河北省小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

河北省小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

姓名：班級(jí)：成績(jī):

一小朋友，帶上你一段時(shí)間的學(xué)習(xí)成果，一起來(lái)做個(gè)自我檢測(cè)吧，相信你一定是最棒的！

一、（共35題；共160分）

1.（10分）某校六年級(jí)有367名學(xué)生，有沒(méi)有兩名學(xué)生的生日是同一天？為什么？

2.（5分）兩個(gè)布袋各有12個(gè)大小一樣的小球，且都是紅、白、藍(lán)各4個(gè)。從第一袋中拿出盡可能少的球，

但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再?gòu)牡诙心贸霰M可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每種顏色的球

不少于3個(gè)。這時(shí)，兩袋中各有多少個(gè)球？

3.（5分）有紅、黃、藍(lán)、白4色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋里.一次摸出小球8個(gè)，其中至少有幾

個(gè)小球的顏色是相同的？

4.（5分）一副撲克有4種花色，每種花色13張，從中任意抽牌，最少要抽多少?gòu)埐拍鼙ＷC有4張牌是同一

花色？為什么？

5.（5分）用數(shù)字1,2,3,4,5,6填滿(mǎn)一個(gè)6-6的方格表，如右圖所示，每個(gè)小方格只填其中一個(gè)數(shù)字,

將每個(gè)2正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和稱(chēng)為這個(gè)2“2正方格的“標(biāo)示數(shù)”.問(wèn)：能否給出一種填法，使得任意兩

個(gè)“標(biāo)示數(shù)”均不相同？如果能，請(qǐng)舉出一例；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（5分）把黑、白、藍(lán)、灰四種顏色的襪子各12只混在一起。如果讓你閉上眼睛，每次最少拿出幾只才能

保證一定有一雙同色的襪子?如果要保證有兩雙同色的襪子呢？

7.（5分）六⑴班有49名學(xué)生，數(shù)學(xué)高老師了解到期中考試該班英語(yǔ)成績(jī)除3人外，均在86分以上后就說(shuō)：

“我可以斷定，本班至少有4人成績(jī)相同”。王老師說(shuō)的對(duì)嗎?為什么？

8.（5分）在8,8的方格紙中，每個(gè)方格紙內(nèi)可以填上1?4四個(gè)自然數(shù)中的任意一個(gè)，填滿(mǎn)后對(duì)每個(gè)2.2

“田”字形內(nèi)的四個(gè)數(shù)字求和，在這些和中，相同的和至少有幾個(gè)？

9.（5分）要把61個(gè)乒乓球分裝在若干個(gè)乒乓球盒中，每個(gè)盒子最多可以裝5個(gè)乒乓球，問(wèn)：至少有多少個(gè)

盒子中的乒乓球數(shù)目相同？

10.（5分）邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離小于0.5的兩點(diǎn).

11.（5分）一個(gè)口袋里有紅球、黃球、白球和花球四種顏色的球，小陽(yáng)閉著眼睛，每次摸出一個(gè)球，他想摸

出兩個(gè)顏色相同的球，至少要摸多少次才能一定達(dá)到要求？

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12.（5分）如圖，分別標(biāo)有數(shù)字12.S的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開(kāi)始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)的

數(shù)字都不相同.當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì).

13.（5分）6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有1只，一定有一個(gè)籠子里有2只鴿子.對(duì)嗎？

14.（1分）“華羅庚”杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的87名學(xué)生分別來(lái)自12所小學(xué)。試說(shuō)明至少有8名學(xué)生來(lái)自同一所

學(xué)校。

15.（5分）平面上給定6個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.證明：用這些點(diǎn)做頂點(diǎn)所組成的一切三角形中,

一定有一個(gè)三角形，它的最大邊同時(shí)是另外一個(gè)三角形的最小邊.

16.（5分）20道復(fù)習(xí)題，小明在兩周內(nèi)做完，每天至少做一道題.證明：小明一定在連續(xù)的若干天內(nèi)恰好

做了7道題目.

17.（5分）任意給定一個(gè)正整數(shù)n,一定可以將它乘以適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得乘積是完全由0和7組成的數(shù).

18.（5分）在長(zhǎng)度是10厘米的線(xiàn)段上任意取11個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘

米？

19.（5分）一個(gè)袋子中裝有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的小球若干，如果每次取3個(gè)，最后剩1個(gè)；如果每次

取5個(gè)或7個(gè)，最后剩2個(gè).這個(gè)袋中至少有多少個(gè)小球？一次至少取幾個(gè)小球可以保證有兩個(gè)是同色的？

20.（5分）某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽有6個(gè)同學(xué)參加，總分是547分，則至少有一個(gè)同學(xué)的得分不低于92分.為什么？

21.（5分）在1米長(zhǎng)的直尺上任意點(diǎn)五個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明這五個(gè)點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于25厘米.

22.（5分）證明：在任意的6個(gè)人中必有3個(gè)人，他們或者相互認(rèn)識(shí)，或者相互不認(rèn)識(shí).

23.（5分）從1至30中至少要取出幾個(gè)不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)?

24.（5分）一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)?

25.（5分）在100張卡片上不重復(fù)地編寫(xiě)上I~100,請(qǐng)問(wèn)至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出卡

片上的數(shù)相乘后之乘積可被4整除?

26.（5分）叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績(jī)是42環(huán).張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán).為什么？

27.（5分）圖書(shū)館有A,B,C,D四種圖書(shū)若干本，每人借一本書(shū)，至少要有多少個(gè)人借書(shū)，才能保證一定

有3人借的書(shū)相同？

28.（5分）把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)3本書(shū)，為什么？

29.（5分）有紅、黃、黑、白四色小球各10個(gè)，混合放入一個(gè)盒子，每次至少摸出幾個(gè)，才能保證有2個(gè)

小球同色？為什么？

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30.（5分）在邊長(zhǎng)為3米的正方形中，任意放入28個(gè)點(diǎn)，求證：必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的

面積不超過(guò)1平方米.

31.（1分）7個(gè)小朋友乘6只小船游玩，至少要有個(gè)小朋友坐在同一只小船里，為什么？

32.（5分）任意給定2008個(gè)自然數(shù)，證明：其中必有若干個(gè)自然數(shù)，和是2008的倍數(shù)（單獨(dú)一個(gè)數(shù)也當(dāng)做

和）.

33.（1分）121只鴿子飛回20個(gè)鴿舍，至少有只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里.

34.（1分）7只鴿子飛回6個(gè)鴿舍，至少有只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里.

35.（1分）將9個(gè)蘋(píng)果放到8個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)了個(gè)蘋(píng)果，將25個(gè)蘋(píng)果放到8個(gè)

抽屜里，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)了個(gè)蘋(píng)果.

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參考答案

一、（共35題；共160分）

1-1、

解：把一年中的天數(shù)看成是抽屜,把學(xué)生人數(shù)看成是元素.把367個(gè)元表放到366個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有2個(gè)元素，即

至少有兩名學(xué)生的生日是同一天.

2-1、

解：第一次,只^BSS一袋中有孫雌的球不足3個(gè)即可（取了多沙球,怎的09W以不考慮）.第:欠取后,

要保證第一裝中每種顏色的球不少于3個(gè)，最不利的情況是兩種顏色的球各有8個(gè)，另一種顏色的球律3個(gè).所以，第一袋中有球

8+8+3=19（個(gè)），第3中有球4x3x2-19=5（個(gè)）.

3-1、

解：從最不利的情況考否,摸出的8個(gè)小球中有4個(gè)小球的顏色各不相同，到弦余下的4個(gè)小球無(wú)論各是什么顏色，都必與之前的

仆小球中的某一個(gè)顏色相同.即這部小球中至少有2個(gè)小球的顏色是相同的.

4-1、

解：4x3+2+1=15（張）

答：至少要抽15張才能保證有4張牌是同一花色.因?yàn)槿绻?張花色各抽出3張，再抽出大王和小王，共抽出14張，那么再揄出

是什么花色都能保證有4張牌是同一花色.

5-1、

解:先計(jì)算出每個(gè)2x2正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和最小為4,最大為24,從4到24#有21個(gè)不同的值，即有21個(gè)“油屜"；再找

出在6x6的方格表最多有：5x5=25（個(gè)）2*2正方格的“標(biāo)示數(shù)"，即有25個(gè)“蘋(píng)果”.25-21=1-4，根據(jù)抽卮

原理,必有兩個(gè)“標(biāo)示數(shù)-相同.

解：4+1=5?;4x3+1=13?

61、答：至少拿B5只才能保證一定有一雙同色的襪子,如果要保證有兩雙同色的襪子,至少要取出13只.

7-1、解：王??^得對(duì),因?yàn)?6娉10（?地15個(gè)加，（49-3）+15=3.j,3+l=4（A）,所以本有40雌同.

8-1、

解：先計(jì)算出在8x8的方格中，扶有2、2"田"字形：7x7=49（個(gè)），在1~4中任取4個(gè)數(shù)（可以重復(fù)）的和可以是

4~16中之一，共13種可能，根據(jù)抽股原理：49—13=3-10，至少有3+1=4個(gè)"田"字形內(nèi)的數(shù)字和是相同的.

9-1、

癬：每個(gè)盒子不超過(guò)5個(gè)球，最“壞”的情況是每個(gè)盒子的球數(shù)盡量不相同，為1、2,3、4、5這5種各不相同的個(gè)數(shù),共有:

1+2+3+4+5=15，61-15=4---1，最不利的分法S：裝L2、3、4、5個(gè)球的各4個(gè)，還剜1個(gè)球，要使每個(gè)盒子不超

過(guò)5個(gè)球，無(wú)論放入個(gè)盒子，都會(huì)使至少有5個(gè)盒子的球數(shù)相同.

10-1、

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解：5個(gè)點(diǎn)的分布是任意的.如果要證明“在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有沁點(diǎn)，月眩這5個(gè)點(diǎn)中f有距離不大于

的兩點(diǎn).,則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三條中位線(xiàn)，可以分原等邊三角形為4個(gè)至尊的邊長(zhǎng)為的小等邊三角形，則

5個(gè)點(diǎn)中心有2點(diǎn)位于同一個(gè)“寫(xiě)邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于0.5.可以繼續(xù)拓展：邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)，S

有東+1個(gè)點(diǎn)，則至少存在2點(diǎn)距離小于1.

11-1、

一共有甌中顏色的球，當(dāng)國(guó)也出的球顏色都互不相同時(shí)，摸到第5個(gè)時(shí)，一定會(huì)和前面摸出的四個(gè)球其中的f顛色相同，&

樣就可以保證一定有兩個(gè)顏色相同的球了.

答：我要摸5次才能一定IS到要求.

12-1、

解：內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可以看成一個(gè)靜止，只有一旃轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠

相對(duì)的局面出現(xiàn),那么這種局面共要出現(xiàn)8次?將這8次局面看成S個(gè)蘋(píng)果，注JS到一環(huán)每算動(dòng)45,角就有一次漆珠相對(duì)的局面

出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有s次滾珠相對(duì)的局面，而最初相對(duì)演珠所云5字都不相同，所以相對(duì)的滾珠所標(biāo)的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)

在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中,將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜,根據(jù)抽屜原理至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中即必有臬一時(shí)

刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的流珠相對(duì).

13-1、

6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，如果每個(gè)籠子裝1R,這樣還剩下1只第子.這只鴿子可以任意飛進(jìn)其中的一ME子,這樣至少有

f?子里有2只鴿子.所以這句話(huà)是正確的.

解:87+12=7……3,7+l=8（g）

14-1、答：假如每個(gè)學(xué)校都有7人獲獎(jiǎng)，那么余下的3人無(wú)論的前幅保證至少有8s學(xué)生來(lái)自同一所學(xué)校.

15-1、

解：我們硒塞目婚釋一下.一般情況下三角形的三條邊的長(zhǎng)度是互不相等的，因此必有會(huì)大邊和最小邊.在等膝三角形（或

等邊三角形中），會(huì)出現(xiàn)兩條邊,甚至三條邊都是最大邊（或最小邊）.

我們用失色的辦法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.分兩步姿色:

第f:先桁號(hào)T三角形中的最大邊涂上同一種顏色,比如紅色；第二步，將其它的未涂色的線(xiàn)段都涂上另千種顏色，比

如藍(lán)色.

這樣,我們就將所有三角形的邊都用紅、藍(lán)兩色涂好.根據(jù)上至題的結(jié)論可知，這些三角形中至少有一樂(lè)色三角形.由于這

個(gè)同色三角形有目己的最大邊，而最大邊涂成紅色,所以這個(gè)同色三角形必然是紅色三角形.由于這個(gè)同色三角形有自己的最

小邊，而這條最小邊也是紅色的,說(shuō)明這條最小邊必定是某個(gè)三角形的最大邊.結(jié)論得證.

16-1、

解：設(shè)小明第1天做了的道題,前2天共做了a2道邕,前3天共做了ay道邕.....前14天共做了小道題.顯然o14=20,

而~flu都小于20.考博勺，④，的.....r的4及。［+7,o,+7,Oj+7,—,0M+7這28個(gè)數(shù)，它們都不超過(guò)

27.

福據(jù)抽卮原理,這28^N改中必有兩個(gè)數(shù)相等.由于的，色，6,.,的4互不相等,q+7,fl-,+7,為+7????….

014+7也互不相等,因而這兩個(gè)相等的數(shù)只能一個(gè)在前一組，另一個(gè)在后一組中，即有：可=a,+7,所以%-q=7.這

表明從第7+1天到第J天，小明恰好包了7道理.

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17-1

解：考慮如下〃+1個(gè)數(shù)：7,77,777........ZZr.?,2112.這〃+1個(gè)數(shù)除以〃的余數(shù)只能為0,1,2，.…i

力位irlCz

中之一，共"種情況，根據(jù)抽屜原理,其中必有兩個(gè)數(shù)除以n的余數(shù)相同，不妨設(shè)為工22和ZZ二？(p>g),那么

P(Sjz?

ZI?-12^2=是n的倍數(shù),所以〃乘以適當(dāng)?shù)陌?，可以得到形式為^二9的數(shù),即由用］7組成

血q<UqfiZ(p-fl)?弛？

的數(shù).

18-1、

解：把長(zhǎng)度10厘米的線(xiàn)段10等分，目以每段淺段的長(zhǎng)度是1厘米(見(jiàn)下圖).

格每段找段看成是一個(gè)“抽屜",一共有10個(gè)抽屜.現(xiàn)在將這11個(gè)點(diǎn)放到這10個(gè)抽屜中去.根據(jù)抽屜原理,至少有一個(gè)抽

卮里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)(包括這些線(xiàn)段的im點(diǎn)).由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽卮里,它們之間的距灣當(dāng)然不會(huì)大于］厘米.

所以,在長(zhǎng)度是io厘米的線(xiàn)段上任意取11個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn),它們之間的距離不大于1層米.

19-1、

解:5和7的最小公倍數(shù)是35,35+2=37(4-),符合每次取3個(gè)最后剩1個(gè)的條件,所以這個(gè)袋中至少有37個(gè)小球至少取4+1=5

個(gè)球

答：至少有37個(gè)小球，一次至少取5個(gè)球可以保證有兩個(gè)是同色的.

婚:547+6=91......1,

20-1、如果9個(gè)同學(xué)得91分,走分,不增加1分,就會(huì)有分不任于92分.

21-1、

解:5個(gè)點(diǎn)最多把1米長(zhǎng)的直尺分成4段，要想使每一段都盡量長(zhǎng)，應(yīng)采取平均分的辦法.把1米長(zhǎng)的直尺平均劃分成四段，

每一段25?*-把這四段看成四個(gè)抽卮.當(dāng)把五個(gè)點(diǎn)隨意放入四個(gè)抽屜時(shí),根據(jù)抽扈原理,一定育一個(gè)抽屜里面有兩個(gè)或兩

個(gè)以上的點(diǎn)，落在同一段上的這兩點(diǎn)間的距離一定不大于25摩米，所以結(jié)論成立.

22-1、

解：把這6個(gè)人看作6個(gè)點(diǎn),每?jī)牲c(diǎn)之間連一球段,兩人相互認(rèn)識(shí)的話(huà)將送段涂紅色,兩人不認(rèn)識(shí)的話(huà)將線(xiàn)段涂上堇色，那么

只震證明其中有一個(gè)同色三角形即可.從這6個(gè)點(diǎn)中隨意選取一點(diǎn)j，從總引出的5條線(xiàn)段，根據(jù)抽屜原理,必有3條的顏色

相同，不妨設(shè)有3條線(xiàn)段為紅色，它們另外f端點(diǎn)分別為B、C-D.那么這三點(diǎn)中只要有兩點(diǎn)比如說(shuō)B-C之間的線(xiàn)段

是紅色，那么.八B、C3點(diǎn)組成紅色三角形；如果8、C、￡>三點(diǎn)之間的稅段都不是紅色，目心都是藍(lán)色，這樣3、C

.Q3點(diǎn)組成套色三角形，也符合條件.所L國(guó)論成立.

解：在1至30中，3的fffi?1?30+3=10(個(gè)),不是3的^JTS30-10=20(個(gè)),砂則出20+1=21個(gè)不同的數(shù).

231、答：至少取出21個(gè)不同的K,才量保證箕中T有T?是3的*

24-1、

解：點(diǎn)數(shù)為、、、、、、、、的牌各取張，再取大王、小王各張，一

1(A)234.56789.10.11(J)X12(Q)13(K)11

共15張，這15張牌中，沒(méi)有兩張的點(diǎn)數(shù)相同.這樣,如果任忠再取1張的話(huà)，它的點(diǎn)數(shù)必為1~13中的一個(gè),于是有2張點(diǎn)數(shù)相

同.

25-1

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解:當(dāng)抽出50個(gè)奇數(shù)的時(shí)候，耐還是奇數(shù),最多再抽出2張偶數(shù)，乘積即可被4臺(tái)■也就是抽出52個(gè)數(shù)可以保證乘積

能被4整除.

解:因?yàn)?2+5=8...2,

8+1=9（環(huán)）,

26-1、所以至少有一卷不低于9環(huán).

解:4x2+l=9（A）

27-1、答：至少要有9人借書(shū).

28-1、

解:把5本書(shū)一平四成2份”,5+2=2......1,如果每本，甌1本，fflftTKSl本書(shū),