x|x>3，

故答案為：｛x|x>3

根據函數的奇偶性求出a的值，根據函數的單調性問題轉化為x>1-x,解不等式即可.

本題考查了函數的奇偶性和單調性問題，是一道基礎題.

17.答案：解：(1);sina=*鼻=：

1+tan2-5

2

1-tan2^3

???cosa=----=一

l+tanz?5

..7iy.71,,714

???sm(za+一)=sinacos-+cosasin-=-x—V3.I--3x-1=-3+-4-V-3?

v6y66525210

②aC(兀,|兀)，

e(py)>sin|>0,cos|<0,

cosa=1—2sin2-=2cos2a—1=——

213

,a3V13a2V13

???sin-=-----cos-=

213213

+tan-6=-1

23

2tan-31-tan2g4

cosB=--------1=-

"l+tan2g5

22

,a_a.a.2V1343713317d

??.cos(5+S)=cos-cospn-sin5sl印n=~—X--—x-=

65

解析：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數和余弦函數公式的應用.解題過程涉及到了萬能公式

的應用.

(1)利用萬能公式求得sina和cosa的值，進而利用兩角和公式求得sin(a+§的值.

(2)通過二倍角公式求得s嗚和cos押值，利用萬能公式求得si印和cos.的值，最后利用兩角和與差

的余弦函數求得答案.

18.答案：解：(1)根據題意，是定義在R上的奇函數,

則當久=0時，/(0)=4+m=0,解可得：m=—4

設x<0,則一久>0,則/(一%)=2-工+4一4=3-2：+?-4,

2—A2A

-j

又由/(_%)=-/(%),則f(%)=-3?2%-)+4(久V0),

故f(x)=

(2)當％>0時,f(x)=2%+￡-4,

令f(%)=0,得/(%)=2%+費-4=0,即(2%)2—4?2%+3=0,

解可得2%=1或2%=3,即=0,x2=log23；

又由/(%)是定義在R上的奇函數，則當久＜0時根為第3=-logz3;

綜合可得：方程/(%)=0的根為=0,外=1og23,%3=—log23.

解析：(1)根據題意，由奇函數的性質可得/(0)=4+租=0,解可得：m=-4,即可得函數的解析

式，結合函數的奇偶性分析可得答案;

(2)根據題意，由函數的解析式，當*20時，/(x)=2、+￡—4,令/0)=0可得此時方程的根,

結合函數的奇偶性分析可得答案.

本題考查函數的奇偶性的性質以及應用，涉及函數的解析式的求法，屬于基礎題.

19.答案：解：(1)第x年共收入50x萬元，付出維修、保養(yǎng)費構成以12為首項，4為公差的等差數列，

共12x+X4=2X2+10x萬元，

y=5Ox—98—(2x2+10%)=-2x2+40%—98,xEN*.

(2)由-2/+40x—98>0解得，10—同<久<10+同，且久CN*,

所以x=3,4,....17,故從第三年開始盈利.

⑶年平均盈利額為?=40-(2%+手)<40-2M2x98=12,當且僅當比=7時“=”號成立，

所以按第一方案處理總利潤為-2X72+40x7-98+30=114(萬元).

由y=-2久2+40%-98=-2(%-10)2+102<102,

所以按第二方案處理總利潤為102+12=114(萬元).

???由于第一方案使用時間短，則選第一方案較合理.

解析：(1)贏利總額y元即x年中的收入50x減去購進機床的成本與這比年中維修、保養(yǎng)的費用，維修、

保養(yǎng)的費用歷年成等差數增長，，

(2)由(1)的結論解出結果進行判斷得出何年開始贏利.

(3)算出每一種方案的總盈利，比較大小選擇方案.

考查審題及將題中關系轉化為數學符號的能力，其中第二問中考查了一元二次不等式的解法，第三

問中考查到了基本不等式求最值，本題是一個函數基本不等式相結合的題.屬應用題中盈利最大化

的問題.

20.答案：解：(1)由C)/T-6<1,得/—%—6>0,

解得x>3,或》<-2

A=(-8,-2)U